2020版高考数学(理)一轮总复习层级快练第八章 立体几何 作业56 含解析

1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB的中点，则sinDB1，CM的值等于()题组层级快练(五十六)2C.21A.3B.D.210151115答案B解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建系，令AD1，1DB1(1，1，1)，CM(1，2，0)215cosDB1，CM2115153.sinDB1，CM15210.2已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.10510510310C.1B.3D.BE(0，1，1)，CD1(0，1，2)cosBE，CD110答案C解析如图，以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设AA12AB2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)12310.253若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120C30B60D150解析设直线l与平面所成的角为，则sin|cos120|，又090.30.答案C124已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为()2D.10A.C.321055B.10答案C解析由题意，连接A1C1，交B1D1于点O，连接BO.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，C1OB1D1.易得C1O平面DBB1D1，C1BO即为直线BC1与平面DBB1D1所成的角3B.3C.63则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，AC(2，2，0)，AD1(2，0，4)，BB1(0，0，4)nAC0，设平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则nAD0，即取x2，则y2，z1，故n(2，2，1)是平面ACD1的一个法向量在OBC1中，OC122，BC125，直线BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为选C.5.(2019辽宁沈阳和平区模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB14，则直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()1A.322D.3答案A解析如图所示，建立空间直角坐标系12x2y0，2x4z0，105，故设直线BB1与平面ACD1所成的角是，则sin|cosn，BB1|nBB1|41943|n|BB1|.故选A.6若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()554D.53A.3C.4B.5设棱长为1，则有AD5，B1D，DC，答案B解析间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D平面ACD，B1DDCB1DC为直角三角形35222S1DC.383225设直线AD与平面B1DC所成的角为，则sinh.nCD0，y2z0，nCB03xy2z0sinAD，n.135152228设A到平面B1DC的距离为h，则有VAB1DCVB1ADC，113hB1DC3B1DSADC.1151312h，h.4AD5向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系设各棱长为2，则有A(0，1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(3，0，2)设n(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有n(0，2，1)1ADn45|AD|n|7(2019河南林州期末)如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E为线1段AB上一点，且AE3AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为()357C.3D.2335A.327B.4DC1(0，3，1)，D1E(1，1，1)，D1C(0，3，1)答案A解析如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，nE0，（x，y，z）（1，1，1）0，则即nDC0，（x，y，z）（0，3，1）0，设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，11xyz0，x2y，解得即取y1，得n(2，1，3)3yz0，z3y，cosDC1，nDC1n（0，3，1）（2，1，3）335351014，|DC1|n|335DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为35，故选A.8(2019昆明市高三调研)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD4，AA12.过点A1作平面与AB，AD分别交于M，N两点，若AA1与平面所成的角为45，则截面A1MN面积的最小值是()A23C46答案BB42D82解析如图，过点A作AEMN，连接A1E，A1A平面ABCD，A1AMN，MN平面A1AE，A1EMN，平面A1AE平面A1MN，AA1E为AA1与平面A1MN所成的角，AA1E45，在A1AE中，AA12，AE2，A1E22，在MAN中，由射影定理得MEENAE24，由基本不等式得MNMEEN2MEEN4，当且仅当MEEN，即E为MN的中点时等号成立，截面1A1MN面积的最小值为242242，故选B.9(2019保定模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的余弦值是()A.C.2332B.D.73371)，G(，)，GE(，)，BD(0，a，1)，答案B解析以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立aa直角坐标系，设CACBa，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1)，E(2，2，aa1aa2333663GE平面ABD，GEBD0，解得a2.GE(，)，BA1(2，2，2)，333GE平面ABD，GE为平面ABD的一个法向量3GEBA12cos，|GE|BA1|23答案435点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，11246333A1B与平面ABD所成的角的余弦值为7.10(2019河北承德期末)已知四棱锥PABCD的