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一元二次方程的几何应用一、选择题1.（2018贵州安顺，T6，F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A.12B.9C.13D.12或9【答案】A【解析】解x2-7x+10=0，得x=2或5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，腰长为5，底边长为2.该等腰三角形的周长为5+5+2=12.【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边.二、填空题1.（2018湖北黄冈，12题，3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为_【答案】16【解析】解该方程得x1=3，x2=7，因为两边长为3和6，所以第三边x的范围为：6-3x6+3，即3x9，所以舍去x1=3，即三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系2.（2018江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD2AP，则AP的长为_【答案】2，23，142【解析】PD2AP，设APx，则PD2x，当P在AD边上时，如解图，AD6，APPD6，x2x6即x2，AP2当P在DC上时，如解图在RtADP中，APPD，PD2AP，1第12题解图第12题解图当P在BC边上时，如解图，DP最大为62，AP最小为6，PD2AP，当P在AB上时，如解图，在RtADP中，AP2AD2PD2，x262(2x)2，解得x123，x223(舍)，AP23；当P在AC对角线上时，如解图，在RtADC中，ACAB2BC262，AOAC32，在RtPDO中，第12题解图第12题解图第12题解图第12题解图12PO32x，PD2x，DOAO32，PD2PO2DO2，(2x)2(32)2(32x)2，解得x1142，x2142(舍)，AP142；当P在DB对角线上时，如解图，在RtAPO中，AP2AO2PO2，x2(2x32)2(32)2，整理得：x242x120，(42)24112160，方程无解，综上所述：AP2或23或142【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理3.（2018浙江省台州市，16，5分）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，则DBCG的周长为2易知SDBCG=S四边形FGED=3CG=，SDBCG=BGg【答案】3+15【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明BCECDF，一是可以得到BCG是直角三角形，二是可以得到BCG的面积，进而求出BGgCG=3；利用勾股定理可以求出BG2+CG2=9，这样就可以求出BG+CG=15，因而BCG的周长就可以表示出来了.【解题过程】在正方形ABCD中，AB=3，S正方形ABCD=32=9，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3，空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3，S空白=3，四边形ABCD是正方形，BC=CD，BCE=CDF=90CE=DF,BCECDF(SAS)CBE=DCF,DCF+BCG=90,CBE+BCG=90,即BGC=90，BCG是直角三角形132223BGgCG=3，根据勾股定理：BG2+CG2=BC2，即BG2+CG2=92（BG+CG）=BG2+2BGgCG+CG2=9+23=15，BG+CG=15，BCG的周长=BG+CG+BC=3+15【知识点】正方形的性质，三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；一元二次方程的解法；三、解答题1.（2018浙江杭州，21，10分）如图，在ABC中，ACB=90，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD。（1）若A=28，求ACD的度数；（2）设BC=a，AC=b线段AD的长度是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？说明理由；若AD=EC，求ab的值。【思路分析】（1）先求B,再根据等腰三角形知识求BCD，在用直角求出ACD；（2）根据勾股定理表示出AB，1表再示出AD，根据一元二次方程的解表示出x2+2ax-b2=0的解进行对比；由AD=AE,则可得AD=b，从而可2列方程求解出比值【解题过程】4m=,即AD=，将x=代入x2+2ax-b2=0得：（）2+2a-b2=0,Qb(a-b)=0,1.（2018湖北鄂州，20，8分）已知关于x的方程x-(3k+3)x+2k+4k+2=0【解析】解：（1）证明：由题意可知，a1，b（3k3），c2k+4k+2，b24ac=-(3k+3)=3k+3，x1x2=2（2）由根与系数的关系可知x+x=-=2k+4k+2，12x1x2+2x1+2x2=36,x1x2+2x1+x2=36,2k+4k+2+2(3k+3)=36，化简得k2+5k-14=0，11()1()k7舍去，k2，该菱形的面积为x1x2=(1)QA+B=900,A=280,B=620,QBD=BC,BDC=BCD,QB+BDC+BCD=1800,1800-620BDC=590,QBDC=ACD+A,ACD=590-280=3102(2)设AD=m,QBD=BC=a,AB=AD+BD=m+a,在RTDABC中，AB2=BC2+AC2,(m+a)2=a2+b2,m2+2am-b2=0,AD长为方程x2+2ax-b2=0的根。（3）设AD=m,AD=AC-AE=b-m,QAC=b,CE=AC-AE=m,QCE=AD,b-m=m,bbbbb32222243a3Qb0,a=b,=4b4【知识点】三角形内角和，等腰三角形角度计算，勾股定理，线段转换22（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；（2）若该方程的两实数根x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x2+2x1+2x2=36，求k值及该菱形的面积【思路分析】（1）只需证明根的判别式0，即可证得无论k为何值，原方程都有实数根；（2）利用韦达定理求出k值，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半就能求出该菱形的面积22-(3k+3)2-4(k2+4k+2)=9k2+18k+9-8k2-16k-8=k2+2k+1=(k+1)2，(k+1)20，0，无论k为何值，原方程都有实数根；bcaa()2(k-2)(k+7)=0，解得k2或7，x1，x2为一菱形的两条对角线之长，且x1x23k3，3k30，2k+4k+2=22+42+29222【知识点】根与系数的关系；一元二次方程；根的判别式；菱形的性质；菱形的面积公式2.（2018湖北宜昌，21，8分）如图，在DABC中，AB=AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于5点E.延长AE至点F，使EF=AE,连接FB，FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形；(2)若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积.(第21题图)【思路分析】(1)先由EF=AE，以及到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到CE=BE，证明四边形ABFC是平行四边形；再由一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明平行四边形ABFC是菱形.(2)设CD=x，则AB=AC=7+x，连接BD，在BDA中，BD2=AB2-AD2,在BDA中，BD2=BC2-CD2,AB2-AD2=BC2-CD2,从而建立方程，求出x的值，并求出BD的值，求出半圆和菱形ABFC的面积.【解析】(1)证明：QAB为半圆的直径，AEB=90o,QAB=AC,CE=BE,又QEF=AE,四边形ABFC是平行四边形.又QAB=AC,（或AEB=90o，）平行四边形ABFC是菱形.(3)解：连接BD，6AD=7,BE=CE=2,设CD=x，则AB=AC=7+x，(第21题第2问答图)AB为半圆的直径，ADB=90o,在BDA中，BD2=AB2-AD2,在BDA中，BD2=BC2-CD2,AB2-AD2=CB2-CD2(7+x)2-72=42-x2x=1或x=-8（舍去）12AB=AC=7+x=7+1=8S半圆1=p42=8p2BD=AB2-AD2=82-72=15,S=菱形BDAC=815=815【知识点】平行四边形的判定，菱形的判定，勾股定理，一元二次方程的解，圆的面积公式，菱形的面积公式.78
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