湖南师大附中 高二上学期期末考试数学理Word版含答案

湖南师大附中20172018学年度高二第一学期期末考试数学(理科)命题：贺仁亮朱修龙严勇华周艳军审题：高二数学备课组时量：120分钟满分：150分得分：_一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设向量a(1，0)，b，则下列结论中正确的是A|a|b| Bab Cab Dab与b垂直3设m，n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：；m；m.其中正确的命题是A B C D4已知命题p：x0R，使sin x0；命题q：x，xsin x，则下列判断正确的是Ap为真 B綈q为真 Cpq为真 Dpq为真5若曲线x2y22x6y10上相异两点P、Q关于直线kx2y40对称，则k的值为A1 B1 C. D26已知f(x)sin xcos x(xR)，函数yf(x)的图象关于直线x0对称，则的值可以是A. B. C. D.7若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为A1 B1 C0 D28为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：年收入x(万元)8.28.610.011.311.9年支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程x，其中0.76，yx，据此估计，该社区一户年收入为15万元时家庭年支出为A11.4万元 B11.8万元 C12.0万元 D12.2万元9若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a等于A2 B1 C1 D210公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”。利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为(参考数据：1.732；sin 150.258 8；sin 7.50.130 5.)A12 B24C36 D4811若双曲线1(a0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为A1 B2C3 D612某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为A2 B2 C4 D2答题卡题号123456789101112答案二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13(1cos x)dx_14已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)在函数y2x2x 的图象上，则数列an的通项公式为an_15设m1，在约束条件下，目标函数zx5y的最大值为4，则m的值为_16已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是_三、解答题：本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c为最大边，又已知bR，其中R是ABC的外接圆半径且bsin B(ac)sin A. ()求角B的大小；()试判断ABC的形状18.(本小题满分12分)在如图所示的六面体中，面ABCD是边长为2的正方形，面ABEF是直角梯形，FAB90，AFBE，BE2AF4.()求证：AC平面DEF；()若二面角EABD为60，求直线CE和平面DEF所成角的正弦值19.(本小题满分12分)已知数列an满足a11，a23，an13an2an1(nN*，n2)()证明：数列是等比数列，并求出的通项公式；()设数列满足bn2log4，证明：对一切正整数n，有.20.(本小题满分12分)某商场准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装，2种家电，3种日用品这3类商品中，任意选出3种商品进行促销活动()若选出的3种商品中至少有一种是日用商品，求共有多少种选法？()商场采用顾客每购买一件促销商品就可摸奖一次的促销方案：若甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共四个球若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖，试求在1次摸奖中，获得一、二、三等奖的概率p1、p2、p3.21.(本小题满分12分)已知椭圆C1：1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率()求椭圆C2的方程；()若椭圆C2与x轴正半轴相交于点A.过点B(1，0)作直线l与椭圆C2相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x3分别交于点M，N.求的取值范围22.(本小题满分12分)已知函数f(x)ln xx2(m2)x有两个极值点x1、x2，其中x10，y为单调递增函数，有yy0恒成立，即x，xsin x，所以q真判断可知，D正确5D【解析】曲线方程可化为(x1)2(y3)29，由题设知直线过圆心，即k(1)2340，k2.故选D.6D【解析】f(x)2sin， 又yf(x)2sin的图象关于直线x0对称，即为偶函数，k，k，kZ，当k0时，.7A【解析】设a0a1a2a3a4a(2)4，a0a1a2a3a4b(2)4，则待求式ab(2)(2)41.8B【解析】由已知得x10(万元)，y8(万元)，故80.76100.4，所以回归直线方程为0.76x0.4，当社区一户年收入为15万元时家庭年支出为0.76150.411.8(万元)，故选B.9D【解析】f(x)sin xxcos x，f1，即函数f(x)xsin x1在x处的切线的斜率是1，直线ax2y10的斜率是，所以11，解得a2.