18《操作问题》专题过关检测卷带解析

18操作问题专题过关检测卷A 卷（ 50 分）、填空题（每题2 分，共 20分）1黑板上写着8，9，10，11，12，13，14 七个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个 数的和减1。例如，擦掉9和 13，要写上21。经过几次后，黑板上就会只剩下一个数， 这个数是。2. 口袋里装有99张小纸片，上面分别写着199。从袋中任意摸出若干张小纸片，然后算出这些纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过 若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是。3. 将110 十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后面的，就将它们交换位置。如此操作直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数中的第6 位， 那么最少要实行次交换，最多要实行次交换。4. 一个自然数，把它的各位数字加起来得到一个新数，称为一次变换，例如自然数 5636，各位数字之和为5+6+3+6=20，对20 再作这样的变换得2+0=2。可以证明进行这种变换 的最后结果是将这个自然数变成一个一位数。对数 123456789101112272829作连续变 换，最终得到的一位数是。5.5个自然数的和为100，对这5个自然数进行如下变换：找出一个最小数加上2，找出 一个最大数减2。连续进行这种变换，直至5 个数不发生变化为止，最后的5个数可能 是。6. 在黑板上写两个不同的自然数，擦去较大数，换成这两个数的差，我们称之为一次变 换。比如（15， 40）， 40-1525，擦去40，写上25，两个数变成（15， 25），对得到的 两个数仍然可以继续作这样的变换，直到两个数变得相同为止，比如对（15， 40）作这 样的连续变换：（15,40） （15,25）（15,10） （5,10） （5,5）。对（1024, 3l11二1）作这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是。20个17. 在一块长黑板上写着450位数123456789123456789（将123456789重复50次）。删去这个数中所有位于奇数位上的数字；再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字； 再删去，并如此一直删下去。最后删去的数字是。8. 将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操作： 将左边第一个数码移到数字串的最右边； 从左到右两位一节组成若干个两位数； 划去这些两位数中的合数； 所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去； 所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。经过 1997 次操作，所得的数字串是。9. 一个三角形全涂上黑色，每次进行一次操作，即把全黑三角形分成四个全等的小三角形，中间的小正三角形涂上白色，经过5次操作后，黑色部分是整个三角形的。10. 口袋里装着分别有写着1，2，3，135 的红色卡片各一张，从口袋里任意摸出若干 张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17 的余数，再把这个余数写在另一张黄 色的卡片上放回口袋内。经过若干次这样的操作后，口袋内还剩下两张红色卡片和一 张黄色卡片。已知这两张红色卡片上写的数分别是19 和 97，那么这张黄色卡片上写 的数是。、解答题（30 分）1把一块边长为10 厘米的正方形铁片，做成一个正方体盒子，求这个盒子的表面积的最 大值。2. 将3X3方格纸的每一个方格添上奇数或偶数，然后进行如下操作：将每个方格里的数 换成与它有公共边的几个方格里的数的和。问：是否可以经过一定次数的操作，使得 所有九个方格里的数都变成偶数？如果可以，需要几次？3. 在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1 或减 1 算作一次操作经过若干次操作后变为右下图。问：下图A格中的数字是几？为什么？4. 在1997X 1997的方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮，按钮每按一次，与它同一行、 同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变不亮，不亮变亮。如果原来每盏灯都是不 亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮？5. 在4X4的方格纸上标有16个字母，将它平放在桌上，然后按下列顺序对折4次：将 下半截盖住上半截；将上半截盖住下半截；将左半截盖住右半截；将右半截盖住 左半截。这时从上到下的第6层上是什么字母？AliEFJMNC1）G/KL77P6图中有6个完全相同的圆，其中A，B，C，D，E被固定在玻璃桌面上，第6个圆F紧邻 着 A， B， C， D， E 这 5 个圆慢慢地沿顺时针方向滚动，滚动过程中不发生任何滑动。