论微积分在经济分析中的应用

论微积分在经济分析中的应用 摘 要：微积分作为数学知识的基础 ,是学习经济学的必备知识 ,着重讨论了微积分在经济学中最基础的部分应用，计算边际成本、 边际收入、 边际利润并解释其经济意义, 寻求最小生产成本或制订取得最大利润的一系列策略。关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值1 导数在经济分析中的应用1.1 边际分析在经济分析中的的应用1.1.1 边际需求和边际供给设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。1.1.2 边际成本函数总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C=C(Q)C(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达成Q0时，假如增减一个单位产品，则成本将对应增减C(Q0)个单位。1.1.3 边际收益函数总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R=R(Q)R(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达成Q0时，假如增减一个单位产品，则收益将对应地增减R(Q0)个单位。1.1.4 边际利润函数利润函数L=L(Q)=R(Q)C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L=L(Q)=R(Q)C(Q).L(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达成Q0时，假如增减一个单位产品，则利润将对应增减L(Q0)个单位。例1 某企业每个月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q210Q+20。假如每吨产品销售价格2万元，求每个月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。解：每个月生产Q吨产品的总收入函数为：R（Q）=20QL（Q）=R（Q）C（Q）=20Q（Q21Q+20）=Q2+30Q20L(Q)=(Q2+30Q20)=2Q+30则每个月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为L(10)=210+30=10（千元/吨）；L(15)=215+30=0（千元/吨）；L(20)=220+30=10（千元/吨）；以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而降低1万元。显然，企业不能完全靠增加产量来提升利润，那么保持怎样的产量才能使企业取得最大利润呢？1.2 弹性在经济分析中的应用1.2.1 弹性函数设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量yy=f(x+x)f(x)y和自变量的相对改变量xx之比，当x0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对改变率，或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limx0yyxx=limx0yxxy=f(x)xf(x)在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。1.2.2 需求弹性经济学中，把需求量对价格的相对改变率称为需求弹性。对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，因为价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调降低函数，P和Q异号，因此特殊地定义，需求对价格的弹性函数为(p)=f(p)pf(p)例2 设某商品的需求函数为Q=ep5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。 1/2 12尾页 解：(1)(p)=f(p)pf(p)=(15)ep5.pep5=p5；(2)(3)=35=0.6;(5)=55=1;(6)=65=1.2(3)=0.61，说明当P=6时，价格上涨1%，需求降低1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。1.2.3 收益弹性收益R是商品价格P和销售量Q的乘积，即R=PQ=Pf(p)R=f(p)+pf(p)=f(p)(1+f(p)pf(p)=f(p)(1)因此，收益弹性为EREP=R(P).PR(P)=f(p)(1)ppf(p)=1这么，就推导出收益弹性和需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性和需求弹性之和等于1。（1）若0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或降低）(1)%；（2）若1，则EREP0,n0,p0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和对应的边际成本。解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2nx+p，C=2mxn令C，得x=n2m，而C(x)=2m0。因此，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。（2）(n2m)=m(n2m)2n(n2m)+p=(4mpn24m)，又C(x)=3mx22nx+p，C(n2m)=3m(n2m)22m(n2m)+p=4mpn24m因此，最小平均成本等于其对应的边际成本。1.3.2 最大利润问题例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q收益函数R(Q)=pQ=(60Q1000)Q=60QQ21000则利润函数L(Q)=R(Q)C(Q)=Q21000+40Q60000L(Q)=1500Q+40,令(Q)=0得Q=20210L(Q)=15000Q=2000时L最大，L（2000）=340000元因此生产20210个产品时利润最大，最大利润为340000元。2 积分在经济中的应用在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），通常采取不定积分来处理，或求一个变上限的定积分；假如求总函数在某个范围的改变量，则采取定积分来处理。例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价要求为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。解:总成本函数为C(x)=x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000总收益函数为R(x)=500x总利润L(x)=R(x)C(x)=400xx21000，L=4002x，令L=0，得x=200，因为L(200)0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=40020020021000=39000（元）。在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就肯定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。总而言之，对企业经营者来说，对其经济步骤进行定量分析是很必须的。将数学作为分析工具，不仅能够给企业经营者提供准确的数值，而且在分析的过程中，还能够给企业经营者提供新的思绪和视角，这也是数学应用性的详细表现。所以，作为一个合格的企业经营者，应该掌握对应的数学分析方法，从而为科学的经营决议提供可靠依据。参考文件1聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分.北京：对外经济贸易出版社，2021,（6）.2顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用.职业圈，2021,（4）.3李春萍.导数和积分在经济分析中的应用.商业视角，2021,（5）.4褚衍彪.高等数学在经济分析中的利用.枣庄学院学报，2021,（10）. 2/2 首页12