底面是菱形，BAD60，PD平面ABCD，且PDAB，点E是棱AD的中点，F在棱PC上若PFFC12，则直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为_35解析如图，以D点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设菱，0)，F(0，)，所以EF形ABCD的边长为2，则D(0，0，0)，E(31242233(37，)4263又平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，4所以cosEF，n35（33）2（7）2（4）21263435，即直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为.4353511(2019上海八校联考)如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE底面BCFE，DFAE，DFAE1，CE7，四边形ABCD是正方形(1)九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC是否为鳖臑，答案(1)略(2)若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由(2)记AB与平面AEC所成的角为，求cos2的值17解析(1)AE底面BCFE，EC，EB，BC都在底面BCFE上，AEEC，AEEB，AEBC.四边形ABCD是正方形，BCAB，BC平面ABE.又BE平面ABE，BCBE，四面体EABC是鳖臑，AEB，AEC，CBE，ABC为直角(2)AE1，CE7，AEEC，AC22，又ABCD为正方形BC2，BE3.作BOEC于O，则BO平面AEC，连接OA，则OA为AB在面AEC上的射影BAO，由等面积法得BEBCECOB.，sin，cos212sin2.OB327OB211AB77答案(1)略(2)6以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，2，2，则BC(1，1，0)，BM0，2，2，AD(0，1，1)x0y00，nBC0，则即11取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1，1)nBM0，2y02z00，12.(2014福建，理)在平面四边形ABCD中ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图所示(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值3解析(1)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图所示由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.1111设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，设直线AD与平面MBC所成角为，则sin|cosn，AD|，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为6|nAD|63|n|AD|3.四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD，ABD，AB2AD.答案(1)略(2)42解析(1)ABD中，ABD，AB2AD，(2)由(1)可得，在ABD中，BAD，BD3AD，又由EDBD，设所以AE(1，0，3)，AC(2，3，0)nAE0，x3z0，nAC0，2x3y0，因为AF(1，3，3)，所以cosn，AF，13(2019郑州一中测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，6(1)求证：平面BDEF平面ADE；(2)若EDBD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值146由余弦定理，得BD3AD，从而BD2AD2AB2，故BDAD，所以ABD为直角三角形且ADB90.因为DE平面ABCD，BD平面ABCD，所以DEBD.又ADDED，所以BD平面ADE.因为BD平面BDEF，所以平面BDEF平面ADE.3AD1，则BDED3.因为DE平面ABCD，BDAD，所以可以以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(1，0，0)，C(1，3，0)，E(0，0，3)，F(0，3，3)，设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得n(3，2，1)为平面AEC的一个法向量nAF4214|n|AF|所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为4214.在ADC中，由AD3，CD1，可得AC2，AO，n0，AB3xy0，答案(1)略(2)42AEC90，易得AEOACE，AOEAEC90，即EOAC.则A(，0，0)，B(0，0)，E(0，0，)，M(，0，)，D(0，0)，N(，0)，AB(，0)，AE(，0，)，DM(，)，MN(0，)，AEn0，3xz0，设MPMN(01)，可得DPDMMP(，)，242414.(2019太原模拟)如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CBCDCE1，ABADAE3，ECBD.(1)求证：平面BED平面ABCD；(2)若点P在平面ABE内运动，且DP平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值7解析(1)如图，连接AC，交BD于点O，连接EO，ADAB，CDCB，ACAC，ADCABC，易得ADOABO，AODAOB90，ACBD.又ECBD，ECACC，BD平面AEC，又OE平面AEC，OEBD.又底面ABCD是圆内接四边形，ADCABC90，32AEAO3ACAE2又AC，BD平面ABCD，ACBDO，EO平面ABCD，又EO平面BED，平面BED平面ABCD.(2)如图，取AE的中点M，AB的中点N，连接MN，ND，DM，则MNBE，由(1)知，DACBAC30，即DAB60，ABD为正三角形，DNAB，又BCAB，平面DMN平面EBC，点P在线段MN上以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，3333333322244244333333333222242444设平面ABE的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则n(1，3，3)，3333342444nDP12设直线DP与平面ABE所成的角为，则sin|，|n|DP|01，当0时，sin取得最大值42.7故直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值为427.