故选D.10B【解析】n6时，S6sin 602.5983.10，故n12；又n12时，S12sin 3033.10，故输出n的值为B.11B【解析】双曲线1的渐近线方程为yx，即xay0，圆(x2)2y24的圆心为C(2，0)，半径为r2，如图，由圆的弦长公式得弦心距|CD|，另一方面，圆心C(2，0)到双曲线1的渐近线xay0的距离为d，所以，解得a21，即a1，该双曲线的实轴长为2a2.12C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图设长方体的长，宽，高分别为m，n，k，由题意得，n1，a，b，所以(a21)(b21)6a2b28，所以(ab)2a22abb282ab8a2b216ab4，当且仅当ab2时取等号选C.二、填空题132【解析】(xsin x)1cos x，(1cos x)dx(xsin x)|sin2.144n1【解析】由题意可得：Sn2n2n，易知数列an为等差数列，首项为3，公差为4，an4n1.153【解析】作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影OAB.目标函数可化为yxz，它在y轴上的截距最大时z最大当目标函数线过点A时z最大由解得A，zmax4，m3.16.1【解析】由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.三、解答题17【解析】()ABC中，bR，sin B，又c为最大边，所以B，B；(4分)()由bsin B(ac)sin A，得b2(ac)a，a2c22accos Ba2ac.化简得：c2acos Ba.由正弦定理可得sin C2sin Acos Bsin Asin Csin(AB)，sin(AB)2sin Acos Bsin A.sin (BA)sin A0A，B，BAA，B2A，A，C，ABC为Rt.(10分)18【解析】证明：()连接AC，BD相交于点O，取DE的中点为G，连接FG，OG.ABCD是正方形，O是BD的中点，OGBE，OGBE，又因为AFBE，AFBE，所以OGAF且OGAF，所以四边形AOGF是平行四边形，(3分)ACFG，又因为FG平面DEF，AC平面DEF.AC平面DEF.(5分)(另解：延长BA，EF相交于点G，连接GD可证明AC平行GD)()ABCD是正方形，ABEF是直角梯形，FAB90，DAAB，FAAB.ADAFA，AB平面AFD，同理可得AB平面EBC.又AB平面ABCD，所以平面AFD平面ABCD，又因为二面角EABD为60，所以FADEBC60，BE2AF4，BC2，由余弦定理得EC2，所以ECBC，又因为AB平面EBC，所以ECAB，所以EC平面ABCD，(7分)以C为坐标原点，CB为x轴、CD为y轴、CE为z轴建立空间直角坐标系则C(0，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，2)，F(1，2，)，(8分)所以(0，0，2)，(1，0，)，(1，2，)，设平面DEF的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z，则所以n(3，3，)(11分)设直线CE和平面DEF所成角为，则sin |cos，n|.(12分)(其它解法酌情给分)19【解析】()由an13an2an1，可得an1an2(anan1)，(2分)a2a12，an1an是首项为2，公比为2的等比数列，即an1an2n.(3分)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(6分)()由题意得bn2log4(2n)22n.(7分).(9分).对一切正整数n，有b0)，则a2，e.c，b21.椭圆C2的方程为y21.(4分)()由椭圆C2的方程可知点A的坐标为(2，0)(1)当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得E，F，M，N，所以1.(6分)(2)当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为yk(x1)，显然k0时，不符合题意由消y并整理得(4k21)x28k2x4k240.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(7分)直线AE，AF的方程分别为：y(x2)，y(x2)，令x3，则M，N.所以，.(8分)所以(3x1)(3x2)(3x1)(3x2)(3x1)(3x2)x1x23(x2x2)9)1.(11分)因为k20，所以16k244，所以10)，于是f(x)有两个极值点需要二次方程x2(m2)x10有两个不等的正根，则，解得m0，此时在(0，x1)上f(x)0，(x1，x2)上f(x)0，因此x1、x2是f(x)的两个极值点，符合题意所以m的取值范围是(0，)(4分)()假设存在实数m，使得函数f(x)的极小值大于，由() 可知方程x2(m2)x10有两个不等正根x1、x2，且x1x21，x1x2，所以必有0x11，f(x)在xx2处取得极小值，由x(m2)x210，得(m2)x2x1，所以函数f(x)的极小值为f(x2)ln x2x(m2)x2ln x2x1.(8分)设g(x)ln xx21(x1)，则g(x)x，即g(x2)g(e)，x2e，从而极小值点x2满足1x2e，又m2x2，即m.所以存在实数m，使得函数f(x)的极小值大于，此时m.(12分)