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3.4 函数的应用(),目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.平均增长率问题 如果原来产值的基数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值为 . 2.储蓄中的复利问题 如果本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则它们的关系为 .,N(1+p)x,y=a(1+r)x,【拓展延伸】 1.反比例函数模型:y= (k0)型,增长特点是y随x的增大而减小. 2.指数函数模型:y=abx+c(b0,且b1,a0)型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b1,a0),常形象地称为指数爆炸. 3.对数函数模型:即y=mlogax+n(a0,a1,m0)型,增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的越来越慢(底数a1,m0).,自我检测,1.某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如表: 则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( ) y=2x-1;y=x2-1;y=2x-1;y=x2-x+1 (A) (B) (C) (D),B,解析:将(1,1),(2,3),(3,7)代入验证即可.,2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( ) (A)一次函数 (B)二次函数 (C)指数型函数 (D)对数型函数,解析:由题意可知,函数模型对应的函数是个增函数,而且增长速度越来越慢,故应采用对数型函数来建立函数模型,故选D.,D,答案:2 400,类型一,增长率问题,课堂探究素养提升,【例1】 某公司拟投资100万元,有两种投资方案可供选择:一种是年利率10%,按单利计算利息,5年后收回本金和利息;另一种是年利率9%,按每年复利一次计算利息,5年后收回本金和利息.问哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元(结果精确到0.01万元)?,思路点拨:这是一个单利和复利所获得利息多少的比较问题.可先按单利和复利计算5年后的本息和分别是多少,再通过比较作答.,解:本金100万元,年利率10%,按单利计算,5年后的本息和是100 (1+10%5)=150万元. 本金100万元,年利率9%,按每年复利一次计算,5年后的本息和是 100(1+9%)5=153.86万元. 由此可见,5年后按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利,多得利息3.86万元.,方法技巧 在实际问题中,常常遇到关于平均增长率的问题,如果原来产值的基数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,可以用公式y=N(1+p)x表示.,变式训练1-1:(2018湖南衡阳联考)某科技股份有限公司为激励创新,计划逐年增加研发资金投入,若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据:lg 1.10.041,lg 20.301) (A)2022年 (B)2023年 (C)2024年 (D)2025年,类型二,指数函数、对数函数模型,【例2】 某医药研究所研发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);,(2)进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时,药物对治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病的有效时间.,方法技巧 根据条件设出解析式和结合图象中的已知点求解析式是解答的关键.,(2)若x0=5,候鸟停下休息时,它每分钟的耗氧量为多少个单位?,(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min,雌鸟的飞行速度为1.5 km/min,那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍?,类型三,选用函数模型解决问题,【例3】 某个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成表格: 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).,解:只给出数据,没明确函数关系,这样就需要准确地作出函数图象.然后根据图象选择合适的函数模型来解决实际问题. 以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出函数图象,如图所示. 观察函数图象可以看出,A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型来近似地表达,如图所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15, 所以y=-0.15(x-4)2+2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型近似地表达,如图所示.,方法技巧 此题幂函数模型(y=axn+b(a0)的问题,关键是根据表中数据画出各点,由点的分布规律合理建模.,类型四,构建函数模型,【例4】 某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如表所示: 该市煤气收费的方法是: 煤气费=基本费+超额费+保险费. 若每月用量不超过最低限度A m3,只付基本费3元和每户每月的定额保险C元,若用气量超过A m3,超过部分每立方米付B元,又知保险费C不超过5元,根据上面的表格求A,B,C.,思路点拨:此题属于图表信息题,涉及分段函数.主要考查学生阅读理解能力、构建数学模型的能力和应用数学知识解决问题的能力,这也是今后几年高考的热点之一.,两式相减,得B=0.5, 所以A=2C+3. 再分析一月份的用气量是否超过最低限度. 不妨设A4, 将x=4代入y=3+B(x-A)+C, 得3+0.54-(3+2C)+C=4, 由此推出3.5=4,矛盾, 所以A4,所以3+C=4,即C=1, 将C=1代入A=2C+3, 得A=5,所以A=5,B=0.5,C=1.,方法技巧 此题为分段函数问题,题目所涉及的内容在求解过程中,要考虑结果是否满足各段的要求,这是解决此类综合应用题的特点.,谢谢观赏！,
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