数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)

数学物理方程第二版答案第一章 波动方程1 方程的导出。定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它自身重力作用下，此线处在铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图2，设弦长为，弦的线密度为，则点处的张力为且的方向总是沿着弦在点处的切线方向。仍以表达弦上各点在时刻沿垂直于轴方向的位移，取弦段则弦段两端张力在轴方向的投影分别为其中表达方向与轴的夹角又 于是得运动方程 运用微分中值定理，消去，再令得。5. 验证 在锥0中都满足波动方程证：函数在锥0内对变量有二阶持续偏导数。且 同理 因此 即得所证。2 达朗贝尔公式、 波的传抪3.运用传播波法，求解波动方程的特性问题（又称古尔沙问题） 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0 得 =F（0）+G（2x）令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0)因此 F(x)=-G(0). G（x）=-F(0).且 F（0）+G(0)=因此 u(x,t)=+-即为古尔沙问题的解。8求解波动方程的初值问题 解：由非齐次方程初值问题解的公式得 = = = =即 为所求的解。 3混合问题的分离变量法1. 用分离变量法求下列问题的解：(1) 解：边界条件齐次的且是第一类的，令得固有函数，且， 于是 今由始值拟定常数及，由始值得 因此 当 因此所求解为 (2) 解：边界条件齐次的，令 得： (1)及 。求问题(1)的非平凡解，分如下三种情形讨论。时，方程的通解为 由得由得解以上方程组，得，故时得不到非零解。时，方程的通解为由边值得，再由得，仍得不到非零解。时，方程的通解为 由得，再由得 为了使，必须 ，于是 且相应地得到 将代入方程(2)，解得 于是 再由始值得容易验证构成区间上的正交函数系：运用正交性，得 因此 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为 求解此问题。解：边值条件是非齐次的，一方面将边值条件齐次化，取，则满足 ，令代入原定解问题，则满足 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为， 故设 将方程中非齐次项及初始条件中按展成级数，得其中 其中 将(2)代入问题(1)，得满足解方程，得通解由始值，得 因此 因此所求解为 3用分离变量法求下面问题的解 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 设 将非次项按展开级数，得其中 将 代入原定解问题，得满足方程的通解为由，得：由，得因此 所求解为 4 高维波动方程的柯西问题1 运用泊松公式求解波动方程 的柯西问题 解：泊松公式 现 且 其中 计算 因此u(x,y,z)=即为所求的解。2 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。解：三维波动方程的柯西问题 当u不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：运用泊松公式求解 因只与z有关，故令,得因此即为达郎贝尔公式。3. 求解平面波动方程的柯西问题：解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得： 又 由于 因此 又 于是 即为所求的解。4. 求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如的解，.解： 解法一：运用二维波动方程柯西问题的积分体现式 由于u是轴对称的故其始值,只是r 的函数，,记圆上任一点的矢径为圆心其矢径为记则由余弦定理知，其中为与的夹角。选极坐标。 于是以上公式可写成 由上式右端容易看出，积提成果和有关，因此所得的解为轴对称解，即 +解法二：作变换,.波动方程化为用分离变量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得 解得： 令叠加得 5.求解下列柯西问题 提示：在三维波动方程中，令解：令 则 代入原问题，得 记为上半球，为下半球，为在平面上的投影。,则因此 于是 即为所求的解。6试用第七段中的措施导出平面齐次波动方程 在齐次初始条件 下的求解公式。解：一方面证明齐次化原理：若是定解问题 的解，则即为定解问题 的解。 显然， （ ）.因此又 由于w满足齐次方程，故u满足 齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知因此即为所求的解。因此 7用降维法来解决上面的问题解：推迟势 其中积分是在觉得中心，为半径的球体中进行。它是柯西问题 的解。对于二维问题，皆与无关，故 其中为觉得中心r为半径的球面，即 其中分别表达的上半球面与下半球面，表达在平面上的投影。因此 在最外一层积分中，作变量置换，令，即，当时，当时，得即为所求，与6题成果一致。8 非齐次方程的柯西问题解：由解的公式得计算因此 计算 因此即为所求的解。 