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2021高考总复习江苏专用理科：第八篇?第51讲 立体几何中的向量方法(2)求空间角与距离?根底达标演练+综合创新备选，含解析A级根底达标演练(时间：45分钟总分值：80分)一、填空题(每题5分，共35分)1如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，那么直线NO、AM的位置关系是_ 解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，那么A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，0，那么直线NO、AM的位置关系是异面垂直答案异面垂直2在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，那么sin，的值为_解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，所以sin，.答案3在长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，那么异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_解析建立坐标系如图，那么A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案4(2021全国卷改编)直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，假设AB2，ACBD1，那么CD_.解析如图，建立直角坐标系Dxyz，由条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2解得t.答案5在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，那么GB与EF所成的角为_解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由条件G，B，E，F，cos，0，那么.答案906正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，那么直线BC与平面PAC的夹角的大小为_解析如下图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，那么A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.那么(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，那么cos，n.，n60，直线BC与平面PAC的夹角为906030.答案307(2021全国卷改编)点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，那么面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_解析如图，建立直角坐标系Dxyz，设DA1由条件A(1,0,0)，E，F，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为由令y1，z3，x1，那么n(1,1，3)平面ABC的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案二、解答题(每题15分，共45分)8如图，四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点(1)证明：PEBC；(2)假设APBADB60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值解以H为原点，HA、HB、HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，那么A(1,0,0)，B(0,1,0)(1)证明设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m0，n0)，那么D(0，m,0)，E.可得，(m，1,0)因为00，所以PEBC.(2)由条件及(1)可得m，n1，那么P(0,0,1)，(1,0,1)由(1)知为面PEH的一个向量，因此直线PA与平面PEH所成角的正弦值为.9如下图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC2，CD，ABAC.(1)证明：ADCE；(2)设侧面ABC为等边三角形，求二面角CADE的大小(1)证明取BC中点O，连接AO，那么AOBC由条件AO平面BCDE，如图，建立空间直角坐标系Oxyz，那么A(0,0，t)，D(1，0)C(1,0,0)，E(1，0)，(1，t)(2，0)那么0，因此ADCE.(2)解作CFAD垂足为F，连接EF，那么AD平面CEF从而EFAD那么CFE为二面角CADE的平面角在RtACD中，CF，在等腰ADE中，EF，cosCFE.二面角C-AD-E的余弦值为.10(2021扬州调研)如图，在三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PBBCCA4，点E，F分别是PC，PA的中点，求二面角ABEF的余弦值解如图，以BP所在直线为z轴，BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，那么B(0,0，0)，A(4，4，0)，C(0，4，0)，P(0,0，4)，E(0，2，2)，F(2，2，2)因为PB平面ABC，所以PBAC.又ACCB，所以AC平面PBC.所以ACPC.所以EFPC. 又BEPC，所以PC平面BEF.而(0,4，4)，所以平面BEF的一个法向量n1(0,1，1)设平面ABE的一个法向量n2(x，y，z)，那么取x1，那么平面ABE的一个法向量n2(1，1,1)所以cosn1，n2.由图知二面角ABEF的平面角为锐角所以二面角ABEF的平面角的余弦值为.B级综合创新备选(时间：40分钟总分值：90分)一、填空题(每题5分，共15分)1如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，那么点M 在正方形ABCD内的轨迹为_ 解析以D为原点，DA、DC所在直线分别为x、y轴建系如图：设M(x，y,0)，设正方形边长为a，那么P，C(0，a,0)，那么MC，MP.