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在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断.,数学中同样有许多问题需要我们作出判断.,下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？,（1）三角形的内角和等于180； （2）如果| a | = 3，那么a = 3； （3）1月份有31天； （4）作一条线段等于已知线段； （5）一个锐角与一个钝角互补吗？,一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.,例如，上述语句（1），（2），（3）都是命题；,语句（4），（5）没有对事情作出判断，就不是命题.,下列命题的表述形式有什么共同点？ （1）如果a = b且b = c，那么a = c；,（2）如果两个角的和等于90，那么这两个角 互为余角.,它们的表述形式都是“如果，那么”.,命题通常写成“如果，那么”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.,例如，对于上述命题（2），,“两个角的和等于90”就是条件，,“这两个角互为余角”就是结论.,（2）如果两个角的和等于90，那么这两个角互为余角.,有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”.,如：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简写成“对顶角相等”；,“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等” 可以简写成“同角的余角相等”.,（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成 “如果，那么”的形式：,那么这个数是偶数,如果一个数能被2整除,那么这两个角是对顶角,如果两个角有公共顶点,那么它们的同位角相等,如果两条直线平行,那么这两条直线平行,如果两个同位角相等,（2）上述命题与的条件与结论之间有什么联系？,两直线平行，同位角相等. 同位角相等，两直线平行.,命题与的条件与结论互换了位置.,对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.,例如，上述命题与就是互逆命题.,两直线平行，同位角相等. 同位角相等，两直线平行.,条件,结论,“若q，则p”,从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.,1. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？,（2）两点之间线段最短；,（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.,（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？,（1）如果x=3，求 的值；,不是命题,是命题,不是命题,是命题,2. 将下列命题改写成“如果，那么” 的形式.,（1）两条直线相交，只有一个交点；,（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；,答：如果两条直线相交，那么这两条直线 只有一个交点.,答：如果一个整数的个位数字是5，那么这 个数一定能被5整除.,（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.,（3）互为相反数的两个数之和等于0；,答：如果两个数是互为相反数，那么这 两个数之和等于0.,答：如果某角是三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个内角.,3. 写出下列命题的逆命题：,（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；,（2）如果m是整数，那么它也是有理数；,（3）两直线平行，内错角相等；,（4）两边相等的三角形是等腰三角形.,答：绝对值相等的两个数相等,答：如果m是有理数，那么它也是整数,答：内错角相等，两直线平行,答：等腰三角形的两边相等,下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你的理由.,（1）每一个月都有31天；,（2）如果a是有理数，那么a是整数.,（3）同位角相等；,（4）同角的补角相等.,错误,错误,错误,正确,上面四个命题中，命题（4）是正确的，,命题（1），（2），（3）都是错误的.,我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.,要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.,例如，要判断命题“如果a是有理数，那么a是整数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题.,我们通常把这种方法称为“举反例”.,判断下列命题为真命题的依据是什么？,（1）如果a是整数，那么a是有理数；,（2）如果ABC是等边三角形，那么ABC是 等腰三角形.,分别是根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断.,从上可以看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.,事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的.,当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.,例如，“如果1和2是对顶角，那么1=2”是真命题，但它的逆命题“如果1=2，那么1和2是对顶角”就是假命题.,1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？ 请说说你的理由.,（1）绝对值最小的数是0；,答：真命题,（2）相等的角是对顶角；,（3）一个角的补角大于这个角；,（4）在同一平面内，如果直线al，bl， 那么ab.,答：假命题,答：假命题,答：真命题,2. 举反例说明下列命题是假命题：,（1）两个锐角的和是钝角；,（2）如果数a，b的积ab0，那么a，b都是正数；,（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.,答：直角三角形的两个锐角和不是钝角,答：-1和-3的积是(-1)(-3)0，-1和-3不是正数.,答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截， 它们的同位角不相等,3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题， 而且都是真命题.,答：两直线平行，内错角相等。 内错角相等，两直线平行。,观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.,采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.,从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360，但不能很准确地都得到360.,另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360.,此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题.,要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.,数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.,证明的每一步都必须要有根据.,证明命题“三角形的外角和为360”是真命题.,在分析出这一命题的条件和结论后，我们就可以按如下步骤进行：,已知：如图，BAF，CBD和ACE分别是ABC的三个外角.,求证：BAF+CBD+ACE=360.,证明如图，, BAF=2+3，,BAF+CBD+ACE=2(1+2+3)(等式的性质).,CBD=1+3，,ACE=1+2（三角形外角定理），,1+2+3=180(三角形内角和定理)，, BAF+CBD+ACE=2180=360.,例1 已知：如图，在ABC中，B=C，点D在线 段BA的延长线上，射线AE平分DAC.,求证：AEBC.,举 例,证明：DAC =B +C（三角形外角定理），,B=C（已知），, DAC=2B（等式的性质）.,又AE平分DAC（已知），,DAC=2DAE（角平分线的定义）,DAE=B（等量代换）.,AEBC（同位角相等，两直线平行）,例2 已知：A，B，C是ABC的内角.,求证：A，B，C中至少有一个角大 于或等于60.,证明 假设A，B，C 中没有一个角大于 或等于60，,即A60，B60，C60，,则A+B+C180.,这与“三角形的内角和等于180”矛盾，,所以假设不正确.,因此，A， B， C中至少有一个角大于或等于60.,像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.,反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.,1. 在括号内填上理由.,已知：如图，A+B= 180. 求证：C+D= 180. 证明：A+B= 180（已知）， ADBC（ ）. C+D= 180 （ ）.,同旁内角互补，两直线平行,两直线平行，同旁内角互补,2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截， 1=2. 求证：2=3，3+4=180.,证明： 1=2，, 2 =3（两直线平行,内错角相等）,3+4=180（两直线平行, 同旁内角互补）., ABCD（同位角相等，两直线平行）,3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E. 求证：A+C=B+D.,证明： AB与CD 相交于点E ，, AEC=BED （对顶角相等），,又 A+C +AEC =B+D +BED =180 （三角形内角和等于180），,例,下列四个命题中是真命题的有（ ）. 同位角相等；相等的角是对顶角；直角三角形两锐角互余；三个内角相等的三角形是等边三角形. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,C,
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