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2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试数 学 试 题注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 请把答案填写在答题卡相应位置上1设（为虚数单位），则 2已知命题：“，使得 ”，则命题的真假为 3设，则“”是“”的 条件（选填： 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）4如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图，则通过该测速点的300辆汽车中时速在的汽车大约有 辆（第4题图） 开始结束S1n7S150SS+nnn-2否是输出n（第5题图）5某程序框图如图所示，则输出的结果为 6在区间上随机取一个实数，则满足的概率为 7已知双曲线的渐近线方程是，则其准线方程为 8若函数在区间上有极值，则的取值范围是 9（理科学生做）从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队，则服务队中至少有1名女生的不同选法共有 种（用数字作答） （文科学生做）已知函数，则不等式的解集是 10（理科学生做）的展开式中的常数项是 （文科学生做）将函数的图象向右平移个单位（），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 11已知圆的内接四边形的面积的最大值为，类比可得椭圆的内接四边形的面积的最大值为 12已知集合和集合，若，则实数的最大值为 13已知点是椭圆的左焦点，若椭圆上存在两点、满足，则椭圆的离心率的取值范围是 14已知，则的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）（理科学生做）现有一只不透明的袋子里面装有6个小球，其中3个为红球，3个为黑球，这些小球除颜色外无任何差异，现从袋中一次性地随机摸出2个小球（1）求这两个小球都是红球的概率；（2）记摸出的小球中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布及其均值E(X )（文科学生做）已知关于的不等式，其中（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数的取值范围16（本小题满分14分）（理科学生做）观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明，（文科学生做）已知函数，函数的定义域为实数集R，函数（1）若函数是奇函数，判断并证明函数的奇偶性；（2）若函数是单调增函数，用反证法证明函数的图象与轴至多有一个交点17（本小题满分14分）（理科学生做）如图，在三棱锥中，底面，（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值ABCP（第17题图理）（文科学生做）已知函数（1）求在区间上的值域；（2）若，求的值18（本小题满分16分）如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1 km，BC=2 km，现准备开发一个面积为0.6 km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由ABCDEF（第18题图） FABOxy（第19题图）19（本小题满分16分）在平面直角坐标系内，椭圆E：，离心率为，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA2+CB2的取值范围；（3）若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由20（本小题满分16分）已知函数和函数（、为实数，为自然对数的底数，）（1）求函数的单调区间；（2）当，时，判断方程的实数根的个数并证明；（3）已知，不等式对任意实数恒成立，求的最大值2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 1 2. 假3. 充分不必要4. 1505. 16. 7. 8. 9. （理）65（文） 10. （理）12（文） 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15（理科）解：记“取得两个小球都为红球”为事件A，则 4分随机变量X的可能取值为：0、1、2 ， 6分 表示取得两个球都为黑球，表示取得一个红球一个黑球，表示取得两个球都为红球，随机变量X的概率分布如下：X012P 12分=1 14分（注：三个概率每个2分）（文科）解：由题意知方程的解为，且， 2分所以，解得 . 4分问题可化为对任意实数恒成立，当时，恒成立； 6分当时，解得； 12分综上得 14分16（理科）解：归纳猜想得：， 4分（注：如答成一样给分）证明如下：当时，左边，右边，猜想成立； 6分假设（）时猜想成立，即成立，当时，右边 =左边所以时猜想也成立. 12分由可得，成立. 14分（文科）解：由题意知的定义域为， 2分又是奇函数 ，所以， 4分为奇函数. 7分假设函数的图象与轴有两个交点，不妨设其横坐标为，且，则， 8分又，所以为单调增函数， 10分所以，又因为为单调增函数，所以，所以，即，这与矛盾， 12分所以假设不成立，所以函数的图象与轴至多有一个交点. 14分17（理科）解：如图，以为原点,在平面ABC内作垂直于AC的射线为x轴，以射线AC为y轴，射线AP为z轴建立如图所示空间直角坐标系， 2分则P(0,0,4)，B(,1,0)，故，ABCP（第17题图）xyz由x轴平面PAC得平面PAC的一个法向量为， 5分设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.8分，设为平面的一个法向量，则，取得，即为平面的一个法向量，11分平面PAC的一个法向量为，设二面角的平面角为，则为锐角，则，即二面角的余弦值为14分（文科）解： 4分，在区间上的值域为.7分， 9分，又， 11分. 14分18解：（法一）BEF区域满足该项目的用地要求等价于BEF面积的最大值不小于0.6 km2，2分以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，设曲线AC所在的抛物线的方程为，代入点得，得曲线AC的方程为，4分欲使得BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设切点为，由得，故点处切线的斜率为，切线的方程为，ABCDEF（第18题图）xyP即， 6分当时显然不合题意，故，令得，令得，则，设，9分（注：学生写成不扣分）则，令得，令得，故在上递增，在上递减，故，14分而，故该方案所得BEF区域不能满足该项目的用地要求 16分(法二）转化为当时，直线EF的方程与抛物线弧AC的方程联列所得方程组至多有一个解.(法三) 转化为当时，抛物线弧AC上所有的点都在直线EF上方的区域，进一步转化为不等式恒成立问题.19解：由题意得：，得， 2分，椭圆的标准方程为：. 4分当直线AB与轴垂直时，设点，则 ，又点C在椭圆上， ，消去得， 得取值范围为. 8分假设在轴上存在点P满足题意，不妨设，设，设直线AB的方程为：，联列，消去得，则， 12分由PF平分APB知：， 13分又，又，得，即，得，所以存在点P（4,0）满足题意 16分20解：，当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；2分当时，由得，由得，故的单调递减区间为，单调递增区间为.4分当，时，方程即为，由(1)知在上递减，而，故在上有且仅有1个零点，6分由知在上递增，而，且的图像在上是连续不间断的，故在上有且仅有1个零点，所以在上也有且仅有1个零点，综上，方程有且仅有两个实数根. 8分设，当时，恒成立，则恒成立，而，与恒成立矛盾，故不合题意；10分当时，恒成立，则恒成立，1当时，由恒成立可得，； 11分2当时，而，故，故，与恒成立矛盾，故不合题意；13分3当时，由（1）可知，而恒成立，故，得，故，记，则，由得，由得，故在上单调递增，在上单调递减，当且仅当，时取等号；综上两种情况得的最大值为16分
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