资源描述
2.3.2 平面与平面垂直的判定,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的 ,这两个半平面叫二面角的 .图中的二面角可记作:二面角-AB-或-l-或P-AB-Q.,棱,面,(2)二面角的平面角:如图,在二面角-l-的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分别作 的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.平面角是 的二面角叫做直二面角.,垂直于棱l,探究2:教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角? 答案:可以构成三个二面角,如图所示. 分别是-a-,-c-,-b-. 这三个二面角都是90.,直角,2.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作 .,直二面角,(2)判定定理,另一个平面的垂线,探究2:过平面外一点,可以作多少个与已知平面垂直的平面? 答案:无数多个. 过平面外一点可以作平面的一条垂线,过此垂线可以作出无数个平面,这些平面都与已知平面垂直.,自我检测,1.(二面角)下列结论:(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角; (2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. (3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角; (4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是( ) (A) (B) (C) (D),B,2.(判定定理)对于直线m,n和平面,能得出的一个条件是( ) (A)mn,m,n (B)mn,=m,n (C)mn,n,m (D)mn,m,n,3.(二面角)在二面角-l-的棱l上任选一点O,若AOB是二面角-l-的平面角,则必须具有的条件是( ) (A)AOBO,AO,BO (B)AOl,BOl (C)ABl,AO,BO (D)AOl,BOl,且AO,BO,C,D,4.(面面垂直的判定)已知l,则过l与垂直的平面( ) (A)有1个 (B)有2个 (C)有无数个 (D)不存在,C,5.(二面角)三棱锥P-ABC的两侧面PAB,PBC都是边长为2的正三角形,AC= ,则二面角A-PB-C的大小为 .,答案:60,6.(面面垂直判定定理)在三棱锥P-ABC中,已知PAPB,PBPC,PCPA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有 对.,答案:3,题型一,求二面角,【例1】如图所示,在正方体ABCD-ABCD中:,课堂探究素养提升,(1)求二面角D-AB-D的大小;,解:(1)在正方体ABCD-ABCD中,AB平面ADDA,所以ABAD, ABAD,因此DAD为二面角D-AB-D的平面角,在RtDDA中, DAD=45. 所以二面角D-AB-D的大小为45.,(2)若M是CD的中点,求二面角M-AB-D的大小.,解:(2)因为M是CD的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MNAB.取CD的中点H,连接HN,则HNAB. 从而MNH是二面角M-AB-D的平面角.MNH=45. 所以二面角M-AB-D的大小为45.,方法技巧 (1)二面角的平面角满足:顶点在二面角的棱上;两边分别在二面角的两个半平面内;两边分别与二面角的棱垂直. (2)二面角的平面角是两条射线所成的角,因此二面角不一定是锐角,其范围为0180.,即时训练1-1:已知D,E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点,且A1D=2B1E=B1C1.求过D,E,C1的平面与棱柱的下底面A1B1C1所成的二面角的大小.,解:如图所示,在平面AA1B1B内延长DE和A1B1交于点F,则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点.于是C1F为这两个平面的交线.因而,所求二面角即为二面角D-C1F-A1. 因为A1DB1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分别为DF和A1F的中点. 因为A1B1=B1C1=A1C1=B1F,所以FC1A1C1. 又因为CC1平面A1B1C1,FC1平面A1B1C1,所以CC1FC1. 又因为A1C1,CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线, 所以FC1平面AA1C1C. 因为DC1平面AA1C1C,所以FC1DC1. 所以DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角. 由已知A1D=A1C1, 则DC1A1=45. 故所求二面角的大小为45.,【备用例1】在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,PD平面ABCD, PD=a. (1)求证:AC平面PBD;,(1)证明:因为四边形ABCD为正方形, 所以ACBD, 又PD平面ABCD, 所以ACPD, 又PDBD=D, 所以AC平面PBD.,(2)求二面角P-BC-D的平面角;,(2)解:因为四边形ABCD为正方形,所以BCCD, 又PD平面ABCD,所以BCPD. 又CDPD=D,所以BC平面PCD, 所以BCPC, 所以PCD为二面角P-BC-D的平面角, 在RtPCD中,因为PD=DC=a, 所以PCD=45, 即二面角P-BC-D的平面角为45.,(3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值.,题型二,平面与平面垂直的判定,【例2】 (1)如图(1)在四面体ABCD中,BD= a,AB=AD=CB=CD=AC=a. 