资源描述
1,第六章学习的定积分是一元函数y=(x)在闭区间a,b,本章用定积分的基本思想去建立二重积分的概念，,已知的立体和旋转体)体积的计算方法;但对于一般立体的,第九章 二重积分,上的积分；下面我们来学习二元函数在有界闭区域D上的,积分，即二重积分.,推导它的计算公式，研究它的计算方法.,在定积分的应用中,已给出了一些特殊立体(截面面积,体积问题却仍不会处理.,2,第九章 二重积分,9.1 二重积分的概念 9.2 在直角坐标系下二重积分的计算 9.3 二重积分的换元法 9.4 在极坐标系下二重积分的计算 9.5 无界区域上的二重积分,3,中底是xy平面上的一个有界闭区域D,z,y,O,x,D,C,z=(x,y),(x,y),分析：,定义1 设有一立体是由底、侧面、顶三部分围成；其,方程为z=(x,y) (x,y)D, 连续且(x,y) 0.,侧面是以D的边界,曲线C为准线、 母线平行于z轴的柱面,顶是一曲面，其,则称此立体为曲顶柱体.,但对于曲顶柱体因其高(x,y) 是,因平顶柱体体积为“底面积高”,来定义和计算了；,个变量，其体积就不能用,“底面积高”,4,但从某点的某个充分小邻域局部范,z,y,O,x,D,C,z=(x,y),(x,y),但由(x,y)的连续性知：,从整个定义域来看“高是变化的”；,围内来看z0，即高可“看成”,不变；,体积之和.,此时在此邻域内对应的曲顶柱体体积就近似于平顶,柱体之体积；,故整个曲顶柱体之体积就近似于全部小平顶柱体的,5,下面仍用定积分求曲边梯形面积的思想方法一样来,求曲顶柱体体积：,1.分割,用一组曲线网任意地将区域D分成n,个小区域(如图),并以,表示第i个小区域的面积 ；,x,y,O,6,n个小曲顶柱体;,z,y,O,x,D,再以各小区域 的边界为准线，,作母线平行于z轴的曲顶柱体；,相应地把原曲顶柱体分割成,并设第i个小曲顶柱体体积为,设所求体积为V,则,7,2. 以平代曲，近似代替,内任取一点,y,O,x,D,在每个小区域,8,3.求和取极限,若当d0时(此时必有n,但n不能保证有d0),x,y,O,则定义此极限为曲顶柱体之体积.,存在，,注1 这种和式的极限的应用极广；各个领域中的不少 问题通常都要化为这种和式的极限；我们常把这种和 式的极限称为,二重积分.,9,9.1 二重积分的概念,定义2 设(x,y) 是有界闭区域上的有界函数，将D任意,当各小区域中的,存在，且与区域的分割及点,极限值为二元函数(x,y)在区域D上的二重积分，记作,一. 二重积分的概念,取法无关，则称此,作和式,分割成n个小区域,在各小区域,内任,取一点,最大直径,10,区域，d为面积,其中(x,y)为被积函数, D为积分,注2 若函数(x,y)在区域D上的二重积分存在，此时,定理1 若(x,y)在有界闭区域D上连续，则(x,y)在D,元素，(x,y)d为被积表达式.,又称(x,y)在区域D上可积.,上一定可积.,注3 由定义2知：若(x,y)在D上可积，则其和式极限,的存在性与区域D的分法无关，即与小区域,状无关.,的形,11,故在直角坐标系下，我们常采用平行于坐标轴的直,x,y,O,则小区域 的面积为,在上述分法下,类似一元函数微分取极限后,面积元素为,故在直角坐标系下，二重积分可写为,其边长分别为 和,线来划分D (如图).,此时的小区域,的形状为小矩形,d =dxdy,12,注4 二重积分的几何意义：,当函数z=(x,y)在区域D上连续且(x,y) 0时,二重积分,表示以曲面z=(x,y)为顶，以区域D为底的,特别地,当(x,y)=1时,二重积分,表平面区域D的面积.,但它们的量纲不一样.,曲顶柱体之体积.,即高度为1的平顶柱体之体积等于此柱体的底面积；,13,二. 二重积分的性质,二重积分与定积分具有相应的性质,其证明方法与定积分,性质2 函数的代数和的积分等于各函数积分的代数和，,性质1 常数因子可提到积分号外，即,现分述如下而不证明:(以下总假定涉及的函数,基本相同;,在D上是可积的),即,14,注5 综合性质1和性质2就有积分的线性运算性，并可,性质3 (区域可加性)若区域D被某曲线分割成两个部分,性质4 对任意的(x,y)D,有(x,y)=1, 为闭区域D的,则,区域,面积,则,推广到有限个函数的情形 ：,15,性质5 (单调性)对任意的(x,y)D,有(x,y)g(x,y),则,特别地有,性质6 (估值定理) 若M和m分别是(x,y)在闭区域D上,的最大值和最小值， 为区域D的面积，则,性质7 (中值定理) 设(x,y)在闭区域D上连续， 为,区域D的面积，则在D上至少存在一点(,)，使得,16,中值定理的几何意义：,在闭区域D上以曲面z=(x,y)为顶的曲顶柱体之体积,等,于区域D上某一点(,)的函数值为高的平顶柱体之体积.,例1 比较下列二重积分的大小：,x,y,O,x+y=1,1,1,2,3,则区域D内的点(x,y)均满足x+y1,从而,17,解 由第八章二元函数最值的求法知：,存在的点的函数值以及区域D的边界上的最值,再比较,先在区域D内求,须先求出(x,y)在D内全部驻点的函数值、一阶偏导不,大小,其最大者为最大值,最小者为最小值.,要求,从而z(0,0)=9.,18,再在区域D的边界上求，此时问题已变为条件极值；,则由方程组,而区域D的面积 =4,19,解 因(x,y)在闭区域D上连续,而,则由得中值定理,=(0,1)=1.,
展开阅读全文