1.3同角三角函数的基本关系式-基础

1.3同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：(2)商数关系：(3)倒数关系：，要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)是的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。要点二：同角三角函数基本关系式的变形1平方关系式的变形：，2商数关系式的变形。【典型例题】类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1若，且是第三象限角，求cos，tan的值。【思路点拨】由求，可利用公式，同时要注意角所在的象限。【答案】 【解析】 ，是第三象限，。【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。举一反三：【变式1】已知，求cos，tan的值。【解析】因为，所以是第三或第四象限角。由sin2+cos2=1得。当是第三象限角时，cos0，于是，从而；当是第四象限角时，cos0，于是，从而。类型二：利用同角关系求值例2已知：求：（1）的值；（2）的值；（3）的值；（4）及的值【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。【答案】（1）（2）（3）0（4）或【解析】（1）由已知 （2）（3）（4）由，解得或【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。举一反三：【变式1】已知，求下列各式的值：（1）tan+cot；（2）sin3cos3。【解析】 由两边平方得。（1）。（2） 。例3已知：，求：（1）；（2）；（3）。【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式= = =【总结升华】已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题如（1）、（2）题，cos0，所以可用cosn（nN*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。举一反三：【变式1】（2015春 甘肃会宁县期中）已知（1）求sin和cos的值；（2）求的值【解析】（1），是第一或第三象限角，当是第一象限角时，结合，有；当是第三象限角时，结合，有；（2），原式 类型三：利用同角关系化简三角函数式例4（2015秋 湖北青山区期末）（1）化简：；（2）已知为第二象限角，化简【思路点拨】（1）根号下利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用二次根式的化简公式化简，约分即可得到结果；（2）根号中的式子分子分母乘以分子，利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的化简公式计算，约分后计算即可得到结果【答案】（1）1；（2）【解析】（1）02045，cos200，sin20cos200，则原式；（2）为第二象限角，cos0，sin0，则原式 举一反三：【变式1】化简（1）； （2）；【答案】（1）1（2）【解析】（1）原式=（2）原式=类型四：利用同角关系证明三角恒等式例5求证：（1）；（2）。【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。【证明】（1）左边 =右边，原等式成立。（2）左边 =右边，原等式成立。【总结升华】（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本题也可从右到左证明。举一反三：【变式】求证：.【解析】证法一：由题意知，所以.左边=右边.原式成立.证法二：由题意知，所以.又，.证法三：由题意知，所以.，.【巩固练习】1.下面四个命题中可能成立的一个是（）A.B.sin=0且cos=1C.tan=1且cos=1D.在第二象限时，tan=2若，则m的值为（ ）A0 B8 C0或8 D3m93若，则使成立的的取值范围是( )A、 B、 C、 D、4若，且是第二象限角，则tan的值等于（ ）A B C D5（2015 呼和浩特一模）已知，则（ ）A B C D6已知sincos =,则cossin的值等于（ ） A B C D7若，则的值是（ ）A B C2 D28若是方程的两根，则的值为（ ） ABCD9若，则 ；10化简：_11化简：sin6+cos6+3sin2cos2=_12（2015 上海）已知，是第二象限角，那么tan=_13（2015秋 三峡区期中）（1）设a0，角的终边经过点P（3a，4a），求sin+2cos的值；（2）已知，求的值14已知，求和的值.15sin、cos是方程8x2+6mx+2m+1=0的两根，且为第三象限角，若存在满足题意的m，求出m的值；若不存在，说明理由【答案与解析】1.【答案】B 【解析】由sin2+cos2=1可得A不正确根据tan=1，可得 sin=cos=或，故C不正确由tan=，故D不正确，所以只有B正确2【答案】C 【解析】 sin2+cos2=14m232m=0，m=0或m=83. 【答案】D【解析】4 【答案】A 【解析】，且为第二象限角，5【答案】D【解析】，原式故选：D6【答案】B7【答案】A 【解析】设，8【答案】B9【答案】；(在一象限时取正号，在三象限时取负号) 10【答案】sin 【解析】原式11【答案】1 【解析】令sin2=m，cos2=n，则m+n=1原式=m3+n3+3mn=(m+n)(m2+n2mn)+3mn=(m+n)23mn+3mn=112【答案】【解析】 ，是第二象限角，即，cos0，sin0，即sincos0，即 ，+得：，得：，则，故答案为：13【答案】（1）；（2）【解析】（1）a0，角的终边经过点P（3a，4a），则原式；（2），原式14【解析】设，则15【解析】若存在，则，所以，故9m28m20=0，所以m=2或又是第三象限角，所以，所以m=2