次曲线上的四点共圆问题的完整结论

二次曲线上的四点共圆问题的完整结论甘志国（该文已发表 数学通讯，2013（7 下）： 40-41）百年前，著名教材坐标几何（Loney著）中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是X 2 V 2这四点的离心角之和为周角的整数倍（椭圆一 + ： = 1（。 0,b 0）上任一点A的坐标可 a 2 b 2以表示为（acos,bsin0）（0 eR），角9就叫做点A的离心角），证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写数学题解 辞典（平面解析几何）时，仍未解决到20世纪年代初编写中学数学范例点评时，才证明了此条件的充分性.U,2】2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题（也即文科第22 题）及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题（见文献3,4）. 笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件（其证明也 很简洁但有技巧）:若两条直线匕：V V0 =匕（x-x0）（i = 1,2）与二次曲线r: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0（ a。b）有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k + k 2 = 0.文献2还用此结论证得了 “椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周 角的整数倍”.文献5用较长的篇幅得出了下面的两个结论（即原文末的命题7、8）：结论1抛物线y2 = 2px的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.结论2圆锥曲线mx2 + ny2 = 1（mn。0,m。n）的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补请注意，文献5中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确但不够完整， 本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.定理 1 若两条二次曲线ax2 + by2 + cx + dy + e = 0（a。b），ax2 + by2 + cx + dy + e，= 0 有四个交点，则这四个交点共圆.证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式S,日不同时为0）:人（ax 2 + by 2 + cx + dy + e） + 日（a x 2 + b y 2 + c x + dy + e） = 0式左边的展开式中不含xy的项，选R = 1时，再令式左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，得x= -，此时曲线即b - ax 2 + y 2 + cx + d ry + er = 0的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹而题中的四个 交点都在曲线上，所以曲线表示圆.这就证得了四个交点共圆.定理 2 若两条直线l : ax + by + c = 0(i = 1,2)与二次曲线i i i ir: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0( a牛b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是a b + a b = 0.1 22 1证明由也组成的曲线即(a x + b y + c )(a x + b y + c ) = 0111222所以经过它与r的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式(X, 不同时为0):人(ax2 + by 2 + cx + dy + e) + p(a x + b y + c )(a x + b y + c ) = 0111222必要性.若四个交点共圆，则存在X,p使方程表示圆，所以式左边的展开式中含xy项的系数P (ab + ab ) = 0 .而p 0 (否则表示曲线r，不表示圆)，所以 1 22 1a b + a b = 0.1 22 1充分性.当ab + a b = 0时，式左边的展开式中不含xy的项，选p = 1时，再令式 1 22 1左边的展开式中含x2, y2项的系数相等，即X a + aa =Xb + bb，得X=4.1 21 2b-a此时曲线即x 2 + y 2 + cx + d y + e = 0的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹而题中的四个 交点都在曲线上，所以曲线表示圆.这就证得了四个交点共圆.推论1若两条直线与二次曲线r : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0(a古b)有四个交点，则 这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互 为相反数.证明 设两条直线为l: a x + b y + c = 0(i = 1,2)，由定理2得，四个交点共圆的充要 条件是ab +ab =0.1 22 1(1)当l /1即ab = a b时，得四个交点共圆的充要条件即ab = a b = 0也即121 22 11 22 1a = a = 0 或 b = b = 0.由a b + a b = 0得a b。0, a b。0,所以四个 1 22 11 22 1(2)当l与l不平行即ab。a b时，r交点共圆的充要条件即k、a# J+1 /=0也即直线l,l2的斜率均存在且均不为0且互为12122 1相反数.由此可得欲证成立.推论2设二次曲线r : ax2 + by2 + ex + dy + e = 0(a。b)上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的 斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且 均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一 对均不存在另一对均存在且互为相反数.证明 设圆内接四边形是四边形ABCD，其两组对边AB与CD、AD与BC及对角 线AC与BD所中的直线分别是l : a x + b y + c = 0(i = 1,2)1i 1i1i1il : a x + b y + c = 0(i = 1,2)2i 2i2i2il : a x + b y + c = 0(i = 1,2)3i 3i3i3i由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：a b + a b = 0, a b + a b = 0, a b + a b = 011 1212 1121 2222 2131 3232 31再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明， 可得欲证成立.推论2的极限情形是推论3设点A是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C上的定点但不是顶 点，E、F是C上的两个动点，直线AE. AF的斜率互为相反数，则直线EF的斜率为曲 线C过点A的切线斜率的相反数(定值).由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：r 3 x 2y 2高考题1 (2009 辽宁理20( 2)已知A 1,了是椭圆C :- + ；=1上的定点， k 2 J43E、F是C上的两个动点，直线AE. AF的斜率互为相反数，证明EF直线的斜率为定值， 一 1并求出这个定值.(答案：.)高考题2 (2004 北京理-17(2)如图1，过抛物线y 2 = 2 px (p 0)上一定点p(x y )(y 0)作两条直线分别交抛物线于A(x , y ), B(x , y ) .当PA与PB的斜率存在 上 tx。，y 0 八y 0 u/1 12 2且倾斜角互补时，求匚二的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.(答案:*=2； kAB图1高考题3 (2004 北京文-17(2)如图1,抛物线关于X轴对称，它的顶点在坐标原点，点尸(1,2), A(x , y ),B(x , y )均在抛物线上.当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时， 1122求y + y的值及直线AB的斜率.(答案：y + y =4； k = 1.)1212AB推论4设二次曲线r : ax2 + by2 +以+ dy + e = 0(a。b)上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：(1) 两组对边分别与坐标轴平行的矩形；(2) 底边与坐标轴平行的等腰梯形；(3) 两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每 对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：(1) 是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩 形.(2) 是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角 线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等 腰梯形.(3) 两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的 三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.参考文献1陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件J.数学教学，2007(2)： 332甘志国著.初等数学研究(II)下M .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，3甘志国.对一道高考题的研究J.数学通讯，2005(22):214甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究J.考试(高考理科)，2011(8)： 36-385张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究J.数学教学，2012(7)： 8-10