电磁场与电磁波 习题答案.doc

第九章 导行电磁波重点和难点本章应以矩形波导为重点，介绍导波系统的传输特性。介绍几种常用导波系统时，应着重介绍传输的波型结构和使用的频率范围。若有实物，可带入教室向学生展示。介绍矩形波导中的电磁波时，应着重讲解求解方法、传播特性以及波导中的电磁场分布。传播特性中的多模特性、截止波长及波导波长等概念应为重点。通过矩形波导中的TE10波的分析进一步说明波导中的场分布，波导壁上的电流分布，波导波长和工作波长之间的关系，以及波导中的相速和能速之间的关系。关于同轴线，着重介绍如何设计尺寸，抑制高次模。对于谐振腔，着重介绍多谐性及其应用。群速及圆波导内容可以根据学时适当从简。重要公式直角坐标系中横向场的纵向场表示：式中，。矩形波导中的TM波矩形波导中的TE波矩形波导中电磁波的传播特性：截止传播常数：截止频率：截止波长：矩形波导的尺寸：；相速：波导波长：TM波的波阻抗：TE波的波阻抗：矩形波导中的TE10波：场方程：截止波长：相速：波导波长：能速：群速：色散媒质中窄带信号的群速：矩形波导中的群速：圆柱坐标系中横向场的纵向场表示：圆波导中的TM波：圆波导中的TM波：圆波导中电磁波的传播特性：TM波的截止传播常数：TE波的截止传播常数：圆波导的尺寸：矩形波导的最大传输功率：谐振腔：矩形谐振腔的谐振波长：矩形谐振腔的谐振频率：同轴线的尺寸：题 解9-1 推导式（9-1-4）。解 已知在理想介质中，无源区内的麦克斯韦旋度方程为， 令 ， 则将上式代入旋度方程并考虑到，可得 整理上述方程，即可获得式（9-1-4）。9-2 推导式（9-2-17）。解 对于波，。应用分离变量法，令由于满足标量亥姆霍兹方程，得此式要成立，左端每项必须等于常数，令；显然，。由上两式可得原式通解为根据横向场与纵向场的关系式可得因为管壁处电场的切向分量应为零，那么，TE波应该满足下述边界条件：；将边界条件代入上两式，得 故的通解为其余各分量分别为9-3 试证波导中的工作波长、波导波长与截止波长之间满足下列关系解 已知波导中电磁波的波长为则 即9-4 已知空气填充的矩形波导尺寸为，若工作频率，给出可能传输的模式。若填充介质以后，传输模式有无变化？为什么？解 当内部为空气时，工作波长为，则截止波长为那么，能够传输的电磁波波长应满足，若令，则k应满足。满足此不等式的m，n数值列表如下：0.2512.25411.2523.2544.25由此可见，能够传输的模式为填充介质以后，已知介质中的波长为，可见工作波长缩短，传输模式增多，因此除了上述传输模式外，还可能传输其它高次模式。9-5 已知矩形波导的尺寸为，若在区域中填充相对介电常数为的理想介质，在区域中为真空。当TE10波自真空向介质表面投射时，试求边界上的反射波与透射波。解 已知波导中沿轴传输的波的电场强度为那么，反射波和透射波的电场强度可分别表示为；式中；考虑到边界上电场强度与磁场强度的切向分量必须连续的边界条件，因而在处，获知根据波阻抗公式，获知z 0区域中的波阻抗分别为将场强公式代入，得，；，根据上述边界条件，得那么，处的反射系数及透射系数分别为;反射波与透射波的电场强度分别为;根据，可得反射波的磁场强度为根据，可得透射波的磁场强度9-6 试证波导中时均电能密度等于时均磁能密度，再根据能速定义，导出式（9-4-9）。解 在波导中任取一段，其内复能量定理式（7-11-14）成立。考虑到波导为理想导电体，内部为真空，因此内部没有能量损耗。因此式（7-11-14）变为因为流进左端面的能量应该等于流出右端面的能量，故上式左端面积分为零，因而右端体积分为零。但是右端被积函数代表能量，只可能大于或等于零，因此获知已知能速的定义为，对于TE波，波导中平均能量密度为波导中能流密度平均值仅与场强的横向分量有关。