2023届大一轮复习 第15练 三角恒等变换（Word版含解析）

2023届大一轮复习 第15练 三角恒等变换 一、选择题（共29小题）1. 若已知 cos2=12，其中 4,0，则 sin 的值为 A. 12B. 12C. 32D. 32 2. 若 cos2=14，则 sin2+2cos2 的值为 A. 78B. 1932C. 138D. 32 3. 已知 sinx+cosx=325，则 sin2x= A. 1825B. 725C. 725D. 1625 4. sin20cos10+cos20sin10= A. 12B. 32C. 12D. 32 5. cos28sin28 等于 A. 0B. 22C. 1D. 22 6. 若 cos=45， 是第二象限的角，则 cos+4 等于 A. 210B. 22C. 7210D. 7210 7. 已知 tanx=34，则 tan2x 等于 A. 724B. 724C. 247D. 247 8. 已知 tan=2，tan+=1，则 tan= A. 3B. 1C. 1D. 3 9. 若 sin=35，且 2,，则 tan+4= A. 34B. 34C. 7D. 17 10. 已知角 的顶点在坐标原点 O，始边与 x 轴的非负半轴重合，将角 的终边绕点 O 顺时针旋转 3 后，经过点 3,4，则 sin= A. 33+410B. 43310C. 33410D. 4+3310 11. 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P3,4，则 cos2+cos+sin2+sin 的值是 A. 925B. 725C. 725D. 925 12. 函数 y=sin2x+4+sin2x4 的最小值为 A. 2B. 2C. 2D. 3 13. 函数 fx=sin2x+3sinxcosx 在区间 4,2 上的最大值是 A. 1B. 1+32C. 32D. 1+3 14. 函数 y=12+sinx+cosx 的最大值是 A. 221B. 221C. 122D. 1+22 15. sin4+cos4+ 化为和差的结果是 A. 12sin+12cosB. 12cos+12sinC. 12sin+12sinD. 12cos+12cos 16. 若 3cos2+cos+=0，则 cos2+12sin2 的值是 A. 65B. 45C. 65D. 45 17. 若 20B. cos20D. sin20 19. 已知 sin+sin+3=1，则 sin+6= A. 12B. 33C. 23D. 22 20. 已知 0,，且 3cos28cos=5，则 sin= A. 53B. 23C. 13D. 59 21. 若 sin=13，则 cos2= A. 89B. 79C. 79D. 89 22. 已知 sin，cos 是方程 5x25x2=0 的两个实根，且 0,，则 cos+4= A. 1010B. 1010C. 31010D. 31010 23. 若 sin+cos=13，00，x1，x2 为函数 fx 的两个极值点，若 x1x2 的最小值为 2，则 A. fx 在 512,12 上单调递减B. fx 在 512,12 上单调递增C. fx 在 23,3 上单调递减D. fx 在 23,3 上单调递增 26. 若 cos+=35，sin4=513，,0,2，则 cos+4= A. 3365B. 3365C. 5665D. 1665 27. 已知 2tantan+4=7，则 tan= A. 2B. 1C. 1D. 2 28. 已知 0,2，2sin2=cos2+1，则 sin= A. 15B. 55C. 33D. 255 29. 若 fx=cosxsinx 在 0,a 是减函数，则 a 的最大值是 A. 4B. 2C. 34D. 二、选择题（共4小题）30. 函数 y=sinxcosx+3cos2x3 的图象的一个对称中心为 A. 3,32B. 56,32C. 23,32D. 23,3 31. 在 ABC 中，C=120，tanA+tanB=233，下列各式正确的是 A. A+B=2CB. tanA+B=3C. tanA=tanBD. cosB=3sinA 32. 已知 ， 是锐角，cos=55，cos=31010，则 cos= A. 22B. 7210C. 210D. 22 33. 设函数 fx=sin2x+4+cos2x+4，则 fx A. 是偶函数B. 在区间 0,2 上单调递增C. 最大值为 2D. 其图象关于点 4,0 对称 三、填空题（共5小题）34. 已知 tan=3,tan=2，则 tan 等于 35. 