积分思想的发展及其应用

苏州科技学院本科生毕业设计积分思想的发展及其应用摘 要作为近代数学的重要组成部分，积分论被广泛地应用于自然科学的各个领域。本文将从积分的萌芽开始叙述，到积分概念的产生，再到积分史上最重要的两个积分即是黎曼积分和勒贝格积分。黎曼的（R）积分将积分带到了一个更广阔的空间，而勒贝格的（L）积分更是完善了（R）积分，使得积分体系更完整更正确。本文将重点介绍介绍黎曼积分的产生、发展及完善的过程，勒贝格积分的产生过程，它们的应用以及之间的关系。关键词：积分 黎曼积分 勒贝格积分Development and application of integral thoughtAbstractAs an important part of modern mathematics, integral theory is widely used in various fields of natural science. This paper will start from how the integral sprout, produce to the integral concept, and then to the definition of Riemann integral and the Lebesgue integral which are the most important integral history. Riemann (R) integral expands integral to a broader space, and Lebesgue (L) integral is a perfecter integral such that the integral system more complete and correct. This paper will focus on the introduction to the process of generation, development and improvement of Lebesgue integral and Riemann integral. We also introduce the relationship between them and their application.Keywords Riemann integral; Lebesgue integral; integral目 录第1章 绪论11.1 引言1第2章 积分的发展简史12.1 积分产生的背景12.2 简述积分的发展2第3章 黎曼积分33.1 黎曼积分产生的背景33.1.1 傅立叶级数33.1.2 狄利克雷函数43.2黎曼积分的发展过程53.2.1黎曼积分的产生53.2.2黎曼积分的发展及完善733黎曼积分的应用123.3.1 定积分的可积性123.3.2 二重积分可积性153.3.3元素法求解解实际问题17第4章 勒贝格积分184.1 勒贝格积分的产生过程184.2 几个重要定理214.3 勒贝格积分与黎曼积分234.4勒贝格积分的应用25结论26致 谢27参 考 文 献28附录A 译文29附录B 外文参考文献（原文）3846 第1章 绪论1.1 引言在积分的发展史上，对任意封闭对的平面曲线围成图形面积的计算，和任意封闭的空间曲面包围立体图形体积的计算，是产生积分概念的主要途径之一。计算面积和体积可以追溯到原始农业社会。根据我国甲骨文记载，在大约3000年前的殷代，就把耕种土地分成方形小块以求面积，今之“田”字就是从甲骨文中有关象形文字演化而来。各种形状地面积的计算被总结在我国古典数学名著九章算术一书中，例如：“方田”（正方形或矩形）、“圭田”（等腰三角形）、“邪田”（直角梯形）、“圆田”（圆形）等。积分概念就是在初等几何计算面积和体积的基础上形成的。积分作为近代数学的重要组成部分，积分论被广泛地应用于自然科学的各个领域。而在积分思想发展史上不得不说的两人就是黎曼和勒贝格。黎曼的（R）积分将积分带到了一个更广阔的空间，而勒贝格的（L）积分更是完善了（R）积分，使得积分体系更完整更正确。本文主要介绍黎曼积分和勒贝格积分的产生过程、应用以及他们之间的关系。第2章 积分的发展简史2.1 积分产生的背景积分思想产生于十七世纪，其创立是为了处理当时的主要问题：第一种类型的问题是已知物体移动的距离表示时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于：17世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。第二种类型的问题是求曲面的切线。这个问题的重要性来源于好几方面，它是纯几何的问题，而且对于科学应用有巨大的重要性。实际上，“切线”本身的意义也是没有解决的问题。