求函数定义域与值域若干方法

求函数定义域与值域的若干方法 函数定义域与值域的定义给定两个实数集和，若有对应法则,使得对内每一个数，都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在数集上的函数，数集称为函数的定义域，所对应的数称为在点的函数值常记作，全体函数值的集合称为函数的值域.1.函数的定义域的求法在函数解析式的研究中，必需考虑数值计算是否合理，常遇到的考虑是：（1）对分式：分母不为0；（2）对偶次根式：被开方式大于0；（3）对于对数：真数大于0（底数中若含有自变量时，还要考虑底数大于0，且底数不等于1）；（4）对于三角函数： 正弦、余弦函数， 正切、余切函数，（k为整数） 余切、余割函数， （k为整数）（5）对于反三角函数：必须有，必须有如果涉及到几个方面时，就可解不等式组，求出定义域.对于实际问题或几何问题，必须使实际问题或几何问题有意义.1.1整式函数的定义域整数函数的定义域为一切实数，例如=2x+4和=的定义域都是一切实数.1.2分式函数的求法用分式表示的函数的定义域的求法可以由解出值来.即其定义域是使分母的值不为0的所有实数.例1 求函数的定义域. 分析：函数是形式的分式函数 ，因此该函数的定义域为满足的所有的取值. 解：由得 ，知,所以函数的定义域为: 点评：本题关键是了解分式函数的定义域为满足分母不为0的所有的解集1.3无理函数的定义域用无理式表示的函数的定义域的求法： （1）当为奇数，且表示整式时，为任何实数；（2）当为偶数时，由不等式解出的范围.例2 求函数的定义域. 分析：无理函数中为偶数，因此只需满足，解出为所求. 解：由 解得 或 ，所以函数的定义域为: 点评：函数的定义域为的所有的集合.例3 求函数的定义域. 分析：无理函数的定义域要满足无理函数与都成立，即解：由 解得 所以函数的定义域为: 点评：本题解题的关键是明白满足函数的所有应满足函数的同时同样也满足所以函数的定义域为函数与函数的交集.1.4 对数函数的定义域对数函数（其中但）的定义域的求法，由不等式解出的范围.例4 求函数的定义域. 分析：函数为对数函数形式，我们知道对数函数定义域其中，因此只需解出 解：由， 得 ，所以函数的定义域为：点评：本题关键是了解的定义域为的取值，所以的定义域为的的集合.1.5 三角函数的定义域（1）正弦函数和与弦函数的定义域都是一切实数.（2）函数的定义域可由（为整数）解出.（3）函数的定义域可由（为整数）解出.例5 求函数的定义域. 分析：函数的定义域可由（为整数）解出，在函数中，因此只需解出即可解：由 得 ，所以函数的定义域为：点评：函数的定义域可由（为整数）解出，由所以例6 求函数的定义域. 分析：函数的定义域可由（为整数）解出，在函数中，因此要求原函数定义域只需解出即可. 解：由 解得 ，所以函数的定义域为：.点评：函数的定义域可由（为整数）解出，由所以.1.6 反三角函数的定义域（1）反三角函数的定义域可由解出.（2）反余弦函数的定义域可由解出.例7 求函数的定义域. 分析：可以看出分式函数的定义域应同时满足函数与且分母，我们知道反三角函数的定义域可由解出，对数函数（其中但）的定义域由不等式解出的范围，因此原函数的定义域只需解出方程组，即可 解：由 ， 知 ，且，所以函数的定义域为：. 1.7 幂函数的定义域方幂函数的指数是无理数或含有变数时，若使这方幂有意义，必须使幂的底数为正. 例8 函数的定义域为 例9 函数的定义域为1.8 复合函数的定义域设在中，的定义域为，的定义域为，则得定义域为，即 = 例10 设的定义域为，求下列函数的定义域；(1) ；(2) ；(3) . 解：（1），知定义域为： （2）l,知定义域为： （3），知函数定义域为：点评：对于以上3小题中，原函数的定义域分别为(1) (2) (3) 的内函数 的值域.2.函数值域的求法 一般说来，函数的值域受其定义域的制约，几种常见的基本初等函数的值域如下：（1）常数函数 ，值域为一个值c的集 即 （2）幂函数（n为正整数）的值域为：（3）指数函数，值域为：（4）对数函数 值域为：（5）正弦函数，余弦函数，值域为：（6）正切函数，余切函数，值域为：（7）正割函数,余割函数,值域为：求函数值域的基本方法主要有：观察法、三角函数法、反函数法、换元法、配方法、不等式发、判别式法、单调性法、数形结合法.2.1观察法： 有些函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域.如函数的值域为.2.2 三角函数法： 利用三角函数的有界性求值域. 例1 求函数的值域. 分析：我们可以看出函数中可以用表示，由可以解出的取值范围. 解：原函数关于的方程：所以函数的值域为：.点评：本题关键是用表示，再用的有界性求的范围.2.3反函数法：用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域.形如的函数值域可用此法. 例2 求函数的值域. 