2023届大一轮复习 第02练 复数（Word版含解析）

2023届大一轮复习 第02练 复数 一、选择题（共34小题）1. 若复数 z 满足 z+i4+3i=i，则 z= A. 3+3iB. 33iC. 3+3iD. 33i 2. 若复数 z 满足 z1+i=2i，其中 i 为虚数单位，则 z= A. 1iB. 1+iC. 1+iD. 1i 3. 设复数 z 满足 1+iz=i2019，则复数 z 的虚部为 A. 12B. 12C. 12iD. 12i 4. 复数 z=2i1+i（其中 i 是虚数单位），则 z 的共轭复数 z= A. 1232iB. 1232iC. 12+32iD. 12+32i 5. 若 a，b 均为实数，且 a+bi1i=2+i3，则 ab= A. 2B. 2C. 3D. 3 6. 若复数 z=a+2i1iaR 为纯虚数，则 1+z= A. 5B. 5C. 2D. 2 7. 已知 i 是虚数单位，若 2+i=z1i，则 z 的共轭复数 z 对应的点在复平面的 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 8. 在如图所示的复平面内，复数 z1，z2，z3 对应的向量分别是 OA，OB，OC，则复数 z32z1+3z2 对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 9. 在复平面内，O 为原点，向量 OA 对应的复数为 1+2i，若点 A 关于直线 y=x 的对称点为点 B，则向量 OB 对应的复数为 A. 2+iB. 2iC. 1+2iD. 1+2i 10. 若复数 z 满足 1+2iz=34i，则 z 的实部为 A. 1B. 1C. 2D. 2 11. 设复数 z 满足 z2i=1+i（i 为虚数单位），则 z 的共轭复数的虚部为 A. 35B. 35C. 35iD. 35i 12. 已知复数 z=2+aii1i 是纯虚数，其中 a 是实数，则 z 等于 A. 2iB. 2iC. iD. i 13. 若复数 z 满足 z1+i=1+3i，则在复平面内 z 的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 14. 已知复数 z 满足 1+2iz=3+4i，则 z= A. 2B. 5C. 5D. 52 15. 已知复数 z 满足 z22z3=0 的复数 z 的对应点的轨迹是 A. 1 个圆B. 线段C. 2 个点D. 2 个圆 16. 已知 1+ai2i=x+yi（a,x,yR，i 是虚数单位），则 A. x2y=0B. 2x+y3=0C. 2xy5=0D. 2x+y+2=0 17. 设 z1,z2C，则“z1，z2 中至少有一个数是虚数”是“z1z2 是虚数”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 18. 已知 i 是虚数单位，z 是复数，则下列叙述正确的是 A. zz 是纯虚数B. z2n0nZC. 对于任意的 zC，z=zD. 满足 1z=z 的 z 仅有一个 19. 设有下面四个命题： p1：若 z 满足 zC，则 zzR； p2：若虚数 a+biaR,bR 是方程 x3+x2+x+1=0 的根，则 abi 也是方程的根； p3：已知复数 z1，z2，则 z1=z 的充要条件是 z1z2R； p4：若复数 z1z2，则 z1,z2R其中真命题的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 4 20. 已知复数 z=3+2i（i 为虚数单位）是关于 x 的方程 2x2+px+q=0（p，q 为实数）的一个根，则 p+q 的值为 A. 22B. 36C. 38D. 42 21. 设 z=1i1+i+2i，则 z= A. 0B. 12C. 1D. 2 22. 复平面内表示复数 z=i2+i 的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 23. 在复平面内，复数 11i 的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 24. 2i1+2i= A. 1B. 1C. iD. i 25. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 1,2，则 iz= A. 1+2iB. 2+iC. 12iD. 2i 26. 已知 aR，若 a1+a2i（i 为虚数单位）是实数，则 a= A. 1B. 1C. 2D. 2 27. 若复数 z=21i，其中 i 为虚数单位，则 z= A. 1+iB. 1iC. 1+iD. 1i 28. 若 z1+i=1i，则 z= A. 1iB. 1+iC. iD. i 29. 复数 113i 的虚部是 A. 310B. 110C. 110D. 310 30. 1i4= A. 4B. 4C. 4iD. 4i 31. 若 z=1+i，则 z22z= A. 0B. 1C. 2D. 2 32. 若 z=1+2i+i3，则 z= A. 0B. 1C. 2D. 2 33. 设 z=3i1+2i，则 z= A. 2B. 3C. 2D. 1 34. 设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A. (x+1)2+y2=1B. (x1)2+y2=1C. x2+(y1)2=1D. x2+(y+1)2=1 二、填空题（共1小题）35. 