数列知识点总结

仅供个人参考数列知识点总结1.等差数列的定义与性质定义：an+1-a=d(d为常数)，a=a+(n-1)dnn1等差中项：x，A，y成等差数列2A=x+y2前n项和S=(a1n+a)nn2=na+n(n-1)1dForpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse性质：a是等差数列n(1)若m+n=p+q，则a+a=a+a；mnpqa(2)数列2n-1,a,a2n2n+1仍为等差数列，S，S-S，S-S仍为等差数n2nn3n2nb列，公差为n2d；(3)若三个成等差数列，可设为a-d，a，a+d(4)若a，b是等差数列，且前n项和分别为S，T，则am=nnnnmS2m-1T2m-1(5)a为等差数列S=an2+bn(a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函nnS(数)。的最值可求二次函数S=an2+bn的最值；或者求出a中的正、负分界项，即：nnn当a0，d0，解不等式组na0n+11a0可得S达到最大值时的n值;当a0，由n1an+10a0n可得S达到最小值时的n值.)n，有(6)项数为偶数2n的等差数列anS2n=n(a+a)=n(a+a12n22n-1)=n(a+ann+1)(a,a为中间两项)nn+1S-S偶奇=nd，SS奇偶=anan+1.，有(7)项数为奇数2n-1的等差数列an不得用于商业用途仅供个人参考S2n-1=(2n-1)a(a为中间项)，S-Snn奇偶=a，nSS奇偶=n.n-1a2.等比数列的定义与性质定义：an+1=q(q为常数，q0)，ann=a1qn-1.(q1)11-q由S求a。(a=n)S1,n=1例1：数列a，a+a=2n+5，求aa+212222nn解n=1时，a=21+5，a=1421等比中项：x、G、y成等比数列G2=xy，或G=xy.na(q=1)1前n项和：S=a(1-qn)n性质：a是等比数列n(1)若m+n=p+q，则aa=aamnpq(2)S，S-S，S-S仍为等比数列,公比为qn.n2nn3n2n3求数列通项公式的常用方法S-S,n2n-1nnn111nn11a+n2时，a+222111122na=2n+5na+111a+a212222n-1n-1=2n-1+5a=2，a=2n+1，a=2n+1(n2)2nn得：nn114(n=1)=a，a=4，求a3n+1练习数列a满足S+Snnn+151nS注意到an+1=Sn+1-S，代入上式整理得Sn+1=4，又S=4，S是等比数列，n1nn=34n-1故a=4,n=1故S=4n。n2时，a=S-Snnn不得用于商业用途n-1n34n-1,n2仅供个人参考由递推公式求an(1)累加法(an+1-a=f(n)形式)n例2：数列a中，a=1，a=3n-1+an1nn-1(n2)，求an解：n2时，n-1累加得an-a1=3+3a-a=3n-1nn-1a-a=3n-2n-2LLa-a=3212+L+3n-1=3(3n-1-1)2a=n12(3n-1)(2)累乘法(an+1=f(n)形式)an例3：数列a中，a=3，n+1=，求aan+1ann1nnaa，n=又a=3，a=23nan解：23aa12anan-1a12n-1111n3n.(3)构造新数列(构造的新数列必为等比数列或等差数列)取倒构造(an+1等于关于an的分式表达)n+1=2aa+2例4：a=1，an1n，求an=n=+，-=解：由已知得：a2a2aaa2n+1nnn+1na+2111111为等差数列，=1，公差为，=1+(n-1)=(n+1)，ann+1111111a2a221na=2n同除构造例5：a=1,a1n+1=3a+3n,求a。nn不得用于商业用途解：对上式两边同除以3n+1，得a，则n为等差数列，1=仅供个人参考n+1=n+3n+1n333n33a1aa1，公差为，n=+(n-1)=，a=3333331a11nn3nnn=n3n-1。)n+1，令b=n，则有2n例6：a=1,a=2a+3n+1，求a。nn1n+1解：对上式两边同除以2n+1，得an+1=2n+1an+(2n32na-b=2()21-()n-1=3(1)n-9，累加法可得b-b=，又b=1=242822bn+1n3n+1n11331-322a1,则()n-，即n=()n-,a=-2n+。4282n42884b=na31531553n例7：a=1,a-a1nn-1+2aann-1=0,求a。