数电基本公式定理的应用

第二讲第二讲三种基本逻辑运算三种基本逻辑运算逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理逻辑函数及其表示方法逻辑函数及其表示方法 第二讲第二讲 基本运算、公式和定理基本运算、公式和定理课题课题：基本运算、公式和定理：基本运算、公式和定理课时安排课时安排：2 2重点重点：基本公式：基本公式难点难点：基本概念：基本概念教学目标教学目标：使同学理解几种常用的逻辑关系，：使同学理解几种常用的逻辑关系，掌握逻辑运算及规则和定律掌握逻辑运算及规则和定律教学过程教学过程：一、基本逻辑运算及逻辑符号一、基本逻辑运算及逻辑符号 二、基本公式、常用公式和基本定理二、基本公式、常用公式和基本定理 1 1、基本公式、基本公式 、常用公式、常用公式 2 2、基本定理、基本定理 1 1）、代入规则）、代入规则 2 2）、反演规则）、反演规则 3 3）、对偶规则）、对偶规则 三、基本定律应用三、基本定律应用1.1.基本逻辑运算基本逻辑运算逻辑变量逻辑变量取值：逻辑取值：逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1。逻辑。逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1不代表不代表数值大小数值大小，仅表示相互矛盾、相互，仅表示相互矛盾、相互对立的对立的两种逻辑状态两种逻辑状态基本逻辑运算基本逻辑运算与运算与运算或运算或运算非运算非运算返返 回回逻辑表达式逻辑表达式F=A F=A B=ABB=AB与逻辑真值表与逻辑真值表与逻辑关系表与逻辑关系表与逻辑与逻辑开关开关A 开关开关B灯灯F断 断断 合合 断合 合灭灭灭亮ABF1 01 10 10 00010ABF 逻辑符号逻辑符号只有决定某一事件的只有决定某一事件的所有条件所有条件全部具备，全部具备，这一事件才能发生这一事件才能发生与逻辑运算符，也有用与逻辑运算符，也有用“”、“”、“”、“&”&”表示表示逻辑表达式逻辑表达式F=A F=A+B B或逻辑真值表或逻辑真值表或逻辑或逻辑ABF 1逻辑符号逻辑符号只有决定某一事件的只有决定某一事件的有一个或一个以上有一个或一个以上具具备，这一事件才能发生备，这一事件才能发生ABF1 01 10 10 01110N个输入：个输入：F=A F=A+B B+.+N+.+N或逻辑运算符，也有或逻辑运算符，也有用用“”、“”表表示示返返 回回当决定某一事件的条件满足时，事件不发当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生生；反之事件发生，非逻辑非逻辑非逻辑真值表非逻辑真值表逻辑符号逻辑符号AF1AF0110逻辑表达式逻辑表达式F=A F=A“-”-”非逻辑运算非逻辑运算符符三、复合逻辑运算三、复合逻辑运算与非逻辑运算与非逻辑运算F1=AB或非逻辑运算或非逻辑运算F2=A+B与或非逻辑运算与或非逻辑运算F3=AB+CD异或运算异或运算ABF1 01 10 10 01100逻辑表达式逻辑表达式F=AF=A B=AB+ABB=AB+AB ABF=1逻辑符号逻辑符号ABF1 01 10 10 00011同或运算同或运算逻辑表达式逻辑表达式F=A F=A B=B=A A B B ABF1逻辑符号逻辑符号“”异或逻辑异或逻辑运算符运算符“”同或逻辑同或逻辑运算符运算符返返 回回基本逻辑关系：基本逻辑关系：与与 (and)、或或(or)非非(not)。一、一、“与与”逻辑逻辑与逻辑与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。都具备，事件才会发生（成立）。规定规定:开关合为逻辑开关合为逻辑“1”开关断为逻辑开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0”EFABC例例强调：&ABCF逻辑符号：逻辑符号：AFBC00001000010011000010101001101111逻辑式：逻辑式：F=ABC逻辑乘法逻辑乘法逻辑与逻辑与真值表真值表EFABC真值表特点真值表特点:任任0 则则0,全全1则则1与逻辑运算规则：与逻辑运算规则：0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=1二、二、“或或”逻辑逻辑AEFBC或逻辑：或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。以上的条件具备，事件就会发生（成立）。规定规定:开关合为逻辑开关合为逻辑“1”开关断为逻辑开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0”例例AFBC00001001010111010011101101111111真值表真值表 1ABCF逻辑符号：逻辑符号：逻辑式：逻辑式：F=A+B+C逻辑加法逻辑加法逻辑或逻辑或AEFBC真值表特点：真值表特点：任任1 则则1,全全0则则0。或逻辑运算规则或逻辑运算规则:0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1三、三、“非非”逻辑逻辑“非非”逻辑：逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。时事件不发生。规定规定:开关合为逻辑开关合为逻辑“1”开关断为逻辑开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑灯灭为逻辑“0”AEFR例例逻辑符号：逻辑符号：逻辑非逻辑非逻辑反逻辑反AF0110真值表真值表AEFR真值表特点真值表特点:1则则0,0则则1。