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第三章杆件的应力与强度计算,MechanicsofMaterials,材料力学,3-1引言3-2拉(压)杆的应力与应变3-3材料在拉伸和压缩时的力学性能3-4失效、许用应力和强度条件3-6薄壁圆筒的扭转3-7圆轴扭转时的应力与强度条件3-8纯弯曲时梁的正应力3-9横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件3.10弯曲切应力.弯曲切应力强度条件3-11梁的合理设计3-12剪切与挤压的实用计算3-13应力集中,杆件的应力与强度计算,3-1引言,问题提出:,1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度:内力在截面分布集度应力;材料承受荷载的能力。,思路(“三方面”法):变形几何关系、物理关系、静力学关系变形几何关系:杆件的应变规律变形规律假设物理关系:应力与应变间的关系静力学关系:内力与应力的关系(内力与外力的关系),材料的力学性能,3-2拉(压)杆的应力与应变,一、拉(压)杆横截面上的应力,所有的纵向线伸长都相等,而横向线保持为直线且与轴线垂直。,变形前,受载后,2.各纵向纤维伸长相同,由均匀性假设,各纵向纤维的力学性能也相同,所以它们所受的力也相同。,3.内力的分布,FN,均匀分布,1.平面假设(Planeassumption)变形前原为平面的横截面,在变形后仍保持为平面,且仍垂直于轴线.,4.正应力公式,拉为正压为负,拉压直杆杆的截面无突变截面到载荷作用点有一定的距离,6.公式的应用条件:,危险截面:内力最大的面,截面尺寸最小的面。危险点:应力最大的点。,5.危险截面及最大工作应力:,7.Saint-Venant原理:,力作用于杆端方式的不同,只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。,Saint-Venant原理与应力集中示意图,(红色实线为变形前的线,红色虚线为红色实线变形后的形状。),变形示意图:,应力分布示意图:,例1如图所示起吊三角架,已知AB杆由2根80807等边角钢组成,F=130kN,30。求AB杆横截面上的应力。,解:(1)计算AB杆内力,取节点A为研究对象,,(2)计算AB,例2起吊钢索如图所示,截面积分别为A1=3cm2,A2=4cm2,l1=l2=50m,P=12kN,=0.028N/cm3,试绘制轴力图,并求max。,解:(1)计算轴力,AB段:取11截面,BC段:取22截面,(2)计算应力,二、斜截面上的应力,1.斜截面上的应力,以p表示斜截面k-k上的应力,于是有,沿截面法线方向的正应力,沿截面切线方向的剪应力,将应力p分解为两个分量:,p,(1)角,2.符号的规定(Signconvention),(3)切应力对研究对象任一点取矩,p,(1)当=0时,,(2)当=45时,,(3)当=-45时,,(4)当=90时,,讨论,三、拉(压)杆的应变.胡克定律,1、纵向变形,纵向应变,纵向变形,2、横向变形,横向应变,横向变形,3、泊松比(Poissonsratio),称为泊松比,4、胡克定律(Hookeslaw),式中E称为弹性模量(modulusofelasticity),EA称为抗拉(压)刚度(rigidity).,实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段,在此弹性范围内,正应力与线应变成正比.,上式改写为,由,3-3材料在拉伸和压缩时的力学性能,(1)常温:室温(2)静载:以缓慢平稳的方式加载(3)标准试件:采用国家标准统一规定的试件,一、试验条件及试验仪器,1、试验条件:,材料的力学性能:也称为材料的机械性能,指材料在外力作用下表现出的变形、破坏等方面的特性。,圆截面试件:l10d,l5d,板试件(矩形截面):,标距:试样上试验段长度,2.试验设备(1)万能材料试验机(2)游标卡尺,二、拉伸试验,低碳钢拉伸时的力学性质,应力应变曲线(图),拉伸图(P-L曲线),试样的变形完全是弹性的。即加载变形,卸载后变形能完全恢复。,(一)弹性阶段(OA段),弹性极限e,A点所对应的应力是弹性阶段的最高值,是材料只出现弹性变形的最高值。,在弹性阶段内有一段直线段,在该段内、之间呈线性关系,称为比例阶段,也称线弹性阶段,线弹性阶段(OA段),比例极限p,A对应的应力是线弹性阶段最高值,(二)屈服阶段(AC段)塑性变形(残余变形):卸载后不能恢复的变形。,滑移线(与轴线成45夹角),变形特点:基本不变,显著增加屈服或流动,上屈服极限不稳定下屈服极限稳定屈服极限(s),塑性材料的失效应力:s,(三)强化阶段(CD段),材料的强化:材料恢复抵抗变形的能力。