n+2=0，即=+2，则an解：对上式两边同除以aann-1，得1an-1-aaannn-11111=1，公差为2，=1+2(n-1)=2n-1，a=aa为等差数列，111nn12n-1。取对构造(涉及a的平方)n=3a2,求a.例8：a=3,a1n+1nn解：对上式两边取对数，得lgan+1=lg3a2，由对数运算性质得lgann+1=2lga+lg3n两边同时加lg3，整理得lgan+1+lg3=2(lga+lg3),即lg3ann+1=2lga,则lg3a为nn公比为2的等比数列，由此推知a通项公式。n等比型(常用待定系数)例9：a=1,a1n+1=3a+2,求a。nn解：待定系数法设上式可化为如下形式：an+1+k=3(a+k)，整理可知2k=2，n则k=1，原式可化为a不得用于商业用途n+1a+1=3(a+1)，则+1为公比=3的等比数列，由此nn仅供个人参考推知a通项公式。n例10：a=2,a1n+1=4a-3n+1，求a。nn解：待定系数法设上式可化为如下形式：an+1+k(n+1)+b=4(a+kn+b)，整理n3k=-3可知，得k=-1,b=0，原式可化为a3b-k=1为公比=4的等比数列，由此推知a通项公式。n提公因式a+1=2a,求a。例11：a=1,a1n+1nnnn+1a-(n+1)=4(a-n)，则-nnn解：上式变形为aa-a=a-1，等号左边提公因式得a(an+1nnnnn+1-1)=a-1，n-1=,两边取倒数得=,=+1，为公差-1a-1a-1nan+1aa-11111nnaa-1a-1ann+1nn+1n为1的等差数列，由此推知a通项公式。n例12：a=2,a=3,2a12n+1=3a-ann-1(当n2)，求a。n解：上式变形为2an+1-2a=a-annn-1,2(an+1-an)=an-an-1，令b=ann+1-a，则n2n-12221b=bnb，为首项b=1,公比为1的等比数列，b=1n-1，a-a=1n-1；n1nn+1n例13：求和1+2+3+L+n由累加法可求得a通项公式。n4.求数列前n项和的常用方法(1)分组求和(分组后用公式)11112482n。解：原式=1+2+3+L+n+11111111=(1+2+3+L+n)+(+L+248n24822n)n(n+1)=+211(1-2n211-2)=1-12n+n(n+1)2(2)裂项相消(把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.)不得用于商业用途常用：1=-=(-)；=n+1-n。；仅供个人参考1111111n(n+1)nn+1n(n+2)2nn+2n+n+1(3)错位相减(通项可表示为等差乘等比的形式)例14：S=1+2x+3x2+4x3+nxn-1求Snn。解：S=1+2x+3x2+4x3+nxn-1nxS=x+2x2+3x3+4x4+(n-1)xn-1+nxnn(1-x)S=1+x+x2+xn-1-nxnn(1-x)21-x，x=1时，S=1+2+3+n=n(n+1)x1时，S=n(1-xn)nxn-n2练习求数列的前n项和S。(答案：S=2-2nnnnn+22n)相加2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a1+an)(4)倒序相加(前后项之和为定值。把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.)S=a+a+a+an12n-1nSn=an+an-1+a2+a15.求数列绝对值的前n项和(根据项的正负，分类讨论)ab例15：已知数列的通项a=11-2n，b=a，求的前n项和T。nnnnnnaa解：设数列的前n项和为S，=9,公差d=-2,S=9n+n(n-1)(-2)=10n-n2nn1n2n5时，T=a+a+L+a=a+a+L+a=S=10n-n2n12n12nnn5时，-(a5-(S2)T=a+a+L+a+a+Lan1256n=a+a+L+a+a+L+a1567=S-Sn5n)=2S-S=50-(10n-n2)=n2-10n+505nT=n2-10n+50,n5n10n-n2,n5。不得用于商业用途仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfrdenpersnlichenfrStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourltudeetlarechercheuniquementdesfinspersonnelles;pasdesfinscommerciales.,.以下无正文不得用于商业用途