AF 逻辑式：逻辑式：运算规则：运算规则：10,01AF1四、几种常用的逻辑关系逻辑四、几种常用的逻辑关系逻辑“与与”、“或或”、“非非”是三种基本的逻辑是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。础表示。CBAF 与非：与非：条件条件A、B、C都都具具备，则备，则F 不发不发生。生。&ABCF其他几种常用的逻辑关系如下表：其他几种常用的逻辑关系如下表：CBAF 或非：或非：条件条件A、B、C任一任一具备，则具备，则F 不不发生。发生。1ABCFCBAF异或：异或：条件条件A、B有有一个具备，一个具备，另一个不具备另一个不具备则则F 发生。发生。=1ABCF同或：同或：条件条件A、B相同，则相同，则F 发生。发生。=1ABCFCBAF基本逻辑关系小结基本逻辑关系小结 逻辑逻辑 符号符号 表示式表示式与与&ABYABY1或或非非1YAY=ABY=A+B与非与非&ABY或非或非ABY1异或异或=1ABYY=A BAY ABY BAY数字电路要研究的是电路的输入输出之间的数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路逻辑电路，相应的，相应的研究工具是研究工具是逻辑代数（布尔代数）逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（值（二值变量二值变量），即），即0和和1，中间值没有意义。，中间值没有意义。0和和1表示两个对立的逻辑状态。表示两个对立的逻辑状态。例如：电位的低高（例如：电位的低高（0表示低电位，表示低电位，1表示表示高电位）、开关的开合等。高电位）、开关的开合等。1.逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理公理公理交换律交换律结合律结合律分配律分配律0 0=00 1=1 0=0 1 1=10+0=00+1=1+0=1 1+1=1A B=B A A+B=B +A(A B)C=A (B C)(A+B)+C=A+(B+C)A (B+C)=A B+A C A+B C=(A+B)(A+C)逻辑代数的公理、定律（公式）逻辑代数的公理、定律（公式）、逻辑代数的运算公式、定律、逻辑代数的运算公式、定律0-1律律重叠律重叠律互补律互补律还原律还原律反演律反演律自等律自等律A 0=0 A+1=1A 1=A A+0=AA A=0 A+A=1A A=A A+A=AA B=A+B A+B=AB A=A吸收律吸收律消因律消因律包含律包含律合并律合并律A B+A B=A (A+B)(A+B)=A A+A B=A A (A+B)=AA+A B=A+B A (A+B)=A B AB+A C+BC=AB+A C(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)逻辑代数的公理、定律（公式）逻辑代数的公理、定律（公式）证明方法证明方法（1）利用真值表）利用真值表例：用真值表证明反演律例：用真值表证明反演律A BA BAB A+BA BA+B000110111110111010001000 A B=A+B A+B=AB返返 回回A B=A+B A+B=ABBCCAABB)C(1AC)AB(1CAAB等式右边等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含含同一因子同一因子的的原原变量和变量和反反变量，而两项的剩余因子变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的CAABBCDECAAB公式可推广：公式可推广：例：证明等式例：证明等式CAABBCCAAB成立成立BC)AA(CAAB返返 回回（2）利用基本定律）利用基本定律2 2、逻辑代数的运算规则、逻辑代数的运算规则 三个基本运算规则三个基本运算规则 代入规则：代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果任何一个含有某变量的等式，如果等等式式中所有出现中所有出现此变量此变量的位置均代之以一的位置均代之以一个个逻辑函数式逻辑函数式，则此等式依然成立。，则此等式依然成立。例：例：A B=A+BBCBC替代替代B B得得ABCBCACBA由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：n 21n 21n 21n 21AAAAAAAAAA A A利用反演律（1 1）代入规则）代入规则（2 2）反演规则）反演规则 反演规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式 F F，做如下处理：，做如下处理：若把式中的运算符若把式中的运算符“.”换成换成“+”,“”,“+”换成换成“.”;”;常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”；原变量原变量换成换成反变量反变量，反变量反变量换成换成原变量原变量返返 回回+1 00 1A AA A+那么得到的那么得到的新函数式新函数式 F F 称为原函数式称为原函数式 F F 的的反函数式反函数式。则则 F F （F 与与 F 互为反函数）互为反函数）注：注：保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后或先与后或，必要时适当地加入括号，必要时适当地加入括号 不属于单个变量上的非号有两种处理方法不属于单个变量上的非号有两种处理方法 非号保留非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉将非号去掉，而非号下的函数式保留不变，而非号下的函数式保留不变例：例：F(AF(A、B B、C)C)CBAB)C A(BA 其反函数为其反函数为)CBA(BCA)BA(F或或)CBA(B)CA()BA(F返返 回回（3 3）对偶规则）对偶规则 对偶式对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1 1）若把式中的运算符）若把式中的运算符“.”