资源描述
第二章 点、直线、平面之间的位置关系,本章概览 一、地位作用 在本章学生通过对实际模型的认识,学会将自然语言转化为图形语言和符号语言,以具体的几何体的点、线、面关系作为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对图形的观察、试验和说理,使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系,并能解决一些简单的推理论证及应用问题.在历年高考中突出了对逻辑思维及空间想象能力的考查.,二、内容标准 点、线、面之间的位置关系 借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线平行. 定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.,以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理. 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直. 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明. 一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行. 两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.,三、核心素养 通过本章学习,学生建立了形与数的联系,能够利用几何图形描述问题,借助几何图形直观理解问题,运用空间想象认识事物. 帮助学生能提升数形结合的能力,发展几何直观和空间想象能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力;形成数学直观直觉,在具体的情境中感悟事物的本质.有助于达成和提高直观想象核心素养. 同时训练学生能提出和论证数学命题,掌握逻辑推理的基本形式,学会有逻辑地思考问题;发现和提出数学命题;探索和表述论证过程;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神,增强交流能力.提高了学生的逻辑推理数学核心素养的水平.,2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.平面 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 的.,无限延展,(2)平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成 ,且横边长等于其邻边长的 .如图(1). 如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用 画出来.如图(2).,45,2倍,虚线,(3)平面的表示 图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面.注意:“平面”二字不能省略.,2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达,Al,Al,A,A,l,l,=l,3.平面的基本性质,两点,不在一条直线上,过该点,一个,探究:把下列符号语言表示的图形画出来:=l,Al,B,D且BDl.,自我检测,1.(平面的概念)下列说法: 书桌面是平面;8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;有一个平面的长是100 m,宽是90 m;平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.其中正确的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,B,2.(公理2)三条直线两两相交,可以确定平面的个数是( ) (A)1个 (B)1个或2个 (C)1个或3个 (D)3个,C,3.(符号表示)如图所示,用符号语言可表达为( ) (A)=m,n,mn=A (B)=m,n,mn=A (C)=m,n,Am,An (D)=m,n,Am,An,A,4.(公理1)若A平面,B平面,C直线AB,则( ) (A)C (B)C (C)AB (D)AB=C,A,5.(点、线、面的位置关系)如果直线a平面,直线b平面,Ma,N b,Ml,Nl,则( ) (A)l (B)l (C)l=M (D)l=N,解析:因为Ml,Nl,且M,N,所以l.,A,6.(公理3)如图,已知D,E是ABC的边AC,BC上的点,平面经过D,E两点,若直线AB与平面的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是 .,答案:点P在直线DE上,题型一,文字语言、图形语言、符号语言的转换,【例1】 完成下列各题: (1)将下列文字语言转换为符号语言. 点A在平面内,但不在平面内; 直线a经过平面外一点M; 直线l在平面内,又在平面内(即平面和平面相交于直线l).,课堂探究素养提升,解:(1)A,A.Ma,M.=l.,(2)将下列符号语言转换为图形语言. a,b=A,Aa; =c,a,b,ac,bc=P.,方法技巧 实现三种语言转换要注意 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“”或“”,直线与平面的位置关系只能用“”或“”. (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成虚线.,即时训练1-1:(1)A,B,C表示不同的点,n,l表示不同的直线,表示不同的平面,下列推理表述不正确的是( ) (A)Al,A,Bl,Bl (B)A,A,B,B=直线AB (C)A,B,C,A,B,C,且A,B,C不共线与重合 (D)l,n,ln=Al与n确定唯一平面,解:(1)选D.,(2)(2017沙市调研)图中点、直线、平面之间的关系用集合语言可表示为( ) (A)=m,n,mn=A (B)=m,n,mn=A (C)=m,n,Am,An (D)=m,n,Am,An,解:(2)由题图知,A为点,n为线,所以n的表示不正确,故排除B,D.