三角形知识要点

三角形一、知识要点：1、三角形的有关概念：定义： 边、顶点和内角；三角形的表示方法；（注意：什么叫边所对的角？什么叫两边所夹的角？什么叫角所对的边？什么叫两角所夹的边？）2、三角形三边之间的关系：（如三角形三边分别是a、b、c ）定理 三角形（任意）两边的和大于第三边。（ a+bc）（推论 三角形两边的差小于第三边。）(a-b c)3、三角形按边分类：三角形分钝角三角形：锐角三角形：直角三角形。 4、三角形中重要线段：三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的 与它的对边相交，这个角的 交点之间的线段叫做三角形的角平分线。表达过程：三角形的中线；在三角形中，连接一个顶点与它对边 点的线段，叫做三角形的中线。表达过程：三角形的高；从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线， 和 之间的线段叫做三角形的高。表达过程：【课前热身】1. 如果三角形的一个内角等于另外两个内角的和，这个三角形的最大的角是_.答案：902. 如图，AD是ABC的角平分线，若BAC=68，则1= 度.答案：343. 如图，AD是ABC的中线，若BD=2，则BC= .答案：44. 如图，AD是ABC的中线，若SABC=8，则SABD= .答案：4【讲练互动】【例1】如图，在ABC中，C90，AD平分BAC，且B3BAD，求ADC的度数.解：AD平分BAC，CAD=BAD.设CAD=BAD=x，B=3BAD，B=3x.CAB+B+C=180，C=90，2x+3x+90=180.解得x=18. CAD=18.CAD+C+ADC=180，ADC=72.【变式训练】1.如图， 在ABC中，C90，AD是ABC的角平分线， CAB=2B.试求ADB的度数.解：CAB+B+C=180，C=90，CAB+B=90.又CAB=2B，CAB=60.AD是ABC的角平分线，CAD=30.ADB=CAD+C=30+90=120.【例2】如图，AD是ABC的边BC上的中线，AB=BC，且AD把ABC的周长分成3和4的两部分，求AC边的长.分析：本题分两种情况，可能AB+BD=3，AC+CD=4，也可能AB+BD=4，AC+CD=3.解：AD是ABC的边BC上的中线，可设BD=CD=x.AB=BC，AB=BC=2x.当AB+BD=3，AC+CD=4时，由AB+BD=3，得2x+x=3，x=1.CD=1，AC=4-CD=3.当AB+BD=4，AC+CD=3时，由AB+BD=4，得2x+x=4，x=.CD=，AC=3-CD=.【变式训练】2. 如例2图，AD是ABC的边BC上的中线，若ABD的周长比ACD的周长大5，求AB与AC的差. 解：AD是ABC中BC边上的中线，BD=DC.ABD的周长=AB+AD+BD，ADC的周长=AC+AD+DC，ABAC=ABD的周长ADC的周长=5.【同步测控】基础自测1.三角形的角平分线是（ ）A.射线 B.线段 C.直线 D.以上都不对2.下列说法正确的是（ ）A.经过三角形一边的中点的直线是三角形的中线B.连接三角形两边中点的线段是三角形的中线C.三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的面积一定相等D.三角形的中线把三角形分成的两个小三角形的周长一定相等3.如图，在ABC中，BE，CF分别是ABC和ACB的平分线，若ABC=66， ACB=58，则FDB的度数为（ ）A.56 B.62 C.70 D.864.已知BD是ABC的中线，AB=4，AC=3，BD=5，则ABD的周长为（ ）A.12 B.10.5 C.10 D.8.55. 如图，D、E是边AC的三等分点，BD是三角形_中_边的中线，BE是三角形_中_边上的中线.6.已知AE是ABC的角平分线，若B=45，C=60，则AEB= .7.(2008沈阳中考)已知中，的平分线交于点，则的度数为 8.画出如图所示的三角形中的BC边上的中线与BC所对的角的角平分线.9.如图，CE，CF分别是ABC的内角平分线与外角平分线，求ECF的度数.解：CE，CF分别是ABC的内角平分线与外角平分线，ACE=ACB，ACF=ACD.又ACB+ACD=180，ACE+ACF=90.10.如图，在ABC中，AB=AC=6，BC=5，BD是AC边上的中线.试确定ABD与BCD的周长的差.解：BD是AC边上的中线，AC=6，AD=DC=3.ABD的周长BCD的周长=(AB+AD+BD)-(BC+BD+CD)=AB-BC=6-5=1.5、数学事实：三角形的三条中线（三条角平分线、三条高所在的直线）交于一点。6、三角形的周长、面积求法和三角形稳定性。举例：（1）如图1：CABC=ABBCAC或CABC= abc。 四个量中已知其中三个能求第四个。 （2）如图2：AD为高，SABC =BCAD三个量中已知其中两个能求第三个。（3）如图3：ABC中，ACB=90，CD为AB边上的高，则有：SABC =ABCD=ACBC即：ABCD=ACBC四条线段中已知其中三条能求第四条。二、应用举例：【例1】（07深圳试题）已知三角形的三边长分别为3、8、x，若x的值为偶数，则x的值有（ ）。A、6个 B、5个 C、4 个 D、3个【例2】下列各组三条线段中，不能组成三角形的是（ ）。A、三线段之比为 1：2：3 B、 a + 1 ，a + 2 ，a + 3（a0）C、5cm ，6 cm ，10 cm D、3cm ，4 cm ，9 cm 【例3】等腰三角形的两边长分别为12和6，则此三角形的周长为（ ）。A、24 B、30 C、24或30 D、以上都不对分析：要考虑12和6中哪个是腰长。（1）若以12为腰长，则有12126=30；（2）若以6为腰长，则有6612=24，但66却不大于第三边12，因此以6为腰长不能组成三角形。【例4】如图AD、AE分别是ABC的高和中线，AB=6，AC=8，BC=10，BAC=90，试求：（1）AD的长；（2）ABE的面积；（3）ACE与ABE的周长的差。分析：（1）ABC面积等于ABAC，也等于BCAD，即：ABAC= BCAD，可求出AD长；（2）而SABE =SABC（底BE是底BC的一半）；（3） CACE CABE =（AEECAC）（AEBEAB） =ACAB三、练习：1、（06年绍兴试题）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图1中以BC为公共边的“共边三角形”有（ ）对。A、2 B、3 C、4 D、52、下列说法：三角形的高、中线、角平分线都是线段；三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的高有两条在三角形外部，还有一条在三角形内部；如果P是ABC的AC边的中点，则PB是的ABC中线。其中正确的是（ ）。A、 B、 C、 D、3、一个三角形的两边长是2，7，若周长是奇数，则第三边长是_ 。4、如果有两边相等的三角形其中一边长为2cm，另一边长为6cm，则第三边长为_ cm。5、如图2，DEBC，CD是ABC的平分线，A B C=60，则EDC=_ 。6、如图，AD为ABC的中线，若AB=8，AC=6，则ABD与ACD的周长之差是：_。【作业：】1、已知三角形的三边长分别为3、8、x，且此三角形的周长是偶数，则x的值： _ 。2、右图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。3、如图在ABC中画出高BF、中线CE及角平分线AD。