对于圆锥曲线，把切线定义为和曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线就足够了。这个定义古希腊人曾经用过，但对于17世纪所用的较复杂的曲线，它就不适用了。第三种类型的问题是求函数的最大值和最小值。炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。一个“实际”问题是求获得最大射程的发射角。另外研究行星的运动也涉及最大值和最小值的问题，例如求行星离开太阳的最远和最近的距离。第四种类型的问题是求曲线长（例如，行星在已知时期中移动的距离）；曲面围成的面积；曲面围成的体积；物体的重心；一个体积相当大的物体（例如行星）作用于另一物体上的引力。2.2 简述积分的发展为了解决上述的几个问题，经过许多数学家的研究，最后，牛顿和莱布尼茨这两位先驱在前人工作的基础上创立了微分学和积分学，并且发现它们是一种对立统一的方法（这种对立统一表现为微积分“基本定理”），再经过伯努利兄弟和欧拉的改进和提高，上升到了分析学的高度。早期的微积分由于缺乏可靠地基础，很快陷入深重的危机之中。随后登上数学历史舞台的数学大师柯西、黎曼、刘维尔和维尔斯特拉斯挽危难于既倒，赋予了微积分特别的严格性和精确性。然而随着应用的扩大和深化，各种复杂和深奥的问题层出不穷，不断在分析学界引起混乱，导致微积分再度走向危机。到这时，数学家们才发现，严格性和精确性其实只解决了逻辑推理本身这个基础问题，而逻辑推理所依存的理论基础才是更根本也更难解决的问题。最终，当现代数学天才康托尔、沃尔泰拉、贝尔和勒贝格把严格性与精确性同集合论与艰深的实数理论结合起来以后，创建微积分的过程才终于到达终点。积分论的起源至今已有300多年的历史了。作为近代数学的重要组成部分，积分论被广泛地应用于自然科学的各个领域。目前，我们所熟悉的积分主要是由德国数学家黎曼所提出的（R）积分和由法国数学家勒贝格所构造的(L)积分。下面我重点讨论黎曼积分和勒贝格积分。 第3章 黎曼积分3.1 黎曼积分产生的背景3.1.1 傅立叶级数十九世纪，函数在分析学中占据了举足轻重的位置，当函数大家族繁衍得越来越复杂和越来越奇特时，数学家们意识到他们只不过抓到了一只函数概念老虎的尾巴。函数演义中的关键人物傅里叶。他开始相信定义在a和a之间的任何函数（无论它代表一条弦的位置，还是一根杆中的热分布，甚至某种完全“任意的”东西）都可以表示成我们现在所谓的傅里叶级数： 其中系数和由 和 （1）给定。为了不使他的读者对这种表示的普遍性程度产生错觉，傅里叶解释他的结果适用于“一个完全任意的函数，也就是说，一组连续的已知值，不论它们是否服从某个共同的定律”。他接着将函数y=f(x)的值描述为一个接一个的值，它们“以任何可能出现的方式出现，并且其中的每个值如同一个单一个的量给出”。这个解释扩展了“已故欧拉”对于函数的见解：函数可以在定义域的任何点上随意取值。在另一方面，并不清楚（1）中的公式是否总是成立。系数ak和bk为积分式，但是，我们怎么知道这些积分对一般函数都是有意义的？傅里叶在这里至少隐讳地提出了定积分的存在问题，或者按现代的术语，函数是否可积的问题。如前所述，傅里叶错误地夸大了他的例子，因为不是所有函数都可以表示成傅里叶级数，也不是所有函数都可以按式（1）的需求积分。此外，他同以前的欧拉一样，实际上把自己限制在一些很常规的和具备良好特性的函数例子上。若是要理解一个真正“任意的”函数概念，那么必须有人给出一个这样的函数。3.1.2 狄利克雷函数此人就是狄利克雷，他是一位才华横溢的数学家。狄利克雷在他的论文“论三角级数的收敛性表示一个介于已知界限之间的任意函数”讨论了函数的可表示性问题，用像式（1）那样的一个傅里叶级数表示函数，以及其中隐含的决定系数的那些积分是否存在的问题。回忆一下，柯西是对于定义在区间，上的连续函数定义他的积分的。用我们现在所谓的“反常积分”，柯西将其思想扩展到在区间，上具有有限个不连续点的函数。例如，若函数f在区间，内除了一个点r外连续，那么柯西将积分定义为其中假设所有的极限存在。如果f在不连续，我们将积分类似地定义为然而，如果函数在区间，上具有无限多不连续点，柯西积分就不适用了。狄利克雷提出可以用一种新的包容性更强的积分理论来处理此类函数，这种理论同“无穷小量分析的基本原理”相关。他从来没有在这个方面提出过什么思想，也从来没有在这个方面提出过什么思想，也从来没有指出过如何对高度不连续的函数积分。但是，他给出了一个说明这种情况存在例子。“假定当自变量x取有理数时，函数(x)等于一个确定的常数c，当自变量x取无理数时，函数(x)等于另一个确定的常数d。”这就是我们现在所说的狄利克雷函数，它可简单地表示成 （2）由于在数轴上无理数与有理数完全掺合在一起在任意两个有理数之间必然存在一个无理数，反之亦然所以，不可能画出这个函数的图形来。因此当我们从任何区间上移动时，不论这个区间多么小，的图形总是在c和d之间无限地来回跳变。