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第二课时 两平面垂直,第1章 立体几何初步,学习导航,第1章 立体几何初步,1二面角的概念 (1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成_，其中的每一部分都叫做半平面 (2)二面角：一条直线和由这条直线出发的_所组成的图形叫做二面角这条直线叫做_每个半平面叫做_，如图，中，棱为l或AB，面为、记作l(AB)或PlQ(PABQ)(P，Q分别为在、内且不在棱上的点),两部分,两个半平面,二面角的棱,二面角的面,任意一点,垂直于棱,符号语言：l,Ol,OA,OB，_，_AOB为二面角l的平面角 (4)二面角大小的度量： 二面角的大小可以用它的_来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度二面角的大小范围是_.平面角是直角的二面角叫做_,OAl,OBl,平面角,0180.,直二面角,(3)两个平面垂直的判定定理,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,l，l,3.平面与平面垂直的性质定理,垂直于,1经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有_个 解析：记这两点确定的直线为l.当l 是平面的斜线时，设l在内的射影为m，则l与m确定一个平面，这时；当l时，则过l的任一平面都与垂直 2下列命题中，是真命题的为_(填序号) 二面角的大小范围是大于0且小于90； 一个二面角的平面角可以不相等； 二面角的平面角的顶点可以不在棱上； 二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直,1或无数,解析：二面角的大小范围是0，180，故不正确；一个二面角的平面角可以有许多个，由等角定理，这些平面角必相等，故为假命题；由二面角的平面角的定义可知不正确；由线面垂直的判定定理可知正确 3下列说法：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角，其中正确的是_(填序号),解析：对于，混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于，由于a，b分别垂直于两个平面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对于，因为不垂直于棱，所以是错误的 4如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中,E是BC的中点则平面PAE与平面ABC的位置关系是_ 解析：因为PBPC，E是BC的中点，所以PEBC，同理AEBC，又AEPEE，所以BC平面PAE.又BC平面ABC，所以平面PAE平面ABC.,垂直,如图，在四面体SABC中，ASC90，ASBBSC60，SASBSC. 求证：平面ASC平面ABC. (链接教材P48例2),面面垂直的判定,法二：同上可证得BABCBS. 作BD平面ASC交于D，连结DA，DC，DS. BABCBS，DADCDS. D为ACS的外心 ACS中，ASCS， ACS的外心落在斜边的中点上，即DAC， BD平面ABC.平面ASC平面ABC.,方法归纳 根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一条直线与另一平面垂直,1. 如图，设AB是圆O的直径，C是圆周上除A，B外的任意一点，PA平面ABC.求证：平面PAC平面PBC. 证明：在圆O中，AB是直径，C为圆O上除A，B外的一点，故ACB90，即ACBC.又PA平面ABC， BC平面ABC， PABC.故BC平面PAC. BC平面PBC，平面PBC平面PAC.,如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1，求证：CF平面BDE. (链接教材P49练习T6),面面垂直性质定理的应用,方法归纳 在应用面面垂直的性质定理时必须注意两个条件：线在平面内；线垂直于两平面的交线，因此找准两平面的交线是关键 在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件,如图，在三棱锥VABC中，VAVBACBC2，AB2，VC1，试画出二面角VABC的平面角，并求它的度数 (链接教材P47例1),求二面角的大小,解 取AB的中点E，连结VE，CE. VAVBACBC2， VEAB，CEAB， VEC就是二面角的平面角 VEECVC1， VEC60.,方法归纳 (1)求空间角，如二面角、直线和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值 (2)求二面角的大小，其步骤一般有三步： “作”：作出二面角的平面角 “证”：证明所作的角是二面角的平面角 “求”：解三角形，求出这个角,规范与警示 (1)在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性 (2)注意掌握好以下几个相似的结论 垂直于同一平面的两条直线平行 垂直于同一条直线的两个平面平行 垂直于同一平面的两个平面平行或相交 垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面,错因与防范 (1)使用线面平行的判定定理时，必须证得三个条件同时具备，才能判定直线与平面平行，不可省略任何一个条件 (2)由面面线面面面，注意转化思想的应用，每步必须满足定理的条件，如若省略条件，将导致证明推理过程不严密而丢分 (3)解题过程要表达准确、格式要符合要求每步推理要有根有据计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点引入数据要明确，要写明已知、设等字样，要养成良好的书写习惯,4. 如图所示，在空间四边形ABCD中，ABCB，ADCD，E、F、G分别是AD、DC、CA的中点 求证：平面BEF平面BDG.,
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