当 圆F再滚回到出发点P时，它自身绕圆心旋转了多少圈？B 卷（ 50 分）、填空题（每题2 分，共 20分）1对于324和 612，把第一个数加上3，同时把第二个数减3，这算一次操作，操作次后两个数相等。2. 对自然数n作如下操作：各位数字相加，得另一自然数。若新的自然数为一位数，那么操作停止，若新的自然数不是一位数，那么对新的自然数继续上面的操作，当得到 一个一位数为止。现对1， 2， 3， 1998如此操作，最后得到的一位数是7的数一 共有个。3. 在1， 2， 3， 4， 5， 59， 60 这 60 个数中，第一次从左向右划去奇数位上的数；第二次在剩下的数中，再从左向右划去奇数位上的数；如此继续下去，最后剩下一个数 时，这个数是。4. 把写有1， 2， 3， 25的 25 张卡片按顺序叠齐，写有1的卡片放在最上面，下面进行这样的操作：把第一张卡片放到最下面，把第二张卡片扔掉；再把第一张卡片放到 最下面，把第二张卡片扔掉；按同样的方法，反复进行多次操作，当剩下最后一 张卡片时，卡片上写的是。5. 副扑克共54张，最上面的一张是红桃K。如果每次把最上面的4张牌，移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过次移动，红桃K才会出现在最上面。6. 写出一个自然数A,把A的十位数字与百位数字相加，再乘以个位数字，把所得之积的个位数字续写在A的末尾，称为一次操作。如果开始时A =1999,对1999进行一次 操作得到19992，再对19992进行一次操作得到199926，如此进行下去直到得出一个 1999位数为止，这个1999位数的各位数字之和是。7. 黑板上写有1987个数： 1， 2， 3， 1986， 19870 任意擦去若干个数，并添上被擦去的这些数的和被7 除的余数，称为一个操作。如果经过若干次这种操作，黑板上只 剩下了两个数，一个是987，那么，另一个数是。8. 下图中有 5 个围棋子围成一圈。现在将同色的两子之间放人一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，然后将原来的 5 个拿掉，剩下新放入的 5 个子中最多能有个黑子。9. 在圆周上写上数 1， 2， 4，然后在每两个相邻的数之间写上它们的和（于是共得到 6 个数： 1， 3， 2， 6， 4， 5），再重复这一过程5次，圆周上共出现192个数，则所有这 些数的和是 。10. 在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这 个数，称为一次操作，那么最多经过次操作，黑板上就会出现2。、解答题（20 分）1. 甲盒中放有1993个白球和1994个黑球，乙盒中放有足够多个黑球。现在每次从甲盒中任取两球放在外面，但当被取出的两球同色时，需从乙盒中取出一个黑球放入甲盒；当被取出的两球异色时，便将其中的白球再放回甲盒，这样经过3985次取、放之后， 甲盒中剩下几个球？各是什么颜色的球？2如图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上，开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均 写有 0，然后转动圆盘，每次可以转动90的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正 对着黑板上写数的位置。将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上，问：经过若干次 后，黑板上的四个数是否可能都是1999？3有三堆石子，每次允许由每堆中拿掉相同数目的石子（每次这个数目不一定相同），或 由任一堆中取一半石子（如果这堆石子是偶数个）放入另外任一堆中，开始时三堆石 子数分别为 1989，989，89。如按上述方式进行操作，能否把这三堆石子都取光？如 行，请设计一种取石子的方案；如不行，请说明理由。4. 如图，圆周上顺次排列着1, 2, 3, 12这十二个数，我们规定：相邻的四个数, a，a，a顺序颠倒为a，a，a，a，称为一次“变换”（如:1，2，3，4变为4，3, 23443212， 1，又如： 11， 12， 1， 2变为2， 1， 12， 11）。能否经过有限次“变换”，将十二个数的顺序变为 9， 1，2， 3， 8， 10， 11， 12（如图）?请说明理由。三、生活题（10 分）1. 小明买了6张电影票（见右图），他想撕下相连的4张，共有几种不同的方法？1234562. 仓库里的东西太乱了，地上摆着一箱一箱的东西，分别是香蕉2千克、苹果13千克、 葡萄5 千克、柿子9 千克、梨子18千克、橘子25千克、杏7 千克，保管员想把这些 箱子整理一下，也就是堆成几摞，要使每个箱子的承重力不能超过每个箱子的自重， 至少要堆成几摞？怎样堆？18操作问题专题过关检测卷A卷一、1.所剩之数等于原来的七个数之和减6,故这个数是（8+9+10+11+12+13+14） -6=71。2. 每次操作都不改变袋中所有数之和除以100的余数,所以最后一张纸片上的数 等于199的和除以100的余数，是50。