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第三章,数系的扩充与复数的引入,十六世纪，人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的根时，为了研究问题的需要引入了复数复数是由意大利米兰学者卡当首先引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受高斯把复数与平面上的点一一对应使得复数与向量、解析几何、三角函数等密切联系起来复数有向量表示、三角表示，指数表示等，满足四则运算等性质它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具随着科学和技术的进步，复数理论不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论 学习本章要注意感受人类理性思维在数系扩充中的作用,31 数系的扩充与复数的概念,31.1 数系的扩充与复数的概念,自主预习学案,1数系扩充的脉络、原则 脉络：自然数系整数系有理数系实数系_ 原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律) _适用； (3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系_； (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾,复数系,依然,保持不变,1,实部,虚部,复数集,ac且bd,a0且b0,必要不充分,b0,b0,(2)集合表示：,C,2若复数za232ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为_ 解析 由条件知a232a0， a1或a3 3若复数z(m1)(m29)ib，则aibi； 若x2y20，则xy0； 两个虚数不能比较大小 其中，正确命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 解析 选B对于，因为i21，所以1i20，故正确 对于，两个虚数不能比较大小，故错 对于，当x1，yi时x2y20成立，故错正确,B,命题方向2 复数的分类,典例 2,规律总结 1判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先，参数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解 2对于复数zabi(a、bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它 3形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件bR 且b0时，形如bi的数才是纯虚数,跟踪练习2 实数k为何值时，复数z(k23k4)(k25k6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)零？,命题方向3 复数相等的条件,已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x10)iy3i，求x与y 思路分析 因为y是纯虚数，所以可设ybi(bR，b0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成abi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值,典例 3,规律总结 一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数复数相等是实现复数向实数转化的桥梁,跟踪练习3 已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1，1,4i，若MPP，则实数m的值为_ 思路分析 由MPP知，M是P的子集，从而可知(m22m)(m2m2)i1或4i，利用复数相等的条件可求得m的值,1或2,两个复数能比较大小时，这两个复数必为实数，从而这两个复数的虚部为0,根据复数的大小求参数的值,典例 4,规律总结 已知两个复数的大小求参数值时，一般先由复数的虚部为0求得参数的值，再进一步检验复数的大小关系即可,跟踪练习4 (1)已知复数zk23k(k25k6)i(kR)，且zz2的m值的集合是什么？使z1z2的m值的集合又是什么？ 解析 (1)z0， zR故复数的虚部k25k60，即(k2)(k3)0， k2或k3 k3时，z0，不符合题意k2时，z20，符合题意,在下列命题中，正确命题的个数是( ) 两个复数不能比较大小； 若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1z2； 若a、b是两个相等的实数，则(ab)(ab)i是纯虚数 A0 B1 C2 D3,要准确掌握复数的概念,典例 5,错解 两个复数不能比较大小，故正确； 设z1mi(mR)，z2ni(nR) z1与z2的虚部相等，mn，z1z2，故正确 若a、b是两个相等的实数，则ab0， 所以(ab)(ab)i是纯虚数，故正确 综上可知：都正确，故选D 辨析 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(bR且b0)虚数为abi(a，bR，且b0)中要保证ab0才可能是纯虚数,正解 A 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故是不正确的； 设z1abi(a，bR，b0)，z2cdi(c，dR且d0)，bd，z2cbi 当ac时，z1z2，当ac时，z1z2，故是错误的，当ab0时，ab(ab)i是纯虚数，当ab0时，ab(ab)i0是实数，故错误，因此选A 点评 复数有许多与实数不同的性质，在引用实数的一些结论时，一定要考虑在复数集中是否还成立，如两个实数可以比较大小，但不全为实数的两个复数就不能比较大小,1,
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