由MPMC得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为直线yx的一局部答案2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当APC最大时，三棱锥PABC的体积为_解析以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如下图)设B，可得：P(，)再由cos APC可求得当时，APC最大故VPABC11.答案3P是二面角AB棱上的一点，分别在、平面上引射线PM、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_解析不妨设PMa，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0，二面角AB的大小为90.答案90二、解答题(每题15分，共75分)4(2021南京模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，A1A，M是CC1的中点(1)求证：A1BAM；(2)求二面角B AMC的平面角的大小(1)证明以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz，如下图，那么B(1,0,0)，A(0，0)，A1(0，)，M.所以(1，)，.因为10()()()0，所以A1BAM.(2)解因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又BC平面ABC，所以CC1BC.因为ACB90，即BCAC，所以BC平面ACC1，即BC平面AMC.所以是平面AMC的一个法向量，(1,0,0)设n(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，(1，0)，.由得令x，得y，z2.所以n(，2)因为|1，|n|2，所以cos，n，因此二面角B AMC的大小为45.5(2021苏锡常镇扬五市调研)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别在棱AA1和CC1上(含线段端点)(1)如果AEC1F，试证明B，E，D1，F四点共面；(2)在(1)的条件下，是否存在一点E，使得直线A1B和平面BFE所成角等于？如果存在，确定点E的位置；如果不存在，试说明理由(1)证明以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Axyz，设AEGFt. 那么B(1,0,0)，D1(0,1,1)，E(0,0，t)，F(1,1,1t)，其中0t1.那么(1,0，t)，所以BEFD1.所以B，E，D1，F四点共面(2)解(1,0,1)，(1,0，t)，(0,1,1t)，可求平面BFE的法向量n(t，t1,1)，假设直线A1B与平面BFE所成的角等于，那么有sin，即，解得t0，所以点E存在，且坐标为E(0,0,0)，即E在顶点A处6(2021南通调研)在正方体ABCD A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1EEO.(1)假设1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；(2)假设平面CDE平面CD1O，求的值解(1)不妨设正方体的棱长为1，以，为单位正交基底建立如下图的空间直角坐标系D xyz.那么A(1,0,0)，O，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，(1)由题意知E.于是，(0，1,1)由cos，.所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为.(2)设平面CD1O的法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取x11，得y1z11，即m(1,1,1)由D1EEO，那么E，.又设平面CDE的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取x22，得z2，即n(2,0，)因为平面CDE平面CD1O，所以mn0，得2.7(2021常州调研)如图，在四棱锥PABCD中，PB底面ABCD，ABBC，ADBC，ABAD2，CDPD，异面直线PA和CD所成角等于60. (1)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；(2)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角ABED的余弦值为？假设存在，指出点E在棱PA上的位置；假设不存在，说明理由解如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BCa，BPb，那么B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)P(2,2，b)，C(2,2a,0)，CDPD，CP0.442a0，a4.又P(2,0，b)，C(2，2,0)，异面直线PA和CD所成角等于60，即，解得b2.(1)P(0,4，2)，A(0,2,0)，P(2,0，2)设平面PAD的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，那么由得取n1(1,0,1)，sin ，直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.(2)假设存在，设PP，且E(x，y，z)，那么(x，y，z2)(2,0，2)，E(2，0,22)设平面DEB的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，那么由得取n2(1,1，)，又平面ABE的法向量n3(0,1,0)，由cos ，得，解得或2(不合题意)存在这样的E点，E为棱PA上的靠近A的三等分点8(2021山东)如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形 (1)求证：平面PCD平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥PACDE的体积(1)证明在ABC中，因为ABC45，BC4，AB2，所以AC2AB2BC22ABBCcos 458，因此AC2，故BC2AC2AB2，所以BAC90.