对于TE波，能流密度的平均值为波导中电场和磁场的横向分量关系为将上述结果代入，求得TE波的能速为同理对于TM波也可或获得同样结果。9-7 试证波导中相速与群速的关系为解 根据群速的定义，对于波导，。又知波导的相位常数与相速的关系为，则根据波导波长与相位常数的关系，得则 9-8 推导式（9-6-3）解 将麦克斯韦旋度方程，在圆柱坐标系中展开，得将代入上式，并考虑到，得；上式整理后，即可求得横向分量的表示式为其中 9-9 推导式（9-6-18）解 对于TE波，建立圆柱坐标系，满足的亥姆霍兹方程为令，代入上式，得令方程两边等于，获得下述两个常微分方程：其中的通解为由于随角度的变化周期为2p，因此，必须为整数。即式中m = 1,2,3。考虑到圆波导具有旋转对称性，的坐标轴可以任意确定，总可适当选择的坐标轴，使上式中的第一项或第二项消失，因此，上式可表示为 的通解为考虑到圆波导中心处的场应为有限，但时，故常数，即。因此的通解为那么，根据圆波导的横向分量的纵向场分量表示式，即可求得各个分量的表示式。9-10 已知空气填充的圆波导直径，若工作频率，给出可能传输的模式，若填充相对介质常数的介质以后，再求可能传输的模式。解 当圆波导内为空气时，工作波长为已知TM波的截止波长为，因此能够传输的模式对应的第一类柱贝塞尔的根Pmn必须满足下列不等式由教材表9-6-1可见，满足上述条件的只有P01因此只有波存在。TE波的截止波长为，那么能够传输的模式对应的第一类柱贝塞尔的导数根必须满足下列不等式由教材表9-6-2可见，满足上述条件的只有和，因此只有和波可以传输。填充介电常数为理想介质后，工作波长为，则能够传输的TM模式对应的第一类柱贝塞尔的根Pmn必须满足下列不等式由教材表9-6-1可见，满足上述条件的模式为。能够传输的TE模式对应的第一类柱贝塞尔的导数根必须满足下列不等式那么，由原书表9-6-2可见，满足上述条件的模式为。9-11 当比值为何值时，工作于主模的矩形波导中波导壁产生的损耗最小？（指获得最小衰减常数）。解 当矩形波导传播波时，其衰减常数为式中A仅与波导的参数有关。令，则求k的最小值问题转化为求函数的最小值问题。由，得，解此方程，得若取，则。由于，则。故 不合理。应取即得9-12 已知空气填充的铜质矩形波导尺寸为，工作于主模，工作频率。试求： 截止频率、波导波长及衰减常数； 当场强振幅衰减一半时的距离。解 当工作于主模波时，则截止频率为波导波长为因矩形波导为空气填充，故仅需考虑波导壁产生的衰减，则衰减常数为对于铜制波导，波导壁表面电阻，则设场强衰减一半时的距离为d，由，求得9-13 已知空气填充的铜质圆波导直径，工作于主模，工作频率，试求， 截止频率、波导波长及衰减常数； 当场强衰减一半的距离。解 当圆波导工作于主模波时，则截止频率为波导波长为由于波导是空气填充,因此只需考虑波导壁的损耗。根据衰减常数的定义，求得其中波导壁表面电阻波数传播常数截止传播常数，那么，求得设场强衰减一半时的距离为，由，求得d = 163（m）9-14 已知空气填充的矩形波导尺寸为，工作频率。若空气的击穿场强为，试求该波导能够传输的最大功率。解 由于波导是空气填充，故工作波长为已知，为了满足，该波导只能传播波，其截止波长为此时，矩形波导能够传输的最大功率为，式中为波导中空气的击穿强度，。又知该矩形波导的波阻抗求得该矩形波导能够传输的最大功率为9-15 若波导中填充介质的参数为，试证由于填充介质产生的衰减常数为解 当波导中填充的媒质具有一定的电导率时，可以引入等效介电常数，即令。因此，波导中的波数。