第六讲韦达定理

例、解下列一元二次方程并完成填空：例、解下列一元二次方程并完成填空：一元二次方程两根两根和x1+x2两根积x1x2x1x2x2-2x=0 x2-7x+12=02x2+3x-2=034127-1-221-232(3)2320 xx2(1)20 xx2(2)7120 xx0220一元二次方程一元二次方程 20(0)axbxca韦达定理：韦达定理：一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系1212,bcxxx xaa 12,x x20(0)axbxca如果一元二次方程如果一元二次方程 的两根分别是的两根分别是，那么那么.注：能用韦达定理的前提条件为注：能用韦达定理的前提条件为0 0韦达定理的证明：韦达定理的证明：aacbbx2421aacbbx2422x1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22ab=-x1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac20 xpxq12,x x1212,xxpx xq 如果方程如果方程的两根分别是的两根分别是，那么，那么推论推论1 1、21212()0 xxxxx x以两个数以两个数 为根的一元二次方程为根的一元二次方程(二次项系数为二次项系数为1)1)是是推论推论2 2、12,x x特别地，当特别地，当 a=1 时时例例1、已知方程、已知方程2560 xkx 的一个根是的一个根是2，求它的另一个根及求它的另一个根及 k 的值。的值。例例2 2、设、设12,x x22310 xx 是方程是方程 的两个根，的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值利用根与系数的关系，求下列各式的值12(1)(1)(1)xx1211(2)xx12(3)xxx222(2)40 xmxmm例例3 3、已知关于、已知关于的方程的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大两个根的积大2121，求，求的值的值 。240 xxaxa例例4 4、若关于、若关于的一元二次方程的一元二次方程的一根大于零，另一根小于零，求实数的一根大于零，另一根小于零，求实数 的取值的取值范围。范围。韦达定理：韦达定理：1212,bcxxx xaa 12,x x20(0)axbxca如果一元二次方程如果一元二次方程 的两根分别是的两根分别是，那么那么20 xpxq12,x x1212,xxpx xq 如果方程如果方程的两根分别是的两根分别是，那么，那么推论推论1 1、21212()0 xxxxx x以两个数以两个数 为根的一元二次方程为根的一元二次方程(二次项系数为二次项系数为1)1)是是推论推论2 2、12,x x一元二次方程一元二次方程 根的根的判别式判别式 20(0)axbxca通常用符号通常用符号“”来表示来表示 当当 0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；24bac24bac 即即 当当 0 0时，方程没有实数根。时，方程没有实数根。当当 0 0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；说出下列各方程的两根之和与两根之积：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-2=02、2y2 4y+=03、2t2 6t=04、3p2 =421x1+x2=2x1x2=-2y1+y2=2t1+t2=3p1+p2=0y1y2=t1t2=0p1p2=-4134