这样的情况是不能画出图形的，甚至是无法想象的。更糟糕的是，根本不存在连续点。他的例子显示了柯西方法对积分的不足之处。也许，应该重建积分的定义，以免将数学家们仅仅局限于对于对连续函数的积分或者对只有有限多个不连续点的函数的积分。正是狄利克雷的优秀学生黎曼接受了这个挑战。黎曼试图找到不需要预先假设函数必须如何连续就定义积分的途径。使可积性同连续性分离是一种大胆的、极有创见的思想。3.2黎曼积分的发展过程3.2.1黎曼积分的产生黎曼在1854年为获得德国大学的教授职位而写的“大学执教资格讲演”这篇高水平的学术论文中，把这个问题简单地陈述为：“如何理解”他假定函数f在闭区间a,，b是有界的，由此提出他的答案。首先，他在区间a,，b内取任意一系列值。 这样一个细分现在称之为划分。他把得到的子区间的长度用表示。下一步，黎曼令1，2，n为0和1之间的一系列值，下一步，黎曼令1，2，n为0和1之间的一系列值，这样，对每一个k，数位于和之间。换句话说，落在子区间内。然后，他引入这正是我们现在所称的黎曼和。如图（2）所示它是不同子区间上的所有矩形面积的总和，其中第k个矩形的底为，高为。y=f(x)ab图（2）至此，黎曼就给出他的关键定义：如果这个和具有这样的性质：无论怎样选择和，当趋近无穷小时它无限地接近一个固定值A，那么，我们称这个固定值为。如果这个和不具备这样的性质，那么没有意义。这是黎曼积分的首次出现，而现在在任何微积分学教程中，它都占据着突出的地位。很明显，这个定义没有对连续性作任何假设。与柯西不同，对黎曼来说，连续性并不成为一个问题。3.2.2黎曼积分的发展及完善回到函数和划分，黎曼引入D1作为函数在和之间的“最大振幅”。D1是在这个区间内函数的最大值和最小值之差。同样，是函数在子区间，上最大振幅，同时他令D为函数在整个区间上的最大值与最小值之差。显然DkD，因为函数在子区间上的振幅不可能超过它在整个区间上的振幅。在此黎曼引入了新的和 （3）如下图（3）所示，R是函数在每个子区间上最大值和最小值之差所确定的面积。下一步，他令d0为一个正数，并且考察上所有满足maxd的划分。就是说，他考察那些最宽子区间的长度为d或者小于d的划分。用现代术语就是：我们把一个划分的范数定义为划分的最大子区间的宽度，所以，黎曼在这里考察范数小于或等于d的所有划分。然后他引入=为式（3）中范数小于或等于d的划分所产生的所有和R的“最大值”。D1aD2D3D4DnX1X2X3X4xnby=f(x)图（3）对黎曼来说，显然，当且仅当时，积分存在。在几何学上，这意味着当我们越来越细分区间时，图（3）中的最大阴影区域的面积将减小到零。然后，他提出了关键问题：“在何种情况下函数可以积分，在何种情况下函数不能积分？”这就是我们现在所说的黎曼可积性条件。首先，他令0为一个正数。对于一给定的划分，他在子区间中考察函数振幅大于的那些子区间。为了说明，我们参考图（4），其中显示出函数、它的带阴影的那些矩形以及位于左侧的一个值。比较和各个矩形的高，看出只有两个子区间和的振幅超过。我们把这两个子区间称为“A型”子区间，把其他子区间称为“B型”子区间。在图（4）中，“B型”子区间为abX1X5X3X4X2图（4）y=f(x)作为最后一个约定，黎曼令为对于给定的所有A型子区间的总长度，即。对我们的例子来说，。以这个表示法作后盾，黎曼很容易证明有界函数在上可积的一个充分必要条件。黎曼可积性条件 存在的充分必要条件是，对于任意的0，A型子区间的总长度在时可以达到任意小。这表明为可积的充分必要条件是：对于无论怎么小的，我们可以找到这样一个范数，对于上具有同样小或更小范数的所有划分来说，函数振幅大于的子区间的总长度是微不足道的。我们分别考察黎曼条件的必要性和充分性的证明。必要性 如果存在并取固定的值0，那么=0。证明 从范数d不确定的一个划分开始，考察。他注意到R，这是因为右端的和包括所有A型子区间的项而遗漏其他的项。但是，对于每一个A型子区间，的振幅超过，这自然就是怎样首先确定A型子区间。所以回忆的定义，我们得到R= 另一方面，由于是范数小于或等于的所有划分的最大值，所以。将两个不等式结合起来，得到R。忽略中间项，并除以，推出 0 （4）回忆在证明必要时，假设了函数是可积的，而这意味着当时0。由于为固定值，所以0。由式（4）可知，当趋近零时，的值也必定趋近零。这正是黎曼寻求的结论：函数振幅大于的子区间的总长度的值，正如他写的那样，可以达到“同的相应值那样的任意小”。这正是成功的一半。下面要证明反过来的结论。充分性 如果对任意0，我们有=0，那么存在。证明 对于任意0，我们有=+ （5）在这里依据区间为A型（其中函数振幅大于）或者B型（其中振幅不大于）简单地将和分成两部分。然后，分别处理这两个和式。对于第一个和式，回到以前的结论，其中D是函数在整个区间上的振幅。因此 （6）对于第二个和式，我们知道在每个B型子区间有，所以= （7）其实我们用全体子区间的长度之和这个较大的值代替了B型子区间的长度之和。