换成换成“+”，“+”换成换成“.”；2 2）常量）常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”得到新函数式为原函数式得到新函数式为原函数式F F的对偶式的对偶式FF，也称对，也称对偶函数。偶函数。对偶规则对偶规则：如果两个函数式相等，则它们如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即对应的对偶式也相等。即 若若 F F1 1=F=F2 2 则则 F F1 1=F=F2 2。对偶规则使公式的数目增加一倍。对偶规则使公式的数目增加一倍。返返 回回例：例：B1CAABF 其对偶式其对偶式)B 0()CA()BA(F返返 回回1 1、求对偶式时求对偶式时运算顺序不变运算顺序不变，且它，且它只变换只变换运算符和常量运算符和常量，其变量是不变其变量是不变的的。注：注：2、函数式中有函数式中有“”和和“”运算符，运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符求反函数及对偶函数时，要将运算符“”换成换成“”，“”换成换成“”。逻辑代数的基本运算规则逻辑代数的基本运算规则加运算规则加运算规则:0+0=0 ，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘运算规则乘运算规则:00=0 01=0 10=0 11=1非运算规则非运算规则:1001 AA 0,1,00 AAAAAAAA1,11,0 AAAAAAAA回顾逻辑代数的运算规律逻辑代数的运算规律一、交换律一、交换律二、结合律二、结合律三、分配律三、分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA(B C)=(A B)CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代数普通代数不适用不适用!求证求证:（分配律第（分配律第2条）条）A+BC=(A+B)(A+C)证明证明:右边右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ;分配律分配律=A+A(B+C)+BC ;结合律结合律,AA=A=A(1+B+C)+BC ;结合律结合律=A 1+BC ;1+B+C=1=A+BC ;A 1=1=左边左边四、吸收规则四、吸收规则1.原变量的吸收：原变量的吸收：A+AB=A证明：证明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：例如：CDAB)FE(DABCDAB 被吸收被吸收吸收是指吸收多余（吸收是指吸收多余（冗余冗余）项，多余（）项，多余（冗冗余余）因子被取消、去掉）因子被取消、去掉 被消化了。被消化了。长中含短，长中含短，留下短。留下短。2.反变量的吸收：反变量的吸收：BABAA 证明：证明：BAABABAA BA)AA(BA 例如：例如：DCBCADCBCAA被吸收被吸收长中含反，长中含反，去掉反。去掉反。3.混合变量的吸收：混合变量的吸收：CAABBCCAAB 证明：证明：BC)AA(CAABBCCAAB CAABBCAABCCAAB 例如：例如：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB 1吸收吸收正负相对，正负相对，余全完。余全完。五、反演定理五、反演定理BABABABA ABAB0001111010110110010111110000BA ABBA 可以用列真值表的方法证明：可以用列真值表的方法证明：德德 摩根摩根(De Morgan)定理：定理：反演定理内容：反演定理内容：将函数式将函数式 F 中所有的中所有的 +变量与常数均取反变量与常数均取反（求反运算）（求反运算）互补运算互补运算1.运算顺序：先括号运算顺序：先括号 再乘法再乘法 后加法。后加法。2.不是一个变量上的反号不动。不是一个变量上的反号不动。注意注意:用处：用处：实现互补运算（求反运算）。实现互补运算（求反运算）。新表达式：新表达式：F显然：显然：FF (变换时，原函数运算的先后顺序不变变换时，原函数运算的先后顺序不变)例例1：1)()(1 DCBAF01 DCBAF与或式与或式注意括号注意括号注意注意括号括号01 DCBAFDBDACBCAF 1)(EDCBA )(EDCBA 例例2：EDCBAF2 EDCBAF 2与或式与或式反号不动反号不动反号不动反号不动EDCBAF 2EDACABAF 2、基本定律应用、基本定律应用等式证明等式证明ACABCABCBAABC例证明：ACABCBBACBAABCBACCABCBACABABCCABCBAABC)()()(左边右边得证求函数的反函数、偶函数（略）求函数的反函数、偶函数（略）逻辑函数不同形式的转换逻辑函数不同形式的转换一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如：种形式，并且能互相转换。例如：逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式BACABACABACABACABACACBBACAAACABACAABCAABCAABL)()()()(解：解：例例：已知逻辑函数的：已知逻辑函数的“与或式与或式”求的求的“与非式与非式”“”“与或非式与或非式”、“或与式或与式”、“或或非式非式”CAABL 1.5 逻辑函数表示方法及逻辑函数表示方法及相互转换相互转换一、逻辑函数一、逻辑函数 用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑用有限个与、或、非逻辑运算符，按某种逻辑关系将逻辑变量关系将逻辑变量A、B、C、.