,(四)颈缩阶段(DE段),试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩,出现颈缩现象。一直到试样被拉断。,b强度极限(或抗拉强度),试样拉断后,弹性变形消失,塑性变形保留,试样的长度由l变为l1,横截面积原为A,断口处的最小横截面积为A1.,断面收缩率,伸长率,5%的材料,称作塑性材料(ductilematerials),5%的材料,称作脆性材料(brittlematerials),伸长率和端面收缩率,卸载定律:把试样拉到超过屈服极限后卸载,在卸载过程中,应力和应变按直线规律变化。,冷作硬化:在材料强化阶段卸载后再加载,材料比例极限提高,而塑性降低的现象。,是试样的弹性应变,冷作时效:在常温下把材料预拉到强化阶段,然后卸载,经过一段时间后再受拉,则其线弹性范围的最大荷载还有所提高。,是试样的塑性应变,铸铁在拉伸时的力学性能,铸铁拉伸时力学性能特点:,1)无屈服和颈缩现象;2)拉断时应力较小;3)基本无直线段,近似服从胡克定律,并以割线的斜率作为弹性模量。,只有一个强度指标b,割线斜率,其它金属材料在拉伸时的力学性能,对于没有明显屈服阶段的塑性材料,当产生的塑性应变0.2%时,所对应的应力作为塑性指标,并用P0.2表示,称为规定非比例伸长应力(名义屈服极限),三、材料压缩时的力学性能,1.实验试件,压缩的实验结果表明,低碳钢压缩时的弹性模量E屈服极限s都与拉伸时大致相同.屈服阶段后,试件越压越扁,横截面面积不断增大,试件不可能被压断,因此得不到压缩时的强度极限.,2.低碳钢压缩时的-曲线,3.铸铁压缩时的-曲线,铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成4555倾角,表明这类试件主要因剪切而破坏。铸铁的抗压强度极限是抗拉强度极限的45倍.,3-4失效、许用应力和强度条件,失效:由于各种原因使结构丧失其正常工作能力的现象,称为失效。材料的两种失效形式:(1)塑性屈服:指材料失效时产生明显的塑性变形,并伴有屈服现象。塑性材料如低碳钢等以塑性屈服为标志。(2)脆性断裂,材料失效时未产生明显的塑性变形而突然断裂。脆性材料如铸铁等以脆断为失效标志。,极限应力(Ultimatestress):失效时的应力,并用u表示。,塑性材料塑性屈服极限应力u屈服极限s脆性材料脆性断裂极限应力u强度极限b,以大于1的因数除极限应力,并将所得结果称为许用应力,用表示.,许用应力(Allowablestress),n安全系数(factorofsafety),塑性材料(ductilematerials),脆性材料(brittlematerials),材料性质,理想构件与实际构件之差别,加载性质,工作条件,安全系数的选取,塑性材料:n=1.22.5,脆性材料:n=2.03.5,拉压,强度设计准则,其中:许用应力,max危险点的最大工作应力。,设计截面尺寸:,依强度准则可进行三种强度计算:,保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。,校核强度:,许可载荷:,例3已知三铰屋架如图,承受竖向均布载荷,载荷的分布集度为:q=4.2kN/m,屋架中的钢拉杆直径d=16mm,许用应力=170MPa。试校核刚拉杆的强度。,钢拉杆,4.2m,A,B,C,钢拉杆,8.5m,q,4.2m,FAy,FB,FAx,应力:,强度校核与结论:,此杆满足强度要求,是安全的。,局部平衡求轴力:,q,FN,FAy,FAx,FCy,FCx,例4简易起重机构如图,AC为刚性梁,吊车与吊起重物总重为P,为使BD杆最轻,角应为何值?已知BD杆的许用应力为。,分析:,x,L,h,q,P,A,B,C,D,BD杆面积A:,解:BD杆内力FN(q):取AC为研究对象,如图,FAy,FAx,FNB,x,L,P,A,B,C,x,L,P,A,B,C,求VBD的最小值:,FAy,FAx,FNB,例5已知:=30,斜杆由二根80807等边角钢组成,横杆由二根10号槽钢组成,材料均为A3钢,许用应力=120MPa。试求许可载荷F。,解:1、受力分析,画受力图。设FN1为拉力,FN2为压力。,由平衡条件,2、计算许可轴力,由式,得,由附录型钢表查得斜杆横截面积A1=10.862=21.72cm2,横杆横截面积A2=12.7482=25.496cm2。,FN1=21.7210-4120260(kN),FN2=25.49610-4120=306(kN),许可载荷F=130kN。,
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