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC，又PA，AC平面PAC，且PAACA，所以CD平面PAC.又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.(2)解法一因为PAB是等腰三角形，所以PAAB2，因此PBABCD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离，由于平面PCD平面PAC，在RtPAC中，PA2，AC2，所以PC4，故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离所以B到平面PCD的距离为h2.设直线PB与平面PCD所成的角为，那么sin .又，所以.法二由(1)知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如下图的空间直角坐标系，由于PAB是等腰三角形，所以PAAB2.又AC2， 因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0,0,2)因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形因为AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，所以D(，2，0)因此(0，2，2)，(，0,0)设m(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，那么m0，m0，解得x0，yz，取y1，得m(0,1,1)又(2，0,2)，设表示向量与平面PCD的法向量m所成的角，那么cos ，所以，因此直线PB与平面PCD所成的角为.(3)解因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形因为AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，EDACAEcos 4522，所以S四边形ACDE 3.又PA平面ABCDE，所以VPACDE322.高效能学习的八大学习方法方法一：目 标 激 励法 成就天才的必备素质就是远大志向，明确目标，勤奋刻苦，持之以恒，百折不挠。作为一名学生，要想在学习的道路上一路高歌，战胜各科学习困难，在考试中脱颖而出，就必须树立远大的理想，制定明确的学习目标和切实可行的方案，在日常学习中勤奋苦学，孜孜不倦，持之以恒，面对学习中上的挫折，百折不挠，勇往直前，并掌握一套正确的学习方法，科学合理地安排好自己的时间，只有这样，才能到达成功的理想此岸。 方法二：统筹方案学习法正像建造楼房先要有图纸，打仗先要有部署一样，成功有效的学习也必须制定好一套切实可行的方案。所谓统筹方案学习法，就是学习者为到达一定的学习目标，根据主客观条件而制订学习步骤的一种学习方法。统筹方案学习法包括四个方面：一是学习目标，二是学习内容，三是时间安排，四是保证落实的措施。只有综合考虑这四个方面，才能订出切实可行的规划。同时方案要因人而异，因事而异，并根据执行情况，适当及时调整。方法三：兴趣引导法使学习兴趣化，是获取成功的特别重要的法那么。有的同学虽然很努力地学习，但是却对学习没有兴趣。但凡这种情况，学习效率都差得很，往往是事倍功半，效率不高。所以，千万不要只知道积极地去学，光临着学，傻学，而要想方法培养自己的兴趣。只有将学习积极性转化为学习兴趣之后，你才有可能实现学习效率的飞跃。方法四：高效率学习法 作为学生，谁能够高效地管理时间，科学地利用时间，抓住时间的脉搏，谁就能创造学业的成功，成就人生的辉煌。爱时间就是爱生命，爱生命的每一局部。谁把握住时间，谁就拥有一切。时间就是生命。“一个人一生只有三天：昨天、今天和明天。昨天已经过去，永不复返；今天已经和你在一起，但很快就会过去；明天就要到来，但也会消失。抓紧时间吧，一生只有三天！现在是你们人生的黄金时期，也是学习知识、吸取知识最有效率的时期，你们应善于管理时间珍惜时间，不虚度年华，使生命失去原本的灿烂光荣。方法五：刨根质疑学习法 学习的过程是由一个“无疑有疑解疑无疑不断循环往复的过程。学须善思，思后存疑，疑后问，问后知。所以，我们在日常生活和学习过程中，要善于思考，培养“凡事问一个为什么的习惯。作为一个学生，我们要善于发现问题，敢于向权威挑战，同时又要虚心求教，不耻下问，不懂的问题多问老师，向同学请教。积极参加各种有关学习的交谈、讨论、学习兴趣小组，创设一个与别人交流的良好平台，合作解决问题。方法六：笔 记 学 习法笔墨学习法又称笔记法，是利用记笔记学习的一种方法。在日常的读书、听课、复习的时候，对有一定价值和意义的材料、知识点、问题迅速及时地标记出来，记下来，然后整理成笔记，这对于稳固知识，积累材料，提高学习成绩都具有十分重要的意义。方法七：全 面 预 习法打无准备的仗必输，没有预习的功课一定不会好。要想有一个高效的课堂学习，必须牢牢抓住课前预习这个关键环节。常言道：“凡事预那么立，不预那么废。“预，即准备。预习就是在教师讲课之前，学生阅读教材及相关的内容，为新课学习做好必要的知识准备。我们在预习的时候，要大体了解书本内容，思考重点，发现难点，注意方法，增强预习的主动性、针对性，培养良好的预习习惯。方法八：高 效 听 课法 一个人的学生时代，大局部的学习时间是在课堂中度过的。在短短的十几年时间里每个学生几乎接受和继承了人类几千年所积累的知识中最根本、最精华的局部，由此可见课堂学习的重要性。一个学生学习的好坏，成绩的上下，关键在于课堂学习。充分利用每一节课的45分钟，高效学习，对提高学习质量将产生巨大的影响。专家认为，要想听好一节课，课前必须从身心、知识、物质上做好充分准备，在上课时力求做到“五到，即耳到、眼到、口到、心到、手到；专心致志，勤于思考，思维与老师合拍。同时，上课时勇于发言，积极参加讨论，有时机多动手、多实践，做好笔记，才能有效地把握课堂，把课堂变成自己学习的主战场。
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