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第五章相似矩阵与二次型5-1方阵的特征值与特征向量1. 、填空题已知四阶方阵A的特征值为0,1,1,2,贝0|AaEML1)讨山-2)设0是矩阵A二0的特征值，则8Q2已知三阶方阵A的特征值为1,-1,2,则B二3A_2A的特征值为1,5,8;|A|二_-2A的对角元之和为2若0是方阵A的特征值，则A不可逆。2. A是n阶方阵，Ad,则AA拍勺特征值是d,d,，d(共n个):、选择题(A)(B)(C)(D)2.设a几2为n阶矩阵A的特征值，-1,2的特征向量，贝U(D)匕2必成比例J必不成比例r,匕仑必成比例匕I必不成比1?2是可逆矩阵A、2；B、-23.零为方阵A的特征值是A、充分条件；匕2分别是A的属于特征的一个特征值，则A有一个特征值等于2;A不可逆的C、必要条件；无关条件;D1.A解：A的特征多项式为A-AE二故A的特征值为二3,二-1?当二3时，解方程（A3E）x二0.故kp2(kH0)是、乜=4二仑的全部特征向量并求a对应的特征值.a的特征四、设a为n维非零列向量，证明：a是矩阵证明：因为aaTa=a(sTa)=(sTa)a,所以，a是矩阵aa的特征向量，a对应的特征值为a。1. 五、设A为门阶方阵，当AE时，求A的特征值；当A=0时，求A的特征值，其中ni为正整数.证明：1.设A的特征值为A,贝yAx二AX,XHO,所以，A2X二A(Ax)=A(AX)=h(Ax)=k2x,xHO又因为A2二E,所以，x二A2X,XHO-A?二1二A二土即当A2二E时，A的特征值为1或-1。2.设A的特征值为A,贝UAX=AX,XHO,所以，AX=A4(A)二A2Gx)二AAwx又因为A=0,所以，0=A力x,xH0X加即当使=0时，A的特征值为05-2相似矩阵5-3对称矩阵的相似矩阵、填空题1. 若E是矩阵A的特征向量，贝UP？是PJAP的特征向量.2.若A,B相似，则1?10?120(T2003.已知A一001与B一0y0相似，则X一001XJ90-bk个相应于勺线性无关的特征4.若A是A的k重特征根，则必有向量不对(对，不对)；如果A是实不对).对称矩阵，则结论对(对，二、选择题n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是互不相同的特征值；(C)线性无关的特征向量；方阵A与B相似，则必有(A)几E-A二AE-B(C)A与B有相同的特征向量(A) A为n阶实对称矩阵，则(A)IAAOA必有n个两两正交的特征向量；A的特征值均为实数.0、三、设A1,试求一个可逆矩阵P使得PA朋对角阵，并求上解：先求A的特征值和特征向量2-A二(1-Q2(3-QACD)属于不同特征值的特征向量必定正交；当=3时，解方程(A3E)x二0.-200、r100,A-3E0-1：0V1-111-b1。0O，则q即为对应于打=3的特征向量.解方程(A-E)x二0.令巴2013=-1则为几2二舄二1的特征向量.ro010巾10100、10001/21/2(P|E)10-1010010100(101001J(0010-1/21/2J显然,线性无关.令P二(亦2上3)=(1ro1/1/2P-?1。一1/21/2J3A二PApJAXpiAAPPJAP=A一1+3(或：00(Ti000A-E011000J(0,fQ、二1厂2,P2诂丁0一-1M/V亿令P二(Pl,P2,P3)，则P二F所以，。四、三阶实对称矩阵A的特征值为0,2,2,又相应于特征值。的特征向量为匕：二，求出相应于2的全部特征向量.解：因为A为三阶实对称矩阵，故且A有三个线性无关的特征向量，对应于不已知对应于打=0的特征向量为Pi,设对应向量分另U取P2二11程组1TX,P3Z2,P2f-2)=-1-求矩阵、A.则P3即：.同特征值的特征向是两两正交P2,量为P2,P3,贝yP192=0,Pfp3=0?即P2,P3为齐次线性方=0的两个线性无关的解.由PfX=0得为+X2+X3=0令匕=k2pk3P3(k2,(2、=-2,P3JJh不全为零)为对应于兀羽舄二2的全部特征向量五、设三阶方阵A的特征值为二1/垃二0,舄二-1,对应的特征解：因为JS,故A可对角化，且兀舄-3所对应的特征向量Pl,P2,P3线性无关.由特征值定义,PApi=,Ap厂%P2,Ap3=舄3-APl,P2,P3)=P,入2P2舄P3)APl,P2,P3)二(Pl,P2,P3)A=PAPJ(P|E)=0,)=Y+2YVX2,b(A)+c0、单项f(X,-1+V20-1+2X1X3+2X(BDaa0C3O0(B)0Lr2(C)1?设A-1(D)0005010不是2.二次型f-1LTAv活-Y八宦匚刑盘亚攵彳生具了D)o(B)负惯性指数为0(D)A合同于单位阵E为正定二次型2、rX20!012.问题可转化为求正交矩阵P,将A化为对角形3x；+4X2X3+3=(Xl,X2,X3)火_oloo2JT-X3x,为02J3X2X32、_z瞄遮！倾廨,XXs-PX邮姻Sj0曝久故孕玺f（X】，X2,X3）所对应的矩阵A41-A0A-AE=03-A00)100Io坦-，则J即为对应于占的特征向量.01/72.1/42)d令P二(PI,p2,P3)，则PlAP二PAP二222故f(Xi,X2,Xs)的标准形为y+y2+5ys.四、已知A,B都是n阶正定矩阵，求证A+B的特征值全部大于零.证明：因为A,B都为n阶正定矩阵，则对任意n维列向量xHO,有XrAXAD,XrBKA3=XT(A+B)XAO即A+B是正定矩阵.故A+B的特征值全部大于零.五、已知A为n阶正定矩阵，证明|A+E|1.证明：因为A为n阶正定矩阵，所以A的所有特征值：歹U,s,1iI,都大于零。设A+E的特征值为气尸2,III,而A+E-气EHA-(K一1)E,所以入广气一1,则片ji+10,所以|A+EF+211巴Io
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