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3.3.3 函数的最大(小)值与导数 课标解读 1理解函数的最值的概念(难点) 2了解函数的最值与极值的区别和联系(易混点) 3掌握用导数求函数的最值的方法和步骤(重点),1函数f(x)在闭区间a，b上的最值 如果在区间a，b上，函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定有_和_，函数的最值必在_或_处取得,教材知识梳理,最大值,最小值,极值点,区间端点,2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数yf(x)的各极值与_的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_,端点处,最大值,最小值,知识点 函数的最值 探究1：观察函数yf(x)在区间a，b上的图像，思考下列问题，分析极值与最值的关系：,核心要点探究,(1)指出函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值点 提示 从图像观察知，f(x)在a，b的极大值点为x2，x4，极小值点为x1，x3，x5，比较极大、小值及端点的函数值得函数在xb处取得最大值，故最大值点为b，同理可知，函数的最小值点为x3. (2)求函数在a，b上的最值时，是否需要对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值？ 提示 不需要只需将各导数为0的点和端点的函数值进行比较即可,探究2：根据函数最值的概念，探究以下问题： (1)函数的极值是否一定是函数的最值？ 提示 不一定端点值也可能是函数的最值 (2)若连续函数f(x)在区间a，b上有唯一的极值点且为极小值点x0，则f(x0)是否是最小值？ 提示 是函数yf(x)在a，x0上单调递减，在x0，b上单调递增，故f(x)在x0点取得最小值，f(x0)是最小值.,题型一 求函数的最值,例1,规律总结 求函数最值的四个步骤 第一步：求函数的定义域 第二步：求f(x)，解方程f(x)0. 第三步：列出关于x，f(x)，f(x)的变化率 第四步：求极值、端点值，确定最值,变式训练,解析 f(x)x24(x2)(x2)， 令f(x)0，解得x12(舍去)，x22. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,已知函数f(x)2x36x2a在2，2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2，2上的最大值 【自主解答】 f(x)6x212x6x(x2) 令f(x)0，得x0或x2. 又f(0)a，f(2)a8，f(2)a40. f(0)f(2)f(2)， 当x2时，f(x)mina4037，得a3. 当x0时，f(x)max3.,题型二 含参数的函数最值问题,例2,规律总结 已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决,2设aR，函数f(x)ax33x2. (1)若x2是函数yf(x)的极值点，求a的值； (2)若函数g(x)f(x)f(x)，x0，2，在x0处取得最大值，求a的取值范围 解析 (1)f(x)3ax26x3x(ax2) 因为x2是函数yf(x)的极值点，所以f(2)0，即6(2a2)0，因此a1. 经验证，当a1时，x2是函数yf(x)的极值点,变式训练,题型三 与函数最值有关的不等式恒成立问题 已知函数f(x)ekx2x(k为非零常数) (1)当k1时，求函数f(x)的最小值； (2)若f(x)1恒成立，求k的值 【解析】 (1)因为f(x)ex2x，所以f(x)ex2，令f(x)0，得xln 2， 所以当xln 2时，f(x)0，可得f(x)在(ln 2，)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(ln 2)22ln 2.,例3,规律总结 分离参数求解不等式恒成立问题,对点训练,(12分)已知函数f(x)ax4ln xbx4c(x0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求c的取值范围,规范解答(九) 求解与函数最值有关的综合问题,典例,典题示例,典题试解,
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