线性变换的值域与核

6线性变换的值域与核一、定义设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域，用AV表示.所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A-1(0)表示.若用集合的记号则 AV = b& I &6 V, A-1 (0) = & Ib& = 0,& e V这里用。表示A，公式里打不出来.1 .线性变换的值域与核都是V的子空间.2. AV的维数称为A的秩，A-1(0)的维数称为A的零度.二、如何求值域、核1. 如何求线性变换的值域？定理10设A是n维线性空间V的线性变换，匕点2，匕是V的一组基，在这组基下A的矩阵是A，则1) A的值域AV是由基像组生成的子空间，即A V = Lgq%,，突)2) A的秩=A的秩.定理10说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变.AV =昼突尸七，突)，实质上是求它的一个线性极大无关组，即求矩阵A的列向量组的一个极大线性无关组例1在线性空间P x中，令nD(f3) = f3例2.令U = X =X1112X是实数 21X J22 yij则D的值域就是尸启n-1,定义变换b :VV,对于 X eV ,b(X) =(1 qXp2、J Lb(1)证明b是线性变换(2)求b的秩证明：(1)对于任取a.beR.X.YeV ,我们有a(aX+bY) =(1 1J b(aX+bY)p 2厂1 b= g(X) + /xy(Y),从而b是一个线性变换q o、“0 1、。0、“0 0、E =,E =,E =,E =i3J 0,40 b是V的一组基。(2)显然q 2、= o(E),W)=r-i i)J 2/32厂1 b叫)= b(E ),4从而V的像空间bU由(1 2：r-i i)J 2,-1 b生成，再证它们线性无关，得到b的秩是2,2. 如何求线性变换的核对于 b-1(0), 8 ,8 , ,8是V的一组基，在这组基下A的矩阵是A,则 12nX、1龙)=0,气)我们得到X2b&)=b( 点，, )12nJ、1X2= (, J12三)AnX、1X2 J nnIJ& ea-1(0), & =(8 点，8 )12 XX:2当且仅当&的坐标满足A XX.=0 1 Xn I1X 1在例1中，D的核就是子空间户.从而A即&的坐标满足这个齐次线性方程组；反之亦然在例2中，求a的核对于X河-1(0),我们有a (X) = 0 .因为1 1 12、X- -1 1 ia (X )=(11 1X、X221 1八-1X + XX + X 11211222,X + XX + X.11211222 X + X X X11211222.X + X X X112112I-1222X112 x + 2 x + x + x11211222,从而有=0X + X - X- X11211222X + X - X- X112112222 x +2 x+ X+ X11211222=0=0得到X + X - X - X = 0112112222 x + 2 x+ x + x112112:=222 x +2 x+ x+ x = 0211222即:X + XX + X1222a -1(0) 1 0、 0 1、-1 01, 0 -L的一组基：三、定理设A是n维线性空间V的线性变换，则A V的一组基的原像及A-1(0)的一组基合起来就是V的一组基.由此还有A的秩+ A的零度二n1 .推论对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射.例：注意在上述推论中，要求是有限维线性空间，对于无限维线性空间，推论不一定成立，在线性空间P x中，令D (f (x) = f r( x)则D是满射，但不是单射.2.虽然子空间AV与A-1(0)的维数之和为n，但是AV + A-1(0)并不一定是整个空间.见例1例3设A是一个nxn矩阵，A2 = A，证明A相似于一个对角矩阵f11V证法1：设V是n维线性空间，点，点是V的一组基，在这组基下矩阵A12n对应着线性变换C，即：b ( , , , ) = ( , , , ) A ,我们有b 2 = b12 n 12 n(1)任取 a G V ,我们有 a=b (a) + ab (a),艮V =bV +a-i(0)(2) bVp|b-1(0) = 0,从而 V =bVa-1(0)t+1n ,从而A相似于它.10L0在a V中选取一组基孔，电，在a-1(0)中选取一组基门，门，. 1则线性变换a在该基下的矩阵就是k证法2:对于没有学过高等代数知识，只学过线性代数可以这样做(1) A2 = A ,我们得到A的特征值是0和1(2) 下面证明A有n个线性无关的特征向量， 矩阵A属于特征值0的特征向量是(0E A)X = 0的非零解，即AX = 0的非零解.它的基础解系含n R(A)个解向量，也就是A属于特征值0的线性无关的特征向量有n R(A)个.(ii)矩阵A属于特征值1的特征向量是(E A)X = 0的非零解，它的基础解系含n R(E A)个解向量，也就是A属于特征值1的线性无关的特征向量有n R(E A)个两者合起来，矩阵A有线性无关的特征向量2n R(A) R(E A)个，所以我们只须证明 R(A) + R(E A) = n(4)证明 R(A) + R(E A) = n 见第四章 17, 18(i) A2 = A,我们得到 A(E A) = 0,从而 R(A) + R(E A) R(A + E A) = R(E) = n例4：设A是一个n x n矩阵，A2 = E，证明A相似于一个对角矩阵(11