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南京市六校联合体高二期末试卷 数学（理科） 2018.6参考公式：方差一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1设为虚数单位，复数，则的模 .2一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为 .3命题“若，则复数为纯虚数”的逆命题是 命题.（填“真”或“假”）4已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为 .5将一颗骰子抛掷两次，用表示向上点数之和，则的概率为 .6用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 .7函数在点处切线方程为，则= .8若的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是 .i1S0While i8 S3i+S ii+2End WhilePrint S第9题9根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为 .10若，则= .11已知R，设命题P：；命题Q：函数只有一个零点.则使“PQ”为假命题的实数的取值范围为 .12有编号分别为1，2，3，4，5的5个黑色小球和编号分别为1，2，3，4，5的5个白色小球，若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球，则有 种不同的选法.13观察下列等式：请你归纳出一般性结论 .14乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,则的最大值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，以为极点，为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是(为参数)求直线被曲线截得的弦长.16.（本小题满分14分）A1BADCBAO（第16题）EBAB1A1CBAC1D1在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1EEO. （1）若=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE平面CD1O，求的值.17.（本小题满分14分）已知，（1）求的值;（2）若且，求的值;（3）求证：.18.（本小题满分16分）某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量表示该游戏者所得分数.（1）求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率;（2）求随机变量的分布列和数学期望19.（本小题满分16分）已知函数（1）若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围;（2）若在处有极值10，求的值;（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.20.（本小题满分16分）把圆分成个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有种方法.(1)写出，的值；(2)猜想，并用数学归纳法证明。南京市六校联合体高二期末试卷数学（理科）参考答案一、填空题1. 2. 3. 真 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.13. 14.二、解答题15.曲线的直角坐标方程是4分 直线的普通方程是8分圆心到直线的距离11分弦长为14分16.解(1以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E， 于是，.由cos.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为. 6分（2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m0，m0得 取x11，得y1z11，即m=(1，1，1) . 8分由D1EEO，则E，=.10分又设平面CDE的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0.得 取x2=2，得z2，即n(2，0，) .12分因为平面CDE平面CD1F，所以mn0，得2 14分17（1）令，则=0，又 所以4分（2）由，解得，所以9分（3）14分18该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为、，该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件则；答：该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为6分(2)由题意可知，的可能取值为、， ， ，所以的分布列为14分所以的数学期望16分19解：(1) f(x)=3x2+2mx，由f(x)在区间1，+)上是单调递增函数得，当x1时，3x2+2mx0恒成立，即mx恒成立，解得m；4分 （2），由题或 当时，无极值，舍去. 所以8分（没有舍扣2分）（3）由对任意的x1，x21，1，有| f(x1)f(x2)|2恒成立，得fmax(x)fmin(x)2且| f(1)f(0)|2，| f(1)f(0)|2，解得m1，1，10分当m=0时，f(x)0，f(x)在1，1上单调递增，fmax(x)fmin(x)= | f(1)f(1)|2成立11分当m(0，1时，令f(x)0，得x(m，0)，则f(x)在(m，0)上单调递减；同理f(x)在(1，m)，(0，1)上单调递增，f(m)= m3+m2，f(1)= m2+m+1，下面比较这两者的大小，令h(m)=f(m)f(1)= m3m1，m0，1，h(m)= m210，则h(m)在(0，1 上为减函数，h(m)h(0)=10，故f(m)f(1)，又f(1)= m1+m2m2=f(0)，仅当m=1时取等号.所以fmax(x)fmin(x)= f(1)f(1)=2成立 同理当m1 ，0)时，fmax(x)fmin(x)= f(1)f(1)=2成立 综上得m1 ，116分20.解：（1）2+4=6分（2）当时，首先，对于第1个扇形，有4种不同的染法，由于第2个扇形的颜色与的颜色不同，所以，对于有3种不同的染法，类似地，对扇形，均有3种染法对于扇形，用与不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形颜色相同的情况，而扇形与扇形颜色相同的不同染色方法数就是，于是可得10分猜想12分 当时，左边，右边，所以等式成立 假设时，则时，即时，等式也成立综上16分
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