分析：函数是形如的函数，因此要求其值域只需求其反函数，解出该反函数定义域即为所求. 解：去分母的 ， 得，即 ， 所以再由 得 所以函数的值域为：点评：本题也可采用分离变量求解即：.2.4换元法：运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如（、b、c、d均为常数，且0）的函数常用此法求值域. 例3 求函数的值域. 分析：函数是形如（、b、c、d均为常数，且0）的函数，我们只需令用表示函数可以得到（），在解出该函数的值域即可. 解：设， 则 所以 得 ,所以值域为：.点评：本题关键是去除函数的根号，用再解出，即可用来表示的函数. 例4 求函数的值域. 分析：通过观察函数的值域我们可以看出，即，可以考虑三角代换得即可解出原函数的值域. 解：因为 所以 设， 则,因为 , 所以 , 所以, 所以,所以函数值域为：.点评：本题用代数代换不能取出根号，考虑用三角代换较易.2.5 配方法：二次函数或转化为形如F(x)=类的函数的值域问题，均可以用配方法，而后面的函数要注意的范围. 例5 求函数的值域. 分析：函数可以通过配方得到解除原函数的值域. 解：因为, 所以 得值域为：. 点评：本题关键是将函数配方. 2.6不等式法： 利用基本不等式：用此法求函数值域时，要注意条件“一正二定三相等”如：利用求某些函数值域时应满足三个条件：（1）；（2）为定值（3）取等号条件.三条件缺一不可. 例6 求函数的值域. 分析：由知而为定值，满足不等式法条件，利用不等式，有 .解：,而 ,所以 ,所以函数的值域为：. 例7 设，求函数的值域. 分析：我们由已知可知，满足不等式法的条件，又由函数=，=1利用不等式可以得到. 解：因为， 所以 ，所以，又因为=，所以函数y的值域为：.点评：原函数用不等式法证明时应首先检验其是否满足条件，如果不满足时不能用不等式法证明.2.7判别式法：把已知函数解析式经过变形，转化为关于x的一元二次方程，因为x是实数，所以判别式，解此不等式便得到函数的值域.但由于函数本身的特殊性，还必须对函数本身进行具体分析.应用判别式求函数的值域应当注意，由于函数的变形可能产生值域的扩大或缩小. 例8 求函数的值域. 分析：函数的定义域为且可以通过去分母转化为关于x的一元二次方程，再用判别式法求出函数的值域. 解：去分母的，即因为x取所有实数，所以判别式 ，即， 所以 得 ，所以函数的值域为：.点评：遇到形如（、不同时为0）的函数的值域可考虑用判别式法进行求解. 例9 已知函数的定义域为，值域为，求的值. 分析：函数的值域为，可以得出，又可以转化为关于x的一元二次方程，可以用判别式法对其进行讨论. 解：函数的定义域为，值域由题设知为，由，得，因为 ，且 设，所以，即，由知，关于u的一元二次方程的两根为1和9， 由韦达定理，得， 解得： ，若 ，u=m=5时， 对应 符合条件，所以 为所求.点评：已知函数的定义域和值域，求参数的值或范围，是一种逆向思维，解决此类问题时，要求对定义域、值域概念，可以变换角度，构造新的函数，把求参数的值或范围问题转化为求新函数的值域问题.2.8利用函数单调性求值域确定函数在定义域的单调性求出函数值域的方法为单调性法. 例10 求函数的值域. 解：当时，为减函数， 所以，当时为增函数，所以 ，当时， ，所以函数的值域为：.点评：对一般含绝对值问题首先考虑去函数的绝对值,本题采用分段讨论去函数绝对值的方法.2.9 数形结合求值域: 利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图像来求函数的值域. 例11 求函数的值域. 分析：函数变形得可看作点（2，0）与圆上的点的连线斜率的相反数. 解：由，可看作点（2，0）与圆上的点的连线斜率的相反数，结合图形：yNAMxO, 所以函数的定义域为:.2.10 含三角函数的函数值域的求法三角函数的值域为：（1）， （2） （3） （4） 例12 求函数的值域. 分析：由，可知，再由函数的单调性可求出函数的值域. 解：当时，有最小值为, 当时，有最大值为 , 此时 , 所以函数的值域为：.点评：函数的值域可以先求出的取值范围再由它是单调性求出该函数的值域2.11 含反三角函数的函数值域的求法 反三角函数的值域为：（1） （2）（3） （4） 例13 求函数的值域. 分析：由可以得到，有 解：因为 ，所以 ， 所以函数的值域为：点评：本题关键是了解与（c为常数）的取值范围都为. 例14 求函数的值域. 分析：我们由可知，得到原函数的取值范围 解：因为 ,所以 , 所以 ，所以函数的值域为：.点评：与（c为常数）的取值范围都为.2.12 利用二次函数的极值求值域设有二次函数 .（1），当时， ，所以函数的值域外围：（2），当时， 所以函数的值域外围：. 例15 求函数的值域. 分析：由已知函数知，而的最大值为4，可以得到函数的取值范围. 解：，当时，的极大值为4，所以 , 所以函数的值域为：.点评：极值求值域时求出函数的最大值（最小值）还不够，同时注意