把式（5）、式（6）、式（7）汇集在一起，得到不等式 =+ (8)由于式（8）对于任意的正数成立，所以可以固定一个值，使达到我们希望的那样小。对于这个固定的，回忆假设，当时也趋近零。于是，我们可以选择使得也为任意小。由式（8）可知，R对应的值可以达到任意小，所有的最大值同样可以任意小。这意味着=0，由此说明函数在区间上是可积的。这个复杂的论证过程取自黎曼1854年的论文。虽然符号显得复杂，而基本思想却很简单：为了使一个函数具有黎曼积分，它的振幅必须收到限制。跳变过于频繁过于剧烈的函数是不可积的。按照几何的观点，在这样一种函数图形的下方看起来没有可以定义的面积。黎曼可积性条件是证明有界函数是否可积的方便工具。再回过头来考察式（2）的狄利克雷函数。为明确起见，我们取c=1和d=0，并将我们的注意力集中在单位区间0，1上。于是，我们有问题在于，根据黎曼的定义，积分是否存在。正如我们所看到的那样，可积性条件将这个问题转换成涉及函数振幅的问题。假设=1/2，考察任意划分和所产生的任意一个子区间。由于不管这个子区间多么狭窄，总会包含无限多有理数和无限多无理数，所以在区间上的振幅为1-0=11/2=。由此可知，划分的每一个子区间都属于A型子区间。所以s(1/2)= =1，为区间0，1的总长度。简而言之，对于0，1的任何划分，都有s(1/2)=1。为使是可积的黎曼条件要求，s(1/2)= 可以通过选择区间0，1的适当划分而达到我们希望的那样小。但是，正如我们所看到的，无论怎样拼凑划分，s(1/2)的值都等于1.因此，我们确实无法令其小于某个数，例如0.01。由于不满足可积性条件，这个函数是不可积的，即没有意义。3.3黎曼积分的应用通过对黎曼积分的介绍，我们可以看出黎曼积分所讨论的积分是通过将区间闭区间进行一个分割，然后求子区间的近似面积，再求和，最后求极限得到积分的。这个求积分方法应用广泛，下面介绍几个利用“分割，近似，求和，取极限”的方法来解决的问题。3.3.1 定积分的可积性函数在上可积是指：当区间的分划无限分细时，积分和（黎曼和）有确定的极限。详细的说：若对的任一划分及任意（=1，2，）作积分和，当=（）0时，极限I= （A）存在，则称在上可积。其中(A)式用表述，即，当时，有 （B）由于直接应用定义判断可积性，要克服两重困难，一是分划T的任意性，二是选取的任意性，为了使问题简化，引入Darboux和的概念。记，则与分别称为的Darboux上和与Darboux下和。对于Darboux和有如下五条重要性质（1）对于任意分划T及的任意选法，恒有（2）当分划加细（即增加分点）时，Darboux下和不会减小，Darboux上和不会增大。（3）对任意二分划，恒有。（4）称为在的上积分。称为在的下积分。上、下积分与Darboux和有关系。（5），。在此基础上，我们获得如下可积充要条件。定理1 在上可积的充要条件是=0， （C）其中=为在上的振幅。（C）式用表述，即，当时，有0由此，利用Darboux和的性质（4）、（5），直接可看出有定理2 在上可积，充要条件是下面举例说明定积分可积性的应用例1 设，在上连续，且时=。试用定义法直接证明在可积，且=-证 0，要（B）式成立，即要 （1）对任意分划，将-改写为-= （应用微分中值定理） = =，于是（1）式右端= （）因此，问题只要0，分划T，使得0，分划T，使得0-=由Darboux和性质（4），故0-0的任意性，知=，所以在上可积。3.3.2 二重积分可积性二重积分跟（一重）定积分一样被定义为积分和的极限。根据可积的判别定理，若在有界闭区域D上有界。只要证明：0，分划T，使得0，勒贝格设想区间的一个由点构成的划分，其中相邻分点之间的最大间隔小于。y=f(x)图（7）用沿轴的这样一个划分，建立“勒贝格和”。像黎曼和一样，将用面积已知的一些区域逼近曲线下方的区域，不过可以不用要求这些区域一定为矩形。相反，考虑沿用轴的子区间，并且注意由定义的的子集。这个子集就是图（7）中在轴上标出的部分。这里，是三个子区间的并集，但是它的结构可能非常复杂，这同求积分的函数有关。在黎曼方法的相似步骤中，我们是构造一个矩形，它的高是函数值的近似值，宽是相应子区间的长度，而其面积为这两个值的乘积。对于勒贝格积分，我们用作为函数在集合上的近似值，但是如果不是区间的情形，如何去确定它的长度呢？毫不奇怪，答案是用集合的测度扮演这种长度的角色。我们用高乘“长度”得到作为黎曼和中窄小矩形之一的相应面积。在函数值域的所有子区间上对这些面积求和，我们得到一个勒贝格和，在这个级数中我们令最后一项为。最后，勒贝格令，致使-的最大值也趋近零。如果这过极限过程产生一个唯一的值，我们就说在上是勒贝格可积的，并且定义=在连续进行讨论之前，我们必须说明两个问题。第一，很明显，集合，把区间划分成若干子区间，不过不一定是子区间。