在平面直角坐标系中，已知一个角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P5,12，则 sin2= 36. 已知 cos+=15，cos=35，则 tantan 的值为 37. 若 4x2，则函数 y=2tan2xtan3x 的最大值为 38. 已知当 x= 时，函数 fx=2sinxcosx 取得最大值，则最大值为 ，sin+4= 答案1. B【解析】由 cos2=12sin2,cos2=12，所以 sin=1cos22=12因为 4,0，所以 sin=122. C【解析】sin2+2cos2=1cos22+21+cos22=32+cos22=32+18=138, 故选：C3. C【解析】sinx+cosx=325sinx+cosx2=18251+2sinxcosx=1825sin2x=725, 故选C4. A【解析】sin20cos10+cos20sin10=sin20+10=sin30=12，故选A5. B【解析】根据余弦的二倍角公式可得 cos28sin28=cos4=22，故选B6. C【解析】因为 是第二象限角，所以 sin=1cos2=35，因此， cos+4=coscos4sinsin4=45223522=7210. 故选：C7. D【解析】tan2x=2tanx1tan2x=2341342=2478. A【解析】tan+=tan+tan1tantan，代入 tan=2，得：2+tan12tan=1，解得：tan=3故选：A9. D【解析】若 sin=35，且 2,，则 cos=1sin2=1352=45，所以 tan=sincos=3545=34，故 tan+4=tan+tan41tantan4=34+11341=17故选：D10. B【解析】因为角 的终边按顺时针方向旋转 3 后得到的角为 3，所以由三角函数的定义，可得：cos3=332+42=35，sin3=432+42=45，所以 sin=sin3+3=sin3cos3+cos3sin3=4512+3532=43310, 故选：B11. C【解析】由题意知，cos=332+42=35， cos2+cos+sin2+sin=cos2+=cos2=2cos21=18251=725故选：C12. C【解析】原式=sin2x+4+sin2x4=sin2xcos4+cos2xsin4+sin2xcos4cos2xsin4=2sin2x, 所以 y 的最小值为 213. C【解析】由 fx=1cos2x2+32sin2x=12+sin2x6，因为 4x232x656，所以 fxmax=12+1=32，故选C14. D【解析】y=12+sinx+cosx=12+2sinx+4122=2+22.15. B16. C【解析】因为 3cos2+cos+=0，由诱导公式可得 3sincos=0，即 tan=13，所以 cos2+12sin2=cos2+sincossin2+cos2=1+tan1+tan2=1+131+19=65. 故选：C17. D【解析】1cos2=1+cos2=cos2因为 232，所以 234，所以 cos20，所以 cos2=cos218. D【解析】 为第四象限角，则 2+2k2k，kZ，则 +4k24k，所以 2 是第三或第四象限角或为 y 轴负半轴上的角，所以 sin2019. B【解析】因为 sin+sin+3=1，所以 sin+12sin+32cos=1，即 32sin+32cos=1，得 312cos+32sin=1，即 3sin+6=1，得 sin+6=33故选：B20. C【解析】由 3cos28cos=5，得 32cos218cos5=0，即 3cos24cos4=0，解得 cos=2（舍去），或 cos=23因为 0,，所以 2,，则 sin=1cos2=1232=53故选：A21. B【解析】因为 sin=13，所以 cos2=12sin2=1219=79故选：B22. D【解析】因为 sin，cos 是方程 5x25x2=0 的两个实根，所以 sin+cos=55，sincos=25，因为 0,，且 sincos0 且 cos0，所以 cossin0，所以 cos+4=coscos4sinsin4=22cossin=22cossin2=22cos+sin24sincos=22552+425=22355=31010.23. A【解析】因为 sin+cos=13, 所以 1+2sincos=19，即 2sincos=sin2=89，所以 12sincos=sincos2=179因为 sincos0，且 00，cos0，所以 