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1.2.2 同角三角函数的基本关系,同角三角函数基本关系 问题思考 1.填写下表,你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关系?,2.填空:同角的三角函数基本关系 (1)平方关系:同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2+cos2=1.,3.做一做:(1)sin22 019+cos22 019=( ) A.0 B.1 C.2 019 D.2 019 (2)若sin +cos =0,则tan = . 解析(1)由平方关系知sin22 019+cos22 019=1.,答案(1)B (2)-1 4.已知sin (cos )的值,能否求出cos (sin ),tan 的值?已知sin cos 的值,怎样求出sin cos 的值? 提示利用两种关系式的变形可以解决上述问题.,5.填空:同角三角函数基本关系式的变形 (1)平方关系sin2+cos2=1的变形 sin2=1-cos2;cos2=1-sin2;1=sin2+cos2; (sin +cos )2=1+2sin cos ;(sin -cos )2=1-2sin cos .,sin =tan cos ;,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.,答案(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8),探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,利用同角三角函数关系求值 角度1 已知某个三角函数值,求其余三角函数值,分析已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求解该角的正切值即可.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限; 第二步:依据角的终边所在象限分类讨论; 第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度2 已知tan ,求关于sin 和cos 齐次式的值 【例2】 已知tan =2,则,分析在这里,注意到所求式子都是关于sin 、cos 的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cos 的整数次幂,就把所求值的式子用tan 表示,将tan =2整体代入,就能快速求其值.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,解析(1)注意到分式的分子和分母均是关于sin ,cos 的一次齐次式,可将分子分母同除以cos (cos 0),然后整体代入tan =2的值.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,已知tan ,求关于sin 和cos 齐次式的值的基本方法 已知角的正切值,求由sin 和cos 构成的齐次式(次数相同).,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,角度3 利用sin +cos ,sin -cos 与sin cos 三者之间的关系求值,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,1.由(sin +cos )2=1+2sin cos ,(sin -cos )2=1-2sin cos 可知如果已知sin +cos ,sin -cos ,sin cos 三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,2.sin cos 的符号的判定方法: (1)sin -cos 的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当的终边落在直线y=x上时,sin =cos ,即sin -cos =0;当的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sin cos ,即sin -cos 0;当的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin -cos ,即sin +cos 0;当的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin -cos ,即sin +cos 0.如图所示.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,利用同角三角函数关系化简 【例4】 化简下列各式:,分析(1)对分子利用诱导公式一化简,对分母利用平方关系的变形化简;(2)先对被开方式通分化简,再化简根式.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,三角函数式的化简过程中常用的方法 (1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2+cos2=1,以降低函数次数,达到化简的目的.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,(3)原式=(cos2+sin2)(cos4-cos2sin2+sin4)+3sin2cos2 =cos4+2sin2cos2+sin4=(sin2+cos2)2=1. 因为180270,所以sin 0,cos 0,因此解是唯一的.,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,探究一,探究二,探究三,核心素养提升,思维辨析,在利用sin cos ,sin cos 之间的关系解题时,往往易忽略角的取值范围造成增根或丢根,在已知sin cos 的值求sin +cos 或sin -cos 的值时,需开方,因此要由角的范围确定取“+”还是“-”.,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,答案C,1,2,3,4,5,答案C,1,2,3,4,5,答案sin ,1,2,3,4,5,5.求证:2(1-sin )(1+cos )=(1-sin +cos )2. 证法一左边=2-2sin +2cos -2sin cos =1+sin2+cos2-2sin cos +2(cos -sin )=1+2(cos -sin )+(cos -sin )2=(1-sin +cos )2=右边. 所以原式成立. 证法二左边=2-2sin +2cos -2sin cos , 右边=1+sin2+cos2-2sin +2cos -2sin cos =2-2sin +2cos -2sin cos . 故左边=右边.所以原式成立. 证法三令1-sin =x,cos =y,则(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x. 故左边=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2=右边.所以原式成立.,
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