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4.3 空间直角坐标系 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.空间直角坐标系,如图,以正方体OABC-DABC为载体,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD的方向为正方向,以线段OA,OC,OD的长为单位长,建立三条数轴: ,这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做 , 叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为 、 、 ,通常建立的坐标系为 ,即 指向x轴的正方向, 指向y轴的正方向, 指向z轴的正方向. 探究:(1)空间直角坐标系中点A(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标是什么? (2)空间直角坐标系中点A(a,b,c)关于xOy平面的对称点的坐标是什么? (3)空间直角坐标系中,点A(a,b,c)关于原点(0,0,0)的对称点坐标是什么? 答案:(1)(a,-b,-c) (2)(a,b,-c) (3)(-a,-b,-c),x轴、y轴、z轴,坐标原点,x轴、y轴、z轴,xOy平面,yOz平面,zOx平面,右手直角坐标系,右手拇指,食指,中指,2.空间直角坐标系中点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 ,其中x叫做点M的 , y叫做点M的 ,z叫做点M的 . 3.空间两点间的距离公式 (1)在空间直角坐标系Oxyz中,任意一点P(x,y,z)与原点间的距离|OP|= . (2)空间中,两点P1(x1,y1,z1)与P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|= .,M(x,y,z),横坐标,纵坐标,竖坐标,自我检测,1.(空间直角坐标系)点P(3,0,4),Q(0,0,-3)在空间直角坐标系中的位置分别是在( ) (A)y轴上、x轴上 (B)xOz平面上、y轴上 (C)xOz平面上、z轴上 (D)xOy平面上、yOz平面上,C,D,3.(空间两点间的距离)已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则ABC为( ) (A)等腰三角形 (B)等边三角形 (C)直角三角形 (D)等腰直角三角形,答案:(-3,2,1),4.(空间中点的对称)点P(-3,2,-1)关于平面xOy的对称点是 .,C,5.(空间两点间的距离)设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到点C的距离|CM|= .,题型一,空间中点的坐标的确定,课堂探究素养提升,【例1】如图所示,已知四棱锥P-ABCD,PBAD,侧面PAD为边长等于2的等边三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120,G是棱PB的中点,请建立适当的空间直角坐标系,求出点P,A,B,C,D,G的坐标.,方法技巧 (1)建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算,一般是要使尽量多的点落在坐标轴上. (2)对于长方体或正方体,一般取相邻的三条棱为x,y,z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点的坐标的关键.,即时训练1-1:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱 BC,CC1上的点, |CF|=|AB|=2|CE|,|AB|AD|AA1|=124. 试建立适当的坐标系,写出E,F点的坐标.,【备用例1】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=4,|AD|=3,|AA1|=5,N为棱CC1的中点,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. (1)求点A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标;,解:(1)很明显A(0,0,0), 由于点B在x轴的正半轴上,且|OB|=4,所以B(4,0,0).同理,可得D(0,3,0),A1(0,0,5).由于点C在坐标平面xOy内,BCAB,CDAD,则点C(4,3,0). 同理,可得B1(4,0,5),D1(0,3,5),与C的坐标相比,点C1的坐标中只有竖坐标不同,CC1=AA1=5,则点C1(4,3,5).,(2)求点N的坐标.,【备用例2】已知如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA平面ABCD,且|PA|=|AB|=2,E为PD的中点.建立适当的坐标系,求A,B,C,D,P,E的坐标.,解:如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系. 由|PA|=|AB|=2,四边形ABCD为正方形,可知 A,B,C,D,P,E的坐标分别为A(0,0,0,),B(2,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).,题型二,空间直角坐标系中点的对称问题,【例2】 已知点P(2,3,-1),求: (1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标;,规范解答:(1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P,则点P在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P在x轴上的坐标及在y轴上的坐标相同,而点P在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数. 所以,点P关于xOy坐标平面的对称点P的坐标为(2,3,1). 同理,点P关于yOz,zOx坐标平面的对称点的坐标分别为(-2,3,-1),(2, -3,-1).,(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标; (3)点P关于坐标原点对称的点的坐标.,规范解答:(2)设点P关于x轴的对称点为Q,则点Q在x轴上的坐标与点P在x轴上的坐标相同,而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数. 所以,点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2,-3,1). 同理,点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(-2,3,1),(-2,-3,-1). (3)点P(2,3,-1)关于坐标原点对称的点的坐标为(-2,-3,1).,(4)点P关于点(1,2,-6)对称的点的坐标.,方法技巧 解决有关对称问题时,注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线,坐标平面为参照面,通过平行、垂直确定出对称点的位置.空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题,可以参照如下口诀记忆:“关于谁对称谁不变,其余的符号均相反”.如关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标、竖坐标变为原来的相反数;关于xOy坐标平面对称的点横、纵坐标不变,竖坐标相反.特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数.,即时训练2-1:(1)在空间直角坐标系中,点P(3,4,5)与点Q(3,-4,-5)两点的位置关系是( ) (A)关于x轴对称 (B)关于xOy平面对称 (C)关于坐标原点对称 (D)以上都不对 (2)在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于xOy平面对称的点的坐标是( ) (A)(-2,1,-4) (B)(-2,-1,-4) (C)(2,-1,4) (D)(2,1,-4),解析:(1)由于P,Q两点的横坐标相等,纵坐标与竖坐标分别互为相反数,故P,Q两点关于x轴对称.故选A. (2)过点P向xOy平面作垂线,垂足为N,则N就是点P与它关于xOy平面的对称点的中点,因为N的坐标为(-2,1,0),所以对称点的坐标为(-2,1,-4),故 选A.,【备用例3】 在空间直角坐标系中有一个点P(1,3,-2),求: (1)点P关于坐标原点O的对称点P1的坐标; (2)点P关于x轴的对称点P2的坐标;,(3)点P关于坐标平面yOz的对称点P3的坐标.,题型三,空间两点间的距离,【例3】 已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PAAB成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.,方法技巧 求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.,谢谢观赏！,
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