sincos=173 变形得 cos2sin2=cos2=179，所以 sin2+cos2=89179=8179故选：A24. C【解析】因为 fx=sin2x+2sinxcosx=fx，故 fx 为 R 上的偶函数，故正确当 x0 时，fx=sin2x+2sinxcosx=2sin2x,sinx00,sinx0，又在 0,+ 上，fx=fx+2 总成立，故可考虑 fx 在 0,2 上的图象和性质又 fx=2sin2x,x0,0,x,2，其图象如下：由图象可知对，错，而 fx 在 2,2 有无数个零点，故错，故选：C25. B【解析】函数的解析式 fx=2sinx+3，由题意可得：T2=2T=，即 2，则 =2，函数的解析式为：fx=2sin2x+3，由 2k22x+32k+2，即 k512xk+12kZ，令 k=0 可得函数的一个单调递增区间为 512,12， 2k+22x+32k+32，即 k+12xk+712kZ，不存在满足题意的单调减区间故选：B26. C【解析】因为 +4=+4，所以 cos+4=cos+4=cos+cos4+sin+sin4, 因为 0,2，所以 0+，240，cos0，所以 cos=2sin，因为 sin2+cos2=sin2+2sin2=5sin2=1，所以解得：sin=55故选：B29. C【解析】fx=cosxsinx=sinxcosx=2sinx4，由 2+2kx42+2k，kZ，得 4+2kx34+2k，kZ，取 k=0，得 fx 的一个减区间为 4,34，由 fx 在 0,a 是减函数，得 a34则 a 的最大值是 3430. A， B【解析】y=12sin2x+321+cos2x3=12sin2x+32cos2x32=sin2x+332, 令 2x+3=k，x=k26kZ，当 k=1 时，x=3，对称中心是 3,32；当 k=2 时，x=56，对称中心是 56,32故答案为：AB31. C， D【解析】因为 C=120，所以 A+B=60，所以 2A+B=C，所以 tanA+B=3，所以选项A，B错误；因为 tanA+tanB=31tanAtanB=233，所以 tanAtanB=13, 又 tanA+tanB=233, 所以联立解得 tanA=tanB=33，所以 cosB=3sinA，故选项C，D正确；故选：CD32. A， C【解析】由 是锐角，cos=55，则 sin=1cos2=255，又 ， 是锐角，则 2,0，得 2,2，又 cos=31010，则 sin=1010，则 cos=cos=coscos+sinsin=55310102551010=322210. 得 cos=22 或 cos=210故选：AC33. A， D【解析】fx=sin2x+4+cos2x+4=2sin2x+4+4=2cos2x 选项A：fx=2cos2x=2cos2x=fx，它是偶函数，正确；选项B：x0,2，所以 2x0,，因此 fx 是单调递减，错误；选项C：fx=2cos2x 的最大值为 2，错误；选项D：函数的对称中心为 k2+4,0,kZ，当 k=0，图象关于点 4,0 对称，正确34. 17【解析】由两角差的正切公式得 tan=tantan1+tantan=321+32=1735. 120169【解析】因为一个角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P5,12，所以由三角函数定义可得得 sin=1225+144=1213，cos=525+144=513则由正弦二倍角公式可得 sin2=2sincos=120169故答案为：12016936. 12【解析】因为 cos+=coscossinsin=15，cos=coscos+sinsin=35，所以 coscos=25，sinsin=15，相除可得 tantan=1525=12故答案为 1237. 16【解析】因为 4x1，所以 y=22tanx1tan2xtan3x=4tan4x1tan2x，所以 1y=141tan4x1tan2x令 t=1tan2x，则 t0,1，所以 1y=14t2t=14t12214当 t=12 时，1y 最小值为 116，所以 1161y0，所以 y16即 y 的最大值为 1638. 5，1010【解析】fx=2sinxcosx=5sinx，其中 sin=55，cos=255，则 f=5sin=5，即 sin=1，所以 =2+2kkZ，即 =+2+2kkZ，所以 sin+4=sin+2+2k+4=sin4=sincos4+cossin4=5522+25522=1010. 故答案为：5；1010第13页（共13 页）