已知，那么考虑到通常s we，上式可简化为令传播常数，那么，衰减常数为9-16 已知空气填充的铜质矩形波导尺寸为，工作于主模，工作频率。若该波导传输功率为，试求： 波导壁产生的衰减常数； 波导中电场及磁场强度的最大值； 波导壁上电流密度的最大值； 每米长度内的损耗功率。解 已知工作于主模的空气填充的矩形波导，波导壁产生的衰减常数为式中波导壁的表面电阻，工作波长，那么衰减常数为设波导中的复能流密度为，横截面为，则波导中的传输功率为由于波导中填充理想介质，波阻抗为实数，横向电场与横向磁场的相位相同，则 。已知矩形波导中波强度的横向分量为考虑到，则由上述场强公式求得因则 那么，当传输功率P = 1000(W)时，则由此求得波导中电场及磁场强度的最大值分别为根据波导壁上磁场分量，即可求得波导壁上的表面电流。窄壁上表面电流为其最大值为宽壁上表面电流为因此，宽壁上表面电流的振幅为令，则 由，获知，为极点。又因计算表明，当，；当，；当，。由此可见，当时，即宽边中部取得最大值，求得表面电流最大值为因，损耗功率，那么，单位长度内的损耗功率为9-17 试证式（9-8-8）。解 已知表面电流，式中为导体表面的外法线方向上的单位矢量。那么，表面电流的大小为，式中表示表面磁场的切向分量。因此，损耗功率为此面积分应沿谐振腔的6个内壁求积，即已知式中则 代入后，求得9-18 推导式（9-8-10）及式（9-8-12）。解 当圆波导传播TM波时，则若谐振腔的长度为l，则。那么，又知，则谐振频率为同理，对于TE波的圆柱谐振腔，可以证明谐振频率为9-19 已知矩形波导谐振腔的尺寸为，试求发生谐振的4个最低模式及其谐振频率。解 已知矩形波导谐振腔的谐振频率为当腔内为真空时，根据题中给定的尺寸，则谐振频率为那么，发生谐振的4个最低模式为TM110，TE101，TE011，TE111和TM111，对应的谐振频率分别为；9-20 已知空气填充的圆波导半径为10mm，若用该波导形成谐振腔，试求为了使30GHz电磁波谐振于TM021模式所需的波导长度。解 已知圆波导谐振腔工作于TM波时，其谐振频率为若要求，令腔长为半波导波长，即l = 1，那么，谐振腔的最短长度d由下式求得d = 10.5(mm)9-21 已知空气填充的矩形波谐振腔尺寸为，谐振模式为TE102，在保证尺寸不变条件下，如何使谐振模式变为TE103。解 已知矩形谐振腔的谐振频率为由此可见，改变腔内介质的介电常数即可变更谐振腔的谐振频率。当腔内充满空气时，谐振于模式的谐振频率为若腔内充满介质，谐振于模式的谐振频率为由f102 = f103，求得填充介质的相对介电常数。9-22 试证波导谐振腔中电场储能最大值等于磁场储能最大值。解 波导谐振腔内的电磁场应该满足无源区中的麦克斯韦方程，即设谐振腔的体积为V，则电场最大储能为，磁场最大储能为，那么因故 利用矢量恒等式，则式中第一项积分的被积函数可改写为 由于腔壁上电场强度的切向分量为零，即故面积分，则考虑到则 9-23 已知空气填充的黄铜矩形谐振腔的尺寸为，谐振模式为TE111，黄铜的电导率，试求该谐振腔的品质因素。解 矩形波导中波的电场与磁场的各分量为 则在谐振模式下的场分量为其电场最大值为 ；电场储能密度的时间最大值为，则整个腔内的电场储能的时间最大值为已知表面电流，式中为导体表面的外法线方向上的单位矢量。那么，表面电流的大小为，式中表示表面磁场的切向分量。因此，损耗功率为此面积分应沿谐振腔的6个内壁求积，即其中 则损耗功率为谐振腔的品质因数为 因，(m)，求得品质因数。9-24 试证由理想导电体制成的、介质填充的波导谐振腔品质因素，式中及分别为填充介质的介电常数及电导率。解 由于谐振腔是理想导体，故腔壁的损耗可以不计，仅需考虑填充介质的损耗。已知品质因数为式中 又求得29