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二 用数学归纳法证明不等式,第四讲 用数学归纳法证明不等式,学习目标 1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式. 2.了解贝努利不等式，并会证明贝努利不等式. 3.体会归纳猜想证明的思想方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 用数学归纳法证明不等式,思考1 用数学归纳法证明问题必须注意的步骤是什么？,答案 (1)归纳奠基：验证初始值nn0. (2)归纳递推：在假设nk(kn0，kN)成立的前提下，证明nk1时问题成立.,思考2 证明不等式与证明等式有什么不同？,答案 证明不等式需注意的是对式子进行“放缩”.,梳理 (1)利用数学归纳法证明不等式 在运用数学归纳法证明不等式时，由nk时命题成立，推导nk1命题成立时，常常要与其他方法，如 、 、 、 等结合进行. (2)贝努利(Bernoulli)不等式 如果x是实数，且x1，x0，n为大于1的自然数，则有 .,比较法,分析法,综合法,放缩法,(1x)n1nx,(3)贝努利不等式的推广 事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数时， 仍有类似不等式成立. 当是实数，并且满足1或者0时，有(1x)1x(x1)； 当是实数，并且满足01时，有(1x)1x(x1).,题型探究,类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式,证明,(2)假设当nk(kN，k2)时，命题成立，,即当nk1时，命题成立. 由(1)(2)可知，不等式对一切nN，n2都成立.,反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法证明不等式问题时常用的方法之一.,左边右边，不等式成立. (2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，,则当nk1时，,所以当nk1时，不等式成立.,由(1)(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立.,证明,类型二 利用数学归纳法证明数列不等式,当n2时，anSnSn1，即SnSn12SnSn1.,解答,证明,证明 当n1时，,假设当nk(k1)时，不等式成立，,由可知，对任意nN不等式都成立.,反思与感悟 (1)首先掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数列的基础知识，这是解决这类问题的基础. (2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过观察、猜想，归纳出一个式子，然后再用数学归纳法证明.,证明,当nk1时，,达标检测,1.用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步验证 A.n1 B.n2 C.n3 D.n4,1,2,3,4,解析 由题意知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立.,解析,答案,1,2,3,4,解析,答案,1,2,3,4,解析 当nk1时，目标不等式为,解析,答案,1,2,3,4,解答,1,2,3,4,又aN，正整数a的最大值为25.,(1)当n1时，不等式显然成立.,1,2,3,4,当nk1时，有,1,2,3,4,即nk1时不等式也成立.,数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由nk到nk1的推证过程与证明等式有所不同，由于不等式中的不等关系，需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到nk时的假设，所以需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一. (2)数学归纳法的应用通常需要与数学的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程.,规律与方法,本课结束,
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