第二，我们假定是可测的，知集合，和都是可测集，这个假定蕴含每个以及是可测集，所以我们完全可以讨论关于的问题。至此，一切都井然有序。勒贝格在为一般读者编写的一本书中，用一个比喻来对比黎曼的方法与他自己的方法。他想象一位零售商，在一天终结时想要汇总营业收入。对于这位店主来说，一种选择是“按照随机顺序计算到手的现金和账单”。勒贝格把这样一位零售商称为“缺乏系统观点的”人，他依次累加收集起来的款项：1美元，10美分，25美分，另1美元，10美分如此等等。这种方法犹如当他们从左至右越过区间时提取遇到的函数值。对于黎曼积分，这个过程是由定义域中的值“驱动”的，而值域中的值被搁置一旁。勒贝格接着指出，如果不这样做，店主在结账时不考虑收到每笔款项，而代之以按款项的面值分组，难道不是更为可取吗？例如，可能共计收到10美分12笔，25美分30笔，1美元50笔，等等。这样，计算一天的收入将变得很简单：用每种币值的数量（对应于的测度）乘以币值（对应于函数值），然而对结果求和。这样情况下，正如勒贝格积分的情形，其过程是由值域中的函数值驱动的，而划分定义域的被搁置一旁。勒贝格承认，对于商业经营中涉及的有限的量，这两种方法产生同样的结果。“但是对于我们必须求数目无限的极微小的量之和而言，”他写道，“这两种方法之间存在着巨大差别。”为了强调这种差别，他指出我们的积分的构造定义，同黎曼积分的定义十分相似。不过，黎曼是把变量改变的区间剖分成微小的子区间，而我们则是剖分函数改变的区间。4.2 几个重要定理为了说明自己并非漫无目标地追求定义，勒贝格证明了关于他的新积分的若干定理。在这里我就不证明这几个定理了。定理1 如果是区间上的有界黎曼可积函数，那么是勒贝格可积的，并且在两种情况下具有相同的积分值。这个结果是令人欣慰的，因为它说明勒贝格积分保存了黎曼积分的精华定理2 如果是区间上的有界可测函数，那么它的勒贝格积分存在。我们从这个定理看出勒贝格思想的巨大力量，因为可测函数族包含的函数远远多于黎曼可积函数（即所有那些几乎处处连续的函数）族。简而言之，勒贝格可积的函数多于黎曼可积的函数。定理1和定理2表明，勒贝格名副其实地扩充了过去的理论。例如，我们知道狄利克雷函数在区间上是有界的和可测的。因此，尽管事实上积分在黎曼的理论下是没有意义的，然而作为勒贝格积分确是存在的。更为可取之处在于，这个积分值是很容易计算的。我们从值域的任意划分着手。根据狄利克雷函数的性质，为区间内的有理数集合，为区间内的无理数集合对于这个随意的划分，勒贝格和为= = = =0正是由于对于任意划分这个勒贝格和为零，所以，所有这样的极限也为零。也就是说，=0。狄利克雷函数是处处不连续的这一事实，使它成为黎曼不可积的，但是这样普遍的不连续性对于勒贝格积分是无关紧要的。这种结果无可争辩地说明数学上取得的巨大进展。定理3 如果和是区间上的有界可测函数，并且几乎处处有=，那么=。这个定理说明，改变一个可测函数在一个测度为零的集合上的值，对于它的勒贝格积分的值没有影响。对于黎曼积分，如果改变函数在有限个点上的值，不会改变积分值，但是一旦胡乱修改无穷多点上的函数值，结果就无法预料了。相形之下，勒贝格积分具备足够的抗变能力，我们可以在一个测度为零的无穷集合上改变函数值而不影响它的可积性和积分值。为了考查这个定理的作用，我么重温区间上的狄利克雷函数和直尺函数，并且通过引进在上所有点都等于0的函数，组成一个三位一体的函数。这三个函数自然不是全等的，因为在单位区间的有理数点上具有不同的值。但从测度理论的观点看，这样的差别是微不足道的，因为换句话说，狄利克雷函数和直尺函数几乎处处等于零。由于定理3推出=0，这正是我们过去见过的结果。定理4 （勒贝格有界收敛定理） 如果是区间上的可测函数序列，其中的函数以数M0一致为界（即对于所有和内所有有）并且如果=是点态极限，那么勒贝格在非常弱的条件下，证明了这个允许进行极限与积分的交换的定理。这是超越黎曼理论的一项重大进展。有界收敛定理更值得称道之处还在于，它使勒贝格得以证明下面的定理。定理5 如果函数F在区间上是可微的并且具有有界的导数，那么。这是完全恢复原来的完美形态的微积分基本定理。对于勒贝格积分，为使基本定理成立，对导数无需附加限制条件，例如不必要求导数是连续的。因此，在一定意义下，勒贝格把微积分中的这个处在中心地位的结果恢复成它在牛顿和莱布尼茨时代那种“自然的”形式。4.3 勒贝格积分与黎曼积分黎曼将柯西积分只对连续函数定义概念扩张成现在我们所知道的黎曼积分，从而扩大了积分的应用范围。但是即使在有界函数范围内，黎曼积分还是存在着很大的缺陷，主要表现在以下两个方面。（1）黎曼积分与极限可交换的条件太严。 我们知道一列黎曼可积函数的极限函数（即使有界）不一定黎曼可积。因此在积分与极限交换问题上，黎曼积分的局限性就特别突出，为了使=，对一列收敛的条件的黎曼可积函数能成立，通常需要对加上一致收敛的条件。可是这一充分条件不但非常苛刻而且检验起来也非常不便，因而大大降低了R积分的效果。