而Am,An的表示也不正确,故排除C.故选A.,【备用例1】 根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形:(1)A,B;(2)l,m=A,Al;(3)Pl,P, Ql,Q.,解:(1)点A在平面内,点B不在平面内. (2)直线l在平面内,直线m与平面相交于点A,且点A不在直线l上. (3)直线l经过平面外一点P和平面内一点Q. 图形分别如图(1),(2),(3)所示.,题型二,点线共面,【思考】 过直线与直线外一点能否唯一确定一平面?两条相交直线能否唯一确定一平面?两条平行直线呢? 提示:由公理2,易证明上述三个问题中,均能唯一确定一平面.,【例2】 如图,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C,求证直线l1,l2,l3在同一平面内.,证明:法一 (纳入法) 因为l1l2=A,所以l1和l2在同一平面内. 因为l2l3=B,所以Bl2. 又因为l2,所以B.同理可证C. 又因为Bl3,Cl3,所以l3. 所以直线l1,l2,l3在同一平面内.,证明:法一 (纳入法) 因为l1l2=A,所以l1和l2在同一平面内. 因为l2l3=B,所以Bl2. 又因为l2,所以B.同理可证C. 又因为Bl3,Cl3,所以l3. 所以直线l1,l2,l3在同一平面内.,方法技巧 证明点线共面问题的理论依据是公理2,常用方法有: (1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再证明两个平面重合.,即时训练2-1:如图,已知直线AB和AC都在平面内,直线BC与直线AB,AC分别相交于B,C两点,试判断直线BC与平面的位置关系.,解:因为ABBC=B, 所以BAB,即B; 同理,ACBC=C, 所以CAC,即C, 即直线BC上有两点B,C在平面内, 由基本性质1,得直线BC平面.,【备用例2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)直线AC1在平面CC1B1B内;,(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O,O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1;,(3)由A,C1,B1确定的平面是ADC1B1; (4)由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一个平面.,题型三,多点共线、多线共点问题,【例3】 (12分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:CE,D1F,DA三线交于一点.,变式探究:若将题目条件中的“E,F分别为AB,AA1的中点”改成E,F分别为AB,AA1上的点,且D1FCE=M,求证:MAD.,证明:因为D1FCE=M, 且D1F平面A1D1DA, 所以M平面A1D1DA, 同理M平面BCDA, 从而M在两个平面的交线上, 因为平面A1D1DA平面BCDA=AD, 所以MAD成立.,方法技巧 (1)证明三线共点常用的方法: 先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证明a,b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A,B是同一点,从而得到a,b,c三线共点. (2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法: 首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线. 选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.,即时训练3-1:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB, DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.,证明:因为MNEF=Q, 所以Q直线MN,Q直线EF. 又因为M直线CD,N直线AB, CD平面ABCD,AB平面ABCD, 所以M,N平面ABCD, 所以MN平面ABCD. 所以Q平面ABCD. 同理,可得EF平面ADD1A1. 所以Q平面ADD1A1. 又因为平面ABCD平面ADD1A1=AD, 所以Q直线AD,即D,A,Q三点共线.,题型四,易错辨析平面的基本性质应用错误,【例4】 已知直线l与三条平行直线a,b,c都相交,求证四条直线l,a,b,c共面.,错解:因为l与a相交,所以l与a共面. 同理l与b共面,l与c共面,故l与a,b,c共面. 纠错:本题错误的原因是:若l与a共面于,l与b共面于,但,却不一定是同一平面,则推不出l与a,b共面.共面问题的证明常有下列方法:(1)先作一个平面,再证明有关的点或线在这个平面内;(2)先过某些点或线作多个平面,再证明这些平面重合;(3)反证法.,正解:如图,设al=A,bl=B,cl=C. 因为ab,所以过a,b可以确定一个平面. 因为Aa,Bb,a,b, 所以A,B,所以AB,即l. 又因为bc,所以过b,c可以确定一个平面. 同理可证l. 因为,都过相交直线b,l, 所以与重合,即a,b,c,l共面.,谢谢观赏！,
展开阅读全文