连接起来，所得的连接起来，所得的表达式表达式F=f（A、B、C、.）称为称为逻辑函数逻辑函数。二、二、逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式 逻辑图逻辑图波形图波形图输入变量输入变量不同取值组合不同取值组合与与函函数值数值间的对应关系列成表格间的对应关系列成表格用用逻辑符号逻辑符号来表示来表示函数式的运算关系函数式的运算关系输入变量输入变量输出变量输出变量取值：逻辑取值：逻辑0 0、逻辑、逻辑1 1。逻辑。逻辑0 0和逻辑和逻辑1 1不代表不代表数值数值大小大小，仅表示相互矛盾、相互对立的，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑态两种逻辑态反映反映输入和输出波形变输入和输出波形变化的图化的图形又叫时序图形又叫时序图1、逻辑函数表示方法逻辑函数表示方法四种表示方法四种表示方法逻辑代数式逻辑代数式 (逻辑表示式逻辑表示式,逻辑函数式逻辑函数式)11&1ABY 逻辑电路图逻辑电路图:波形图波形图n2n个输入变量个输入变量 种组合种组合。真值表：真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。一一对应列出的表格。BABAF 将输入、输出的所有可能状态一一对应地将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。列出。n个变量可以有个变量可以有2n个个输入状态。输入状态。A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 真值表真值表列真值表的方法：列真值表的方法：一一般按二进制的顺序，般按二进制的顺序，输出与输入状态一输出与输入状态一一对应，列出所有一对应，列出所有可能的状态。可能的状态。例如：例如：逻辑函数式逻辑函数式 把逻辑函数的输入、输出关系写成与、把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑代或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑代数式，数式，通常采用通常采用“与或与或”的形式。的形式。例：例：ABCCBACBACBACBAF 波形图波形图 针对输入变量的波形变化针对输入变量的波形变化,根据输入变量根据输入变量和输出变量的关系和输出变量的关系,画出输出变量相应变化波画出输出变量相应变化波形。形。逻辑图逻辑图 把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。示出来，就构成了逻辑图。&AB&CD 1FF=AB+CD下面举例说明函数的四种表示方法。下面举例说明函数的四种表示方法。ABCF000001001011100110111011断断“0”合合“1”亮亮“1”灭灭“0”C开，开，F灭灭0000110逻辑函数式逻辑函数式 挑出函数值为挑出函数值为1的项的项1 101111101111 每个函数值为每个函数值为1 1的输入变量取值组合写成一个的输入变量取值组合写成一个乘积项乘积项 这些乘积项作这些乘积项作逻辑加逻辑加输入变量取值为输入变量取值为1 1用用原变量原变量表表示示;反之，则用反之，则用反变量反变量表示表示ABCABC、ABCABC、ABCABCF=ABC+ABC+ABCABC+ABC+ABC返返 回回例例 举重裁判电路举重裁判电路真值表真值表逻辑图逻辑图F=ABC+ABC+ABCABC+ABC+ABC乘积项乘积项用用与门与门实现，实现，和项和项用用或门或门实现实现波形图波形图010011001111返返 回回1、逻辑电路图、逻辑电路图逻辑代数式逻辑代数式BABY=A B+ABA BA1&AB&11三、相互转换三、相互转换 2、真值表、真值表波形图波形图 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0真值表真值表ABY波形图波形图3、真值表、真值表逻辑代数式逻辑代数式方法：方法：将真值表中为将真值表中为1的项相加，的项相加，写成写成“与或式与或式”。真值表真值表 A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为真值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为Y=AB因此，有一个化简问题。因此，有一个化简问题。BABABAY 一个逻辑函数的函数表达式不是唯一的，可以一个逻辑函数的函数表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如：有多种形式，并且能互相转换。例如：逻辑函数式的常见形式逻辑函数式的常见形式2、逻辑函数式常见形式及转换、逻辑函数式常见形式及转换BACABACABACABACABACACBBACAAACABACAABCAABCAABL)()()()(解：解：例例：已知逻辑函数的：已知逻辑函数的“与或式与或式”求的求的“与非式与非式”、“与或非式与或非式”、“或与式或与式”、“或非式或非式”CAABL小结作业作业（P36）1.9 (1)(3)(5)(7)1.10 (1)(3)(5)补充作业补充作业：已知逻辑函数的已知逻辑函数的“与或非式与或非式”求的求的“与非式与非式”、“与或非与或非式式”、“或与式或与式”、“或非式或非式”CAABL