（2）积分运算不完全是微分运算的逆运算。我们知道任一R可积函数的变动上限积分=在所有连续点都有=，换而言之，就是积分后再微分可以还原（的不连续点构成零集，可忽略不计）。但是另一方面有例子说明，一个可微函数的导函数即使有界也不一定黎曼可积，因此也就无法成立牛顿莱布尼茨公式，所以在黎曼积分范围内，积分运算只是部分地称为微分运算之逆。鉴于黎曼积分的上述缺陷，勒贝格基于可列可加的测度，成功地引入了新的积分，即是勒贝格积分（L积分）。它在很大程度上摆脱了黎曼积分的困境，而且大大地扩充了可积函数的范围，所以今天已成为分析数学中不可缺少的工具。由上一结所介绍的定理1可知勒贝格积分是黎曼积分的推广，所以只要能够证明一个积分是黎曼可积的，那它必然是勒贝格可积的，但是反过来不成立，例如狄利克雷函数，它是黎曼不可积的，但是是勒贝格可积的它的积分值为0。勒贝格积分是黎曼积分的推广但不是黎曼反常积分的推广。下面举例说明一般情况下勒贝格积分并不是黎曼反常积分的推广，这主要因为勒贝格积分是绝对收敛而收敛的黎曼反常积分并不一定绝对收敛例 令 则在上连续，在上的R反常积分收敛且（R）。但是，（L）=。同理， （L）=所以在上不是积分确定的，当然不是L可积。4.4勒贝格积分的应用勒贝格积分完善了积分体系，它让许多看似不可积函数变成可积函数。勒贝格积分应用广泛，在这里我将简单介绍富比尼定理来体现勒贝格积分的应用。富比尼定理 （1）设=在（A，B分别为与中之可测集）上非负可测，则对a.e.的，作为的函数在B上可测，且= （1）（2）设=在上可积，则对a.e.的，作为的函数在B上可积，又作为的函数在A上可积且（1）式成立。（证明略）注意，式（1）换成=照样成立，当然定理中某些字母都要作相应的对调。在黎曼积分理论中重积分化成累次积分所要求的条件比勒贝格积分理论中要多，这是勒贝格积分的另一个成功之处。从富比尼定理，我们看到，只要重积分有限，它就和两个累次积分相等。例 设=定义在上，则可算出=，=由富比尼定理知，在E上不可积。结论积分的发展是漫长而缓慢的，而积分发展的动力源自实际应用中的需求，经过前人特别是黎曼和勒贝格的不懈努力，使得积分体系得以完善，并运用积分可以解决更多实际问题。例如，不规则的曲面和曲线、不规则的体积、一直在变化的速度与加速度、最大值与最小值等问题都可以利用积分求的结果。致 谢经过两个多月的时间，论文从选题到搜集资料，从写稿到反复修改，一直到论文成稿，老师和同学都给了我很大的帮助。在此，我特向我的指导老师李霞老师表示诚挚的谢意！正是指导老师的耐心帮助和反复的提醒并给出意见，使我能够掌握专业知识，并在毕业论文中得以体现，我的论文才能够得以顺利完成，我真的非常感谢您！参 考 文 献1 古今数学思想.莫里斯.克莱因著.上海科学技术出版社.2 数学分析中的典型问题与方法M. 裴礼文.北京:高等教育出版社,2002：173,179.3 数学分析上册(第三版)M. 华东师范大学数学系.北京:高等教育出版社,2002：34,138.4 实变函数(第二版).周民强编著.北京大学出版社.5 微积分思想简史M.周述岐.中国人民大学出版社.6 微积分的历程M.Willim Dunham著.人民邮电出版社.7 积分思想基础.冯良贵.国防科技大学出版社，2004.8 实变函数与泛函分析(第三版).高等教育出版社，2010.9 实变函数论.徐新亚.同济大学出版社，2010.10 数学分析下册(第三版)M. 华东师范大学数学系.北京:高等教育出版社,2002.附录A 译文Riemann积分的几个等价定义1.定义1.1 设是上的有界实函数，如果存在一个实数和一个函数,对任意的和任意的递增序列满足 (1)其中。就被称作是Riemann可积的(记为可积)。定义中的实数被称作上的Riemann积分(简称R-积分)。记为或者。定义中的点被称作是上的分点，而被称作函数的取值点,包括分点和取值点在内,由于有太多的参数,定义1.1看起来太复杂了。有人能够减少这些参数并简化Riemann积分的定义吗?在本文中我们将研究这个问题。2.仅仅取分点作为取值点。如果我们仅仅取积分的分点 (或者)作为函数的取值点，那么我们可以减少参数的个数.并且可以得到一个更简单的积分的定义。定义2.1 设是上的有界实函数.如果存在一个实数和一个函数，对任意的和任意的递增序列。满足 (2)其中。则就被称为是可积的.定义2.1中的实数被称作是在上的积分，记为。由于我们要求(2)仅仅取特殊的取值点，而(1)要求所有的取值点，定义2.1中的条件似乎比定义1.1要弱。但是，从下面的定理中我们发现定义2.1与定义1.1是等价的。定理2.2 令是上的有界实函数，则(1) 是可积的当且仅当是可积的。(2)如果在上是-可积的或者可积的，那么可积和可积是一样的。证明: (1)这足以充分的证明。设是可积的，设函数与定义2.1中相同。