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专题三 立体几何 第8讲 空间中的平行与垂直,第8讲 空间中的平行与垂直 1.(2017江苏启东中学检测)设l,m为直线,为平面,且l,m,则“lm=”是“”的 条件.,答案 必要不充分,解析 若l,m,lm=,则,可能平行或相交;反之,若l,m,且,则必有lm=,所以“lm=”是“”的必要不充分条件.,2.,为两个不同的平面,m,n为两条不同的直线,下列命题中正确的是 (填上所有正确命题的序号). 若,m,则m; 若m,n,则mn; 若,=n,mn,则m; 若n,n,m,则m.,答案 ,解析 由面面平行的性质可得正确;若m,n,则m,n平行或异面,错 误;由面面垂直的性质定理可知中缺少条件“m”,错误;若n,n,则 ,又m,则m,正确.,3.下列命题中,正确的序号是 . (1)平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平 行; (2)平行于同一个平面的两个平面平行; (3)若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线互相平行; (4)若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面.,答案 (1)(2)(4),解析 若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线互相平行或异面,(3)错 误;由面面平行的判定和性质可得(1)(2)(4)都正确.,4.已知平面平面,=l,直线m,直线n,且mn,有以下四个结论: 若nl,则m;若m,则nl;m和n同时成立;m和n中 至少有一个成立.其中正确结论的序号是 .,答案 ,解析 若nl,则ml,由面面垂直的性质定理可得m,正确;若m, 则ml,又mn,此时n,l的位置关系不确定,可能平行或相交,错误;m 和n可能同时成立,也可能只有一个成立,错误;正确.,题型一 以锥体为载体的空间线面关系,例1 (2018江苏南京高三模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA= ,其余棱长均 为2,M是棱PC上的一点,D,E分别为棱AB,BC的中点. (1)求证: 平面PBC平面ABC; (2)若PD平面AEM,求PM的长.,解析 (1)证明:如图,连接PE. 因为PBC是边长为2的正三角形,E为BC中点, 所以PEBC,且PE= ,同理AE= .因为PA= ,所以PE2+AE2=PA2,所以PEAE. 因为PEBC,PEAE,BCAE=E,AE,BC平面ABC, 所以PE平面ABC. 因为PE平面PBC, 所以平面PBC平面ABC. (2)如图,连接CD交AE于O,连接OM. 因为PD平面AEM,PD平面PDC, 平面AEM平面PDC=OM,所以PDOM,所以 = . 因为D,E分别为AB,BC的中点,CDAE=O, 所以O为ABC的重心,所以 = , 所以PM= PC= .,【方法归纳】 以锥体为载体的空间线面关系问题,首先要考虑锥体的几何 特征,然后根据要证明的问题选择相应的判定定理或性质定理.,1-1 (2018苏锡常镇四市高三调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,ADB=90, CB=CD,点E为棱PB的中点. (1)若PB=PD,求证:PCBD; (2)求证:CE平面PAD.,证明 (1)取BD的中点O,连接CO,PO, 因为CD=CB,所以CBD为等腰三角形,所以BDCO. 因为PB=PD,所以PBD为等腰三角形,所以BDPO. 又POCO=O,所以BD平面PCO.,因为PC平面PCO,所以PCBD. (2)由E为PB中点,连接EO,则EOPD, 又EO平面PAD,所以EO平面PAD. 由于ADB=90,以及BDCO,所以COAD, 又CO平面PAD,所以CO平面PAD. 又COEO=O,所以平面CEO平面PAD, 而CE平面CEO,所以CE平面PAD.,题型二 以柱体为载体的空间线面关系,例2 (2018南通高三调研)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,点E,F分别在 BB1,CC1上(均异于端点),且ABE=ACF,AEBB1,AFCC1.,求证:(1)平面AEF平面BB1C1C; (2)BC平面AEF.,证明 (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1CC1. 因为AFCC1,所以AFBB1. 又AEBB1,AEAF=A,AE,AF平面AEF, 所以BB1平面AEF. 又因为BB1平面BB1C1C, 所以平面AEF平面BB1C1C. (2)因为AEBB1,AFCC1, ABE=ACF,AB=AC, 所以RtAEBRtAFC.,所以BE=CF. 又由(1)知,BECF, 所以四边形BEFC是平行四边形, 从而BCEF. 又BC平面AEF,EF平面AEF, 所以BC平面AEF.,【方法归纳】 (1)面面垂直的证明依据是面面垂直的判定定理,即要证面面 垂直,则必须证明线面垂直,所以又要寻找线线垂直.(2)证明线面平行的方法 一般有两种:一是利用线面平行的判定定理,利用三角形中位线的性质或平行 四边形对边互相平行的性质寻找线线平行;二是先利用面面平行的判定定理 证明面面平行,再由面面平行的性质证明线面平行.,2-1 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为平行四边形,C1B=C1D. 求证:(1)B1D1平面C1BD; (2)平面C1BD平面AA1C1C.,证明 (1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1DD1,且BB1=DD1, 所以四边形BDD1B1为平行四边形, 所以B1D1BD. 又BD平面C1BD,B1D1平面C1BD, 所以B1D1平面C1BD. (2)设AC与BD交于点O,连接C1O.,因为底面ABCD为平行四边形, 所以O为BD的中点, 又C1B=C1D,所以C1OBD.,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,C1C平面ABCD. 又BD平面ABCD, 所以C1CBD. 又因为C1OC1C=C1,C1O,C1C平面AA1C1C, 所以BD平面AA1C1C. 又BD平面C1BD, 所以平面C1BD平面AA1C1C.,题型三 以不规则几何体为载体的空间线面关系,例3 如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O, EFAB,AB=2EF,平面BCF平面ABCD,BF=CF,点G为BC的中点. 求证:(1)直线OG平面EFCD; (2)直线AC平面ODE.,证明 (1)四边形ABCD是菱形,ACBD=O, 点O是BD的中点, 点G是BC的中点,OGCD,且OG= CD. 又OG平面EFCD,CD平面EFCD, 直线OG平面EFCD. (2)BF=CF,点G为BC的中点,FGBC. 平面BCF平面ABCD,平面BCF平面ABCD=BC,FG平面BCF,FG BC.,FG平面ABCD. AC平面ABCD,FGAC. OGAB,OG= AB,EFAB,EF= AB, OGEF,OG=EF, 四边形EFGO为平行四边形,FGEO. FGAC,ACEO. 四边形ABCD是菱形,ACDO, EOOD=O,EO、DO在平面ODE内,直线AC平面ODE.,【方法归纳】 证明或探究空间中线线、线面与面面平行或垂直的位置关 系时,(1)要熟练掌握所有判定定理与性质定理,梳理好常用的位置关系的证 明方法,如证明线面平行,既可以构造线线平行,也可以构造面面平行;(2)要掌 握解题时由已知想性质、由求证想判定,即综合法与分析法相结合来寻找证 明的思路.证题时要避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论.此外,要 会分析一些非常规放置的空间几何体.,
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