设复数 z1，z2 满足 z1=z2=2，z1+z2=3+i，则 z1z2= 答案1. A【解析】由 z+i4+3i=i，得 z=i4+3ii=3+3i2. B【解析】因为复数 z 满足 z1+i=2i，所以 z=2i1+i=1+i3. B【解析】因为 i4=1，所以 i2019=i4504i3=i，所以 z=i1+i=i1i1i1+i=1212i所以 z=12+12i，其虚部为 124. C【解析】因为 z=2i1+i=2i1i1+i1i=13i2=1232i，所以 z=12+32i5. C【解析】因为 a+bi1i=2+i3=2i，所以 a+bi=1i2i=13i，因此 a=1，b=3，则 ab=36. A【解析】根据复数的运算，化简可得 z=a+2i1i=a+2i1+i1i1+i=a+2i1+i1i1+i=a22+2+a2i因为复数 z 为纯虚数，所以 a22=0，解得 a=2，所以 z=2i，则 1+z=1+2i=57. D【解析】由 2+i=z1i，得 z=2+i1i=1+i2+i1i1+i=12+32i，所以 z=1232i，则 z 的共轭复数 z 对应的点的坐标为 12,32，在复平面的第四象限8. C【解析】由题图知 z1=3+2i，z2=2+2i，z3=12i，则 z32z1+3z2=12i10i=15110i，所以其在复平面内对应的点为 15,110，在第三象限9. A【解析】复数 1+2i 对应的点为 A1,2，点 A 关于直线 y=x 的对称点为 B2,1，所以向量 OB 对应的复数为 2+i10. B【解析】由 1+2iz=34i 得 z=34i1+2i=34i12i1+2i12i=310i+8i214i2=510i5=12i，所以复数 z 的实部为 111. B【解析】因为 z2i=1+i，所以 z=1+i2i=1+i2+i2i2+i=1+3i5=15+35i，所以复数 z 的共轭复数为 1535i，所以复数 z 的共轭复数的虚部为 3512. A【解析】z=2+aii1i=a+2i1+i=a+2i1i1+i1i=2a2+a+22i，因为 z 为纯虚数，所以 2a2=0，得 a=2，所以 z=2i13. A【解析】由题得 z=21+i=21i1+i1i=1i，所以 z=1+i，所以在复平面内 z 的共轭复数对应的点为 1,1，在第一象限14. C【解析】因为 1+2iz=3+4i，所以 1+2iz=3+4i，则 z=32+4212+22=515. A【解析】因为 z22z3=0，所以 z=3，z=1（负舍），因此复数 z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以 3 为半径的圆16. C【解析】因为 1+ai2i=a+2+2a1i=x+yi，所以 x=a+2,y=2a1, 消去参数 a 得 y=2x21=2x5，即 2xy5=017. B【解析】若 z1，z2 皆是实数，则 z1z2 一定不是虚数，因此当 z1z2 是虚数时，则“z1，z2 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当 z1，z2 中至少有一个数是虚数，z1z2 不一定是虚数，如 z1=z2=i，即充分性不成立，故选B18. C【解析】当 z=0 时，zz=0R，所以选项A错误；当 z=i，n=1 时，z2n=i2=1z2，则 z1，z2 必为实数，所以是正确的综上正确命题的个数为三个，故选C20. C【解析】将复数 z=3+2i 代入方程 2x2+px+q=0，所以 23+2i2+p3+2i+q=0，即 103p+q+2p24i=0，所以 103p+q=0,2p24=0, 解得 p=12,q=26. 所以 p+q=3821. C【解析】z=1i1+i+2i=1i1i1i1+i+2i=i+2i=i, 则 z=1，故选C22. C【解析】z=i2+i=12i，则表示复数 z=i2+i 的点位于第三象限所以选C23. D24. D【解析】2i1+2i=2i12i1+2i12i=5i5=i25. B【解析】由题意得 z=1+2i，所以 iz=i226. C【解析】因为 a1+a2i 为实数，所以 a2=0，所以 a=227. B【解析】z=21i=21+i1i1+i=1+i，所以 z=1i28. D【解析】因为 z=1i1+i=1i21+i1i=2i2=i，所以 z=i故选：D29. D【解析】因为 z=113i=1+3i13i1+3i=110+310i，所以复数 z=113i 的虚部为 31030. A【解析】1i4=1i22=12i+i22=2i2=431. D【解析】由题意可得：z2=1+i2=2i，则 z22z=2i21+i=2故 z22z=2=2故选：D32. C【解析】因为 z=1+2i+i3=1+2ii=1+i，所以 z=12+12=2故选：C33. C【解析】因为 z=3i1+2i，所以 z=3i12i1+2i12i=1575i，所以 z=152+752=234. C【解析】【分析】由z在复平面内对应的点为(x，y)，可得z=x+yi，然后根据zi=1即可得解 【解析】解：z在复平面内对应的点为(x，y)，z=x+yi，zi=x+(y1)i，zi=x2+(y1)2=1，x2+(y1)2=1，故选：C 【点评】本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基础题35. 23【解析】方法一：设 z1=a+bi,aR,bR，z2=c+di,cR,dR，所以 z1+z2=a+c+b+di=3+i，所以 a+c=3,b+d=1, 又 z1=z2=2，所以 a2+b2=4，c2+d2=4，所以 a+c2+b+d2=a2+c2+b2+d2+2ac+bd=4，所以 ac+bd=2，所以 z1z2=ac+bdi=ac2+bd2=82ac+bd=8+4=23方法二：如图所示，设复数 z1，z2 所对应的点为 Z1，Z2，OP=OZ1+OZ2，由已知 OP=3+1=2=OZ1=OZ2，所以平行四边形 OZ1PZ2 为菱形，且 OPZ1，OPZ2 都是正三角形，所以 Z1OZ2=120，Z1Z22=OZ12+OZ222OZ1OZ2cos120=22+2222212=12，所以 z1z2=Z1Z2=23第8页（共8 页）