资源描述
习题三3-1 惯性系S相对惯性系以速度运动当它们的坐标原点与重合时，=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波波阵面方程为：题3-1图3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差解: 设光讯号到达前门为事件，在车厢系时空坐标为，在车站系：光信号到达后门为事件，则在车厢系坐标为，在车站系：于是 或者 3-3 惯性系S相对另一惯性系沿轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起点在S系中测得两事件的时空坐标分别为=6104m,=210-4s，以及=12104m,=110-4s已知在S系中测得该两事件同时发生试问：(1)S系相对S系的速度是多少? (2) 系中测得的两事件的空间间隔是多少?解: 设相对的速度为，(1) 由题意 则 故 (2)由洛仑兹变换 代入数值， 3-4 长度=1 m的米尺静止于S系中，与轴的夹角=30，S系相对S系沿轴运动，在S系中观测者测得米尺与轴夹角为45 试求：(1)S系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度解: (1)米尺相对静止，它在轴上的投影分别为：，米尺相对沿方向运动，设速度为，对系中的观察者测得米尺在方向收缩，而方向的长度不变，即故 把及代入则得 故 (2)在系中测得米尺长度为3-5 一门宽为，今有一固有长度()的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少?解: 门外观测者测得杆长为运动长度，当时，可认为能被拉进门，则 解得杆的运动速率至少为：题3-6图3-6两个惯性系中的观察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果测得两者的初始距离是20m，则测得两者经过多少时间相遇?解: 测得相遇时间为测得的是固有时 ，或者，测得长度收缩，3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系和中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s求：(1) 相对于的运动速度(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离解: 甲测得,乙测得，坐标差为(1) 解出 (2) 负号表示3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?解: 3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时证: 设在系事件在处同时发生，则，在系中测得，即不同时发生3-10 试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短解: (1)如果在系中，两事件在同一地点发生，则，在系中，仅当时，等式成立，最短(2)若在系中同时发生，即，则在系中，仅当时等式成立，系中最短3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去问这颗星的固有周期为多少?解: 以脉冲星为系，固有周期.地球为系，则有运动时，这里不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差还要考虑因飞行远离信号的传递时间， 则 3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个介子以速度=0.998c飞向地球假定该介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命210-6s试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和介子静止系中观测者来判断介子能否到达地球解: 介子在其自身静止系中的寿命是固有(本征)时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了衰变前经历的时间为这段时间飞行距离为因，故该介子能到达地球或在介子静止系中，介子是静止的地球则以速度接近介子，在时间内，地球接近的距离为经洛仑兹收缩后的值为：，故介子能到达地球3-13 设物体相对S系沿轴正向以0.8c运动，如果S系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少?解: 根据速度合成定理，, 3-14 飞船以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行当两飞船即将相遇时飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹在飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?解: 取为系，地球为系，自西向东为()轴正向，则对系的速度，系对系的速度为，则对系(船)的速度为发射弹是从的同一点发出，其时间间隔为固有时，题3-14图中测得的时间间隔为：3-15 (1)火箭和分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+和-方向飞行试求由火箭测得的速度(2)若火箭相对地球以0.8c的速度向+方向运动，火箭的速度不变，求相对的速度解: (1)如图，取地球为系，为系，则相对的速度，火箭相对的速度，则相对()的速度为：或者取为系，则，相对系的速度，于是相对的速度为：(2)如图，取地球为系，火箭为系，系相对系沿方向运动，速度，对系的速度为,由洛仑兹变换式相对的速度为：相对的速度大小为速度与轴的夹角为题3-15图3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与轴成角的方向飞行另一观测者静止于S系，S系的轴与轴一致，并以0.6c的速度沿方向运动试问S系中的观测者观测到的光子运动方向如何?解: 系中光子运动速度的分量为由速度变换公式，光子在系中的速度分量为光子运动方向与轴的夹角满足在第二象限为在系中，光子的运动速度为正是光速不变3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得J=(2) )3-18 子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命=210-6s，若它在实验室参考系中的平均寿命= 710-6s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?解: 设子静止质量为，相对实验室参考系的速度为，相应质量为，电子静止质量为，因由质速关系，在实验室参考系中质量为：故 3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?解: 设静止质量为，运动质量为，由题设 由此二式得 在运动方向上的长度和静长分别为和，则相对收缩量为：3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.110-31kg解: 由质能关系 所需电势差为伏特由质速公式有： 故电子速度为 3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能2.8109eV这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为0.511106eV)解: 所以 由上式，由动量能量关系可得3-22 氢原子的同位素氘(H)和氚(H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(He)原子核和一个中子(n)，并释放出大量能量，其反应方程为H + HHe + n已知氘核的静止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位1.60010-27kg)，氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位求上述聚变反应释放出来的能量解: 反应前总质量为反应后总质量为质量亏损 由质能关系得3-23 一静止质量为的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损设裂变产生两个粒子的静质量分别为和，其相应的速度,由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有注意和必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以c,c代入，将上二方程化为：，上二式联立求解可得：, 故静质量亏损由静质量亏损引起静能减少，即转化为动能，故放出的动能为3-24 有，两个静止质量都是的粒子，分别以=,=-的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子求碰撞后粒子的速度和静止质量解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别和，碰撞后粒子的质量为、速度为，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得：由于 代入式得 ，即为碰撞后静止质量3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径解: 史瓦西半径 地球： 则： 太阳： 则： 3-26 典型中子星的质量与太阳质量21030kg同数量级，半径约为10km若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10-15cm)，质量是什么数量级?解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，(2) 由 得 3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理等效原理又分为弱等效原理和强等效原理弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等
展开阅读全文