平面几何五种模型

平面几何五种模型等积，鸟头，蝶形，相似，共边1等积模型等底等高的2个三角形面积相等2 个三角形高相等，面积比 =底之比2 个三角形底相等，面积比=高之比夹在一组平行线之间的等积变形（方方模型）等积模型是基本应用应是烂熟于心的都是利用面积公式得到的推定比例如下：1 等底等高的 2 个平行四边形面积相等2 三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半3 2 个平行四边形高相等，面积比= 底之比；2 个平行四边形底相等，面积比= 高之比2、鸟头模型（共角定理）鸟头定理：2个三角形中，有一个角相等或互补，这2个三角形叫做 共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两 夹边的乘积之比（夹角2边塞）鸟头定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2 次以上转 换对应才能得到结果。定理用的是乘积比！不是单独的线段比AD X AE记忆上用夹角2边丄土丄最好记，这里等于飞mr鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助 线来过度连接 2 个看起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重 合，所以写出来，仔细看。经由媒介的?ABE，联系了?ADE和大三角形?ABCBE 辅助线很重要！鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而得） 第二种的证明方式将对顶角压回来?ABC内，对顶角性质是相等的， 所以压回来的新?跟?ADE是全等？，再做一条辅助线就能用共角的方 式证明出对角的鸟头定理互补角的鸟头定理证明C写了这几个证明，其实说的目的只有一个：连接小三角形和大三角形过度的那条辅助线，特 别重要！3蝴蝶模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)任蝴蝶 S : S 二 S : S 或者 S X S 二 S X S1 2 4 3 1 3 2 4 AO : oc = (s + S ): (s + s )1 2 4 3S1左上 S4右上【上下比】 厂左下=主右下【上上比】冼=需S1主上+ 34石上=上面h只S2左下+ S3右下=下面枳S1左上+ S 2主下=主面工幵S4右上+ S3右下=右面积上线=匸线左线由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：如面积交叉相乘的乘积相等=亍右下=s X S = S X S1324梯形蝴蝶定理(梯蝴蝶) S : S = a 2 : b 2 f上：下二 a 2: b213 S : S : S : S = a 2: b 2: ab : ab f上：下：左：右二 a2 : b2 : ab: ab1324 s的对应份数为(a + b )2 a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab 有木有T4相似三角形形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改变， 他们都相似。1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且=它们的相似比2 相似三角形的面积比=相似比的平方3 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长=它所对应的底边长的一半 就是三角形任 2边中点连出来的中位线就是第三边长的一半！出题几率：多产生于 2条平行线造成的相似三角形金字塔模型沙漏模型S?ADE：S?ABC=AF2：AG2特别注意！相似三角形的面积比是等于相似比的平方5共边定理燕尾模型、风筝模型、塞瓦定理共边定理说明如图一想知道?PAB和?QAB的面积比？我们就如图二做个高，因为同底（就是共用一个边）所以面积比=髙之比，再想办法偷懒，延长PQ、AB的线相交于M，那么刚学的相似三角形可以派上用场，因为?PDM、?QEM如图三所以PD =PMQEQM共边定理：若直线AB和PQ相交于点M（ 4种情况）则有S PAB二 J图二图四最常应用到的其实是图一，无论在三角形或四边形上我们喜欢用共边2 方的不同三角形面积比来比出线段比。（图形不重叠） 图二的比例图形有重叠，所以线段长度也是重叠比 图三就是“燕尾定理”图形不重叠，所以线段比不重叠。 图四是四边形，做比的三角形有重叠，而比值是四边形的顶：延长线 段QM（切记，唯一对比线段不在图形内的哈）共边定理的证明PAB1， M 点是 PQ 和 AB 延长后的交点2,取N,使得MN长度二ABS PAB3 sabQMPNMQNM?PNM和?QNM是等高?，塞瓦定理（燕尾定理模型补充） 三边比例互乘为 1BEEC-在ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于E、F、D,则 得出=1特殊题：参考共边定理 2图（重叠）可得三角形一边上之点到三边线交点 O 的长度：同边线全长的比值, 3 边比 值相加=1EO + FO + DO _iFBDC