求证:平面ABD平面BCD;,(2)如图(2),在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,点E在AC上,且DEA1E. 求证:平面A1AD平面BCC1B1; 求证:平面A1DE平面ACC1A1.,证明:(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, 所以BB1平面ABC,又AD平面ABC, 所以ADBB1,又D为BC的中点, 所以ADBC,又BCBB1=B, 所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADA1, 所以平面A1AD平面BCC1B1. 因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, 所以AA1平面ABC,又DE平面ABC, 所以AA1DE,又DEA1E,A1EAA1=A1,所以DE平面ACC1A1, 又DE平面A1DE,所以平面A1DE平面ACC1A1.,证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, 所以AA1平面A1B1C1, 又FB1平面A1B1C1,所以AA1FB1, 又A1B1C1为等边三角形, F为A1C1的中点,所以B1FA1C1, 又A1C1AA1=A1,所以B1F平面ACC1A1,又B1F平面AB1F, 所以平面AB1F平面ACC1A1.,变式探究:若本例中(2)改为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F为A1C1的中点,求证:平面AB1F平面ACC1A1.,方法技巧 判定两平面垂直的常用方法:(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.,即时训练2-1:如图所示,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC.,证明:法一 (利用定义证明),法二 (利用判定定理)因为SA=SB=SC,且BSA=CSA=60, 所以SA=AB=AC, 所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心. 因为SBC为直角三角形, 所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点, 所以AD平面SBC. 又因为AD平面ABC, 所以平面ABC平面SBC.,【备用例2】 (2018石家庄期末)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点.若PA平面ABCD,PA=AD,求证:平面AEC平面PDC.,证明:因为PA平面ABCD,CD平面ABCD, 所以PACD, 又ADCD,且ADPA=A, 所以CD平面PAD, 又AE平面PAD, 所以CDAE. 因为PA=AD,E为PD中点, 所以AEPD. 又CDPD=D, 所以AE平面PDC, 又AE平面AEC, 所以平面AEC平面PDC.,【备用例3】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1= AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.,(1)证明:因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面 所以BB1AB, 又因为ABBC,BB1BC=B, 所以AB平面B1BCC1, 因为AB平面ABE. 所以平面ABE平面B1BCC1.,(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;,(2)求证:C1F平面ABE;,(3)求三棱锥E-ABC的体积.,题型三,线面垂直、面面垂直的综合问题,【思考】 如何作二面角的平面角? 提示:作二面角的三种常用方法: (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图,则AOB为二面角-l-的平面角.,(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图,AOB为二面角-l-的平面角. (3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则AOB为二面角的平面角或其补角.如图,AOB为二面角-l-的平面角.,【例3】 如图,在三棱锥P-ABC中,PA平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2 . (1)求证:平面PAB平面ABC;,(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30,求BE的长.,方法技巧 (1)证明垂直关系时要注意利用线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的转化. (2)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,这就需要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点是否在棱上;角的两边是否分别在两个半平面内;这两边是否都与棱垂直.在具体作图时,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:线面的垂直,图形的对称性,与棱垂直的面等.,即时训练3-1:如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD. (1)证明:平面AEC平面BED;,(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD. 又BE平面ABCD,所以BEAC,又BDBE=B, 所以AC平面BED,又AC平面AEC, 所以平面AEC平面BED.,(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.,谢谢观赏！,
展开阅读全文