我们可以进一步假设 (3)令，并且定义其中 (4)则，考察对任给的和任给的递增序列其中并且，取， ， (5)我们就得到一个递增序列这个序列满足 (6)显然我们有 (7)取严格递增偶数序列，其中并且 (8)从(3)(4)(8)可以推出 (9)对每一个，容易看出，存在集合的唯一子集使得 (10)其中。并且对于任意的并且对任意的 (11)对于，令为上的奇数使得，那么对，从(5)(11)和(6)可以推出因此,由(10)我们有由(9)和(4)我们有 (12)令为在上的积分，记并且对任意的和任意的由(2)和(4)我们有与(12)联立可得 (13)综上,我们可以证明 (14)由(13)(14)和(7)可以推出， 这表明是可积的。(2)如果是可积的(或者可积的),那么由于我们可以把(1)中的，那么(1)可以推出(2)。因此，在上可积和可积是等价的。注2.3 在定义2.1.(2)可以用 (15)代替，而且定理2.2依然成立。3.取等分点作为分点。 令为给定的闭区间，为是正整数集.对任意的和记。点被成为是的等分点。如过我们仅仅取等分点作为分割点，那么我们也可以得到一个简化的定义。定义3.1 设是闭区间上的有界实函数.如果存在一个实数和一个函数，对任意的，任意的和任意的使得 (16)则称是可积的。在定义3.2中的实数被称作是在上的积分，并记作。由于，我们注意到(16)可以被不等式 (17)代替。由于我们要求(16)仅仅取特殊分点而(1)取一般分点，定义3.1中的条件也比定义1.1弱.当然,我们期望定义3.1和定义1.1也等价。定理 3.2 令为上有界实函数。那么(1) 是可积的当且仅当是可积的。(2)如果是可积的或者可积的，那么在上可积与可积等价。定理3.2的证明将在4节中给出。4.由达布和定义的定积分 令为上的有界实函数.递增实数序列被称为的一个分割，其中，在上关于分割的达布上和和达布下和分别定义为和令为的所有分点的集合.在5-7,作者采用了另一个Riemann积分的定义。定义4.1 如果 (18)被称作在上可积的。如果是可积的，那么(18)的左边或者右边被称作是在上的积分。并且记作。众所周知，定义4.1和定义1.1是等价的.，也就是说下面的定理是众所周知的。定理4.2 是可积的当且仅当是可积的,且如果是或者可积的，那么在上可积和可积是同样的。由于是不可数集，定义4.1依然是很复杂的。由于这个原因,我们再次提出如下两个简化的定义。定义4.3令为的等分点,这里，如果 (19)则称在上可积。定义4.4 令同上，如果 (20)则称在上可积。如果是可积的(同样可积)，那么在(19)(同样(20)的左边或者右边被称作是在上的积分(同样积分)。记作为了表明定义4.3,4.4和4.1是等价的，我们需要一下引理。引理4.5 设是上的有界实函数.并且，和的意义同上。那么(1)对的任意分割和，存在使得并且，对任意的有。(2)极限和存在并且= (21)= (22)证明(1)设，令，并且令为大于的最小的正数。那么对于任意的，由于我们有。同理可得。(2)对任意的，取一个使得，那么。由引理的(1)，对任意的我们有这表明极限存在,而且与相等.第二，取一个分割，使得，。那么，由引理的(1)，对任意的，我们有这表明极限存在，并且等于。同理,极限存在,并且等于并且。引理4.5得证。由(21)和(22)我们立刻得到下面的定理。定理4.6 令为上的有界实函数，那么(1)对任意的，其中，是可积的当且仅当是可积的。(2)如果是可积的，或者可积的，或者可积的,那么在上可积，可积和可积是一样的。下面我们给出定理3.2的证明(1)因为必要性是显而易见的,这足以证明.设是可积的，并且是在上的积分。令函数同定义3.1中的.对任给的和任意的，存在实数列使得充分的逼近，充分的逼近，那么 (23) (24)由(16),我们有，再与(23)，(24)联立得到推出对任意的有-，因此我们有= (25)因此是可积的，有定理4.5和4.2，是可积的。(2)由(25)显然成立.定理3.2得证。附录B 外文参考文献（原文）Some Equivalent Definitions of Riemann Integral1 Definition 1.1 Let f be a bounded real function on a closed interval a,b. f is said to be Riemann integrable (abbr. R-integrable) if there exist a real number r and a function :such that (1)for any and any increasing sequenceof real numbers with.The real number r in the definition is called the Riemann integral（abbr. R-integral ）of f on and is written