5能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性1 设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程 证明其能量是减少的，并由此证明方程的混合问题解的唯一性以及有关初始条件及自由项的稳定性。证：一方面证明能量是减少。能量 因弦的两端固定， 因此 于是 (因此，随着的增长，是减少的。 证明混合问题解的唯一性混合问题:设是以上问题的解。令则满足 能量 当运用初始条件有由得 因此 又是减少的，故当又由的体现式知因此 由此得及于是得到 常量再由初始条件得因此即混合问题解的唯一的。3证明解有关初始条件的稳定性，即对任何可以找到只要初始条件之差满足 则始值所相应的解及所相应的解之差满足 或 令 即 积分得 又,因此 即 记，则满足 则相相应地有 故若 则 于是 (对任何t)即 或 解有关自由的稳定性设满足满足则满足今建立有外力作用时的量不等式 =其中故又 , 因此 由中证明, 知 而 故 因此, 当 ,则 亦即当，则。即解有关自由项是稳定的。2证明如果函数在G：，作微小变化时，方程（，和都是某些充足光滑的函数）满足固定端点边界条件的混合问题的解在G内的变化也是很微小的。证：只须证明，当很小时，则问题的解也很小（按绝对值）。考虑能量 由边界条件 ，故，。因此 又由于，故，即或 记 得 由初始条件 ，又因 ，得，故，即若很小，即，则，故 即在中任一时刻，当很小时，又中积分号下每一项皆为非负的，故（对中任一时刻）今对，估计。由于 ，应用布尼亚科夫斯基不等式，可以得到 其中 （因且充足光滑）即 又由边界条件 ，得即当 ，有很小，得证。3证明波动方程的自由项中在乎义下作微小变化时，相应的柯西问题的解在乎义之下变化也是微小的。 证：研究过的特性锥令截，得截面，在上研究能量： 其中为的边界曲线。再运用奥氏公式，得 由于第二项是非正的，故因此 令 上式可写成 即 即 研究 因此 为证明柯西问题的解的有关自由项的稳定性，只须证明柯西问题当“很小”时，则解的模也“很小”此时，由始值，而由于得 因此 ，即 故任给，当，则得证4固定端点有界弦的自由振动可以分解成多种不同固有频率的驻波(谐 波)的迭加。试计算各个驻波的动能和位能，并证明弦振动的总能量等于各个驻波能量的迭加。这个物理性质相应的数学事实是什么？解：固定端点有界弦的自由振动，其解为 每一种是一种驻波，将的总能量记作，位能记作，动能记作，则 总能量 由此知与无关，即能量守恒，。目前计算弦振动的总能量，由于自由振动能量守恒，故总能量亦满足守恒定律，即 即 又由分离变量法，、由始值决定，且因此 运用在上的正交性，得 同理 因此 。即总能量等于各个驻波能量之和。这个物理性质所相应的数学意义阐明线性齐次方程在齐次边界知件下，不仅解具有可加性，并且及仍具有可加性。这是由于的正交性所决定的。5.在的状况下，证明定理5，即证明此时波动方程柯西问题存在着唯一的广义解，并且它在证理4的意义下是稳定的。证：我们懂得当，则波动方程柯西问题的古典解唯一存在，且在乎义下有关初始条件使稳定的（定理3、4）今，根据维尔斯特拉斯定理，存在, 当时及其一阶偏导数,分别一致收敛于及一致收敛于。记：为初始条件的柯西问题的古典解为，则二阶持续可微，且在乎义下有关是稳定的。,为一致持续序列，自然在 ：特性锥K与相交截出的圆意义下为一基本列，即时 , , 根据的稳定性，得即在乎义下为一基本列，根据黎斯弗歇尔定理，存在唯一的函数,使当时 即为相应于初始条件的柯西问题的广义解。 目前证明广义解的唯一性。 若另有，当时且 是一致的，其所相应的古典解(按), 目前, 用反证法， 若，研究序列 (1) (2)则序列（1）及其对的偏导数仍分别一致收敛于, 序列（2）仍为一致收敛于，运用古典解有关初始条件的稳定性，序列（1）(2)所相应的古典解序列 根据黎期弗歇尔定理，按意义收敛于唯一的极限函数。与矛盾。故以上所定义的广义解是唯一的。若，所相应的广义解记作又所相应的广义解记作，即存在。分别一致收敛于则，所相应的古典解按意义收敛于所相应的古典解按意义收敛于 (3)若,。则 =3+因，故当有，因此即同理有 ，由古典解的稳定性，得。（当）又由广义解的定义知，对，当有，故当时，由（3）式有即广义解对于初始条件是稳定的。6对弦振动方程的柯西问题建立广义解的定义，并证明在为持续，为可积的情形，广义解仍然可以用达朗贝尔公式来给出，因而是持续函数。解：由达朗贝尔公式知，当时则柯西问题 有古典解.且有关是稳定的。目前按如下措施来定义广义解。给出一对初始函数可以唯的拟定一种。函数对的全体构成一种空间，它的元素的模按如下方式来定义，记的依赖区域为，记为区域：，则在上的值仅依赖于上函数对的值。今定义则构成一种线性赋范空间，其中任意两个元素 ， 的距离为 中任一元素相应一种解是中二阶持续可微函数，它的全体也构成一种函数空间，记为，其模定义为，二元素的距离为则与的关系可以当作到的一种映象，且根据有关的稳定性知，映象是持续的。现将完备化，考虑中任一基本列，满足，则在中按模成为基本列，由黎斯弗歇尔定理，存在着极限元素即将添入且定义的模为 则为一完备空间又为基本列，则所相应的也是一种中的基本列（稳定性），再根据黎斯弗歇尔定理，存在着唯一的极限元素，就称为相应于初始条件的弦振动方程柯西问题的广义解。若持续，则存在且一致收敛于，又可积则必可积，因此对任意的存在持续函数，使得又 再由维尔斯特拉斯定理知存在，当时一致收敛于，即任给，当时 于是 当即当时 亦即收敛于。对于，由达朗贝尔公式得， 令， 由于，则是收敛的， 记其极限函数为，得广义解： 又持续。可积，则也持续，故为持续函数。即得所证。