3当排列顺序为1, 2, 3, 4, 5, 10, 6, 7, 8, 9时，交换次数最少，需交换4 次；当排列顺序为 9， 8， 7， 6， 5， 10， 4， 3， 2， 1 时，交换次数最多，需交换 40 次；4. 一个整数倍9除的余数等于它的各位数字之和被9 除的余数,如果这个整数不 是 9 的倍数, 就可以根据这一点来确定题目要求的一位数。 （l+2+9）X3+lX10+2X10被9除余3,可见最终得到的一位数是3。5. 20, 20, 20, 20, 20 或 19, 20, 20, 20, 21 或 19, 19, 20, 21, 21。6. 变换中的两个数,它们的最大公约数始终未变,最后得到的两个相同的数即为 它们的最大公约数，因为1024=210而111没有质因子2,它们是互质的。所20个1 以最后得到的两个相同的数是1。7. 该数处于第26组“123456789”中的第4个位置上，即为4。& 4k次操作均为1173。1996=4X499，所以第1996次操作得数字串1173，因 此第1997次操作得数字串1731。339 每一次黑三角形个数为整个的 ,所以5次变换为 X443 3 3 3 243XXX二4 4 4 4 102410.口袋里卡片上的数字总和除以 17 的余数始终不变。黄色卡片上的数是 17-14=3。、 1.这个正方体的表面积最大是62.5平方厘米。2. 经过四次操作后，所有九个方格中的数全变为偶数。3. 每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的 颜色（如右图），因为每次操作总是一个黑格与一个白格同时加1 或减 1，所以无论进行多少次操作，白格内的数字之和减去黑格 内的数字之和总是常数。由原题左图知这个常数是8，再由原题 右图可得（A+7）-8=8，由此解得A=9。4. 将某一列中的每一格都按一次，则除这一列外，每格的灯都只改变一次状态， 由不亮变亮。而这一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮。如果少于1997次，则造成少按某一格子，也就会造成这个格子所在的行（或列）的灯小觅。5. 从上到下依次是 HLPDAM6. 圆转了二分之五圈。B卷一、1.每操作一次，两个数的差减少6,经（612-324）宁6=48 （次）操作后两个数相 等。2.由于操作后所得到的数与原数被9除所得的余数相同，因此操作最后为7的数 一定是原数除以9余7的数，即7, 16, 25, , 1996, 一共有（1996-7）宁9+1= 222 （个） 3.第一次操作后，剩下2，4，6，60这30个偶数；第二次操作后，剩下4，8，1 2，60这1 5个数（都是4的倍数）；第三次操作后，剩下8，1 6， 24，56这7 个数（都是8的倍数）；第四次操作后，剩下16，32，48这 3个 数；第五次操作后，剩下一个数，是32。4第一轮操作，保留1，3，5，25 共 13 张卡片；第二轮保留3，7，11，15， 19，23 这6 张卡片；第三轮保留3，11，19这 3张卡片；接着扔掉11，3；最后 剩下的一张卡片是 19。5. 因为54, 41=108,所以移动108张牌，又回到原来的状况。又因为每次移动 4张牌，所以至少移动108宁4=27（次）。6. 按照操作的规则, 寻找规律知, A=1999 时得到的 1999 位数为： 19992668646000。其各位数字和为 1+9+9+9+2+6+6+8+6+4+6=66。7. 黑板上的数之和除以7的余数始终不变。又987=7X 141是7的倍数，所以剩 下的另一个数也应是7的倍数，又这个数是某些数的和除以7的余数，故这个数 只能是 0。8.4个。提示：因为5个子不可能黑白相间，所以永远不会得到5个全是黑子。9. 记第i次操作后，圆周上所有数的和为a ,依题意，得a =2a +a =3a。又原ii+1 i i i来三数的和为 a =1+2+4=7，所以 a =3a = 21， a =3a =63， a =3a =189,a4=3a =567,01021323a=3a=1701，a =3a =5103，即所有数的和为 5103。546510. 如果写的是奇数，只需1次操作；如果写的是大于2的偶数，经过1次操作变 为奇数，再操作1次变为2。、1.由操作规则知，每次操作后，甲盒中球数减少一个，因此经过3985次操作后， 甲盒中剩下 1993+1994-3985=2（个）球。每次操作白球数要么不变，要么减少 2 个。因此，每次操作后甲盒中白球数的奇偶性不变，即白球数为奇数。因此最后剩 下的 2 个球中，白球 1 个，故另一个必为黑球。2. 每次加上的数之和是1+2+3+4=10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数 倍。因此，无论如何操作，黑板上的四个数不可能都是1999。3. 要把三堆石子都取光是不可能的。按操作规则，每次拿出去的石子数总和是 3的倍数，即不改变石子总数被3除的余数。1989+989+89= 3067被3除余1,而三 堆石子取光时总和被3除余0，所以，三堆石子都取光是办不到的。4. 如下图所示，经过两次变换， 10， 11， 12三个数被顺时针移动了两个位置。仿 此，再经过3次这样的两次变换， 10， 11， 12三个数又被顺时针移动了六个位置， 变为下图。同理，经过有限次变换，能将十二个数的顺序变为9， 1， 2， 3， 8，10， 11,12。