or .The points in the definition are called the dividing points of the interval and are called the value-taken points of the function f . Since there are too many parameters including both the dividing points and the value-taken points, Definition 1.1 seems to be rather complex. Can one decrease the number of parameters and simplify the definition of Riemann integral? In this paper we will study this problem. 2 Taking Only Dividing Points as Value-taken PointsIf we take only the dividing points (or) of the interval as the value-taken points of the function, then we can decrease the number of parameters, and obtain a simpler definition of definite integral. Definition 2.1 Let f be a bounded real function on a closed interval ,f is said to be R1-integrable if there exist a real number r and a function such that(2)for any and any increasing sequenceof real numbers with.The real number r in Definition 2.1 is called the R 1-integral of f on and is written.The condition in Definition 2.1 seems to be weaker than that in Definition 1.1 ,since we require that (2)holds only for special value-taken points ，and that (1)holds for all value-taken points .However, from the following theorem we see that Definition 2.1 and Definition 1.1 are still equivalent. Theorem 2.2 Let f be a bounded real function on a closed interval. Then (1) f is R-integrable if and only if f is R-integrable. (2)If f is R-integrable or R 1-integrable, then the R 1-integral and the R-integral of f on are the same. Proof (1) It suffices to show the sufficiency since the necessity is clear. Suppose that f is R1-integrable. Let the function be the same as in Definition 2.1. We may further assume that (3)Let, and. Define by(4)Then .Consider any given and any given increasing sequence of real numbers with and .Put(5)Then we obtain an increasing sequence which satisfies (6)Obviously we have (7)Take a strictly increasing sequenceof odd numbers such that and (8)It follows from (3), (4), and (8) that (9)For each it is easy to see that there exists a unique subset of the set, with such that