等腰三角形分类讨论综合

等腰三角形分类讨论综合1. 理解等腰三角形的性质和鉴定定理；2. 能用等腰三角形的鉴定定理进行有关计算和证明；3. 初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；4. 体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；5. 培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。【备注】：1. 此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回忆学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中常常浮现的某些等腰三角形的题型；3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为背面的例题解说做好铺垫。建议时间5分钟左右。一等腰三角形的性质：二等腰三角形常用题型分类：三 函数背景下的等腰三角形的考点分析：1. 求解相应函数的解析式；2. 根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3. 根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类；4. 根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。【备注】：1. 如下每题教法建议，请教师根据学生实际状况参照；2. 在解说时：不适宜采用灌输的措施，应采用启发、诱导的方略，并在读题时引导学生发现某些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3. 可以根据各题的“参照教法”引导学生逐渐解题，并采用讲练结合；注意边解说边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4. 例题解说，可以根据“教法指引”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题背面有答案提示；5. 引导的技巧：直接提示，问题式引导，类比式引导等等；6. 部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的状况讲评；7. 每个题目的解说时间根据实际状况解决，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的状况下解说。例1.如图，在RtABC中，BAC= 90，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F分别是AB边和AC边上的动点，且EDF= 90（1）求DEDF的值；AAAA（2） 设直线DF与直线AB相交于点G，EFG能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能，请阐明理由。（）例1题图BCDEFA备用图2BCD备用图1BCDA【参照教法】：一 你来找一下题目中由哪些不变的量或者是比较特殊的条件，试试看：1. 中的三角比与否能求解？你求求看。提示：；2. 题目中有诸多垂直，会得到诸多角度角相等的，你找找。 提示：、。3. 题目中与否有相似三角形？找找看。 提示：、等。二 求，选择那些条件可以求解？你求一下吧！提示：用，在结合的三角比可求得。三 当EFG为等腰三角形时：1.会得出什么特殊条件不？ 提示：两边相等，或者是两角相等；2.需不需要分类讨论？ 提示：题目中没有指定腰，应当需要；3.如需要分哪几种？提示：根据点的不同位置分两大类讨论：当点在射线上时，如图1。由于所觉得钝角，则EFG为等腰三角形时，；当点在射线上时，如图2。由于所觉得钝角，则EFG为等腰三角形时，；3. 怎么计算，你能自己先求解一下看看吗？4. 通过本题的分析求解过程，你对等腰三角形讨论题型有点思路了没？【满分解答】：（1）BAC= 90 B +C 90，AD是BC边上的高 DAC+C=90B =DAC 又EDF= 90BDE+EDA=ADF +EDA = 90BDE =ADFBEDAFD DEDF =（2） 若EFG为等腰三角形，根据点的不同位置分两大类讨论： （图1） （图2） 当点在射线上时，如图1。由于所觉得钝角，则EFG为等腰三角形时，为中点则，在直角中，又，则可求得 。 因此：另解：由EFG为等腰三角形可得，因此，再过点作垂线，运用三角比可求得。当点在射线上时，如图2。由于所觉得钝角，则EFG为等腰三角形时，为中点又因此：。综上可得，当EFG为等腰三角形时，或。练习1.如图1，在中，是边的中点，于。（） （1）试求的值； （2）求证：； （3）若是边上的点，且使为等腰三角形，祈求的长。【解法点拨】：1. 寻找题目中的特殊条件和不变的量：是边的中点； ；题目中的线段都可求解（让学生自己计算）；2. 证明角度相等，回忆证明角度相等的措施后，知本题运用相似角简朴，但题目中诸多线段的长度都求解，因此运用两边成比例证明AMHBMA即可得；3. 当为等腰三角形时，分三个状况讨论：当时：由于边长不能直接求出，则运用三角比求解，过点作，由于，则，因此；当时：可直接得的长；当时：由于边长不能直接求出，则运用三角比求解，过点作，由于，则，因此。4.注意运用好等腰三角形的性质：底边上三线合一；一般状况下用“画底边上的高+三角比求解”；5.注意便解说边让学生计算求解，加强师生之间的互动性。【满分解答】：（1）在MBC中，MCB=，BC=2，又M是边AC的中点，AM=MC=BC=1， MB=， 又CHBM于H，则MHC=， MCH=MBC， sinMCH=. （2）在MHC中，.AM2=MC2=，即，又AMH=BMA，AMHBMA，ABM=CAH.（3） 由前两问可得：,。当为等腰三角形时，分如下三个状况讨论：当时：如图1，过点作，由于，则，因此；因此：，即，因此；当时：如图2，可直接得；当时：如图3，过点作，由于，则，因此因此：，即，因此；综上可得，当为等腰三角形时，的长为、。图2图1 图3例2.如图，在中，、分别是边、上的两个动点（不与、重叠），且保持，觉得边，在点的异侧作正方形，当是等腰三角形时，请直接写出的长。（）GFEDCBA 【参照教法】：一 以提问式，和学生一起分析题目，先寻找题目中的已知条件或特殊条件： 1.题目中有哪些已知量？ 提示：从边、角归类寻找。 边：，； 角:；2. 题中有什么特殊的图形没？提示：等腰、正方形。3. 你能求解一下题目中的其他线段吗？提示：设，让学生求解底边上的高，并用含的代数式表达的长。二 当是等腰三角形时：1. 需要讨论吗？提示：需要，分两大状况讨论；2. 怎么讨论？提示：当是等腰三角形时，根据点的位置分：点在内部和外面两大类讨论：（1） 当点在内部时：由于，因此该状况下只也许。但该状况下不能直接求解出，则画底边上的高（点作）。（如图1）则：，因此；（2） 当点在外面时：分如下状况讨论当时：直接运用相等计算，即；当时：（如图2）设与交点为，则可得：且点为中点；因此：；当，不成立。3.怎么计算？你会求解吗？提示：见上面求解，可让学生自己计算。4.通过本题的分析求解后，你觉得等腰三角形的分类讨论题目还难吗？6.提示学生运用好三角比。【满分解答】：过点作，垂足为点。，则，；设，则，。当是等腰三角形时，根据点的位置，分如下状况讨论：（3） 当点在内部时：由于，因此该状况下只也许。但该状况下不能直接求解出，则画底边上的高（点作）。（如图1）则：，因此，即，解得：；（4） 当点在外面时：分如下状况讨论当时：则，解得：；当时：（如图2）设与交点为，则可得：且点为中点，因此：，即：，解得：；当，不成立。综合上可得：当是等腰三角形时。 （图1） （图2）【备注】：本部分对前面例题中讲到的解题措施进行归类总结，以引导式总结出，建议时间4分钟左右。图形背景下等腰三角形分类讨论的解题措施和方略：1. 先寻找题目中的条件：相等的角、相等的边、相似的三角形等；2. 根据题目中的条件求解有关线段的长度；3. 等腰三角形讨论中，分三步走：分类、画图、计算；4. 等腰讨论中，当不能直接运用边长相等求解时，一般状况下通过“画底边上的高”辅助线，结合三角比计算求解；5.注意点的位置取舍答案；6.根据题目条件，注意迅速、对的画图，用好数形结合思想；7.运用几何定理和性质或者代数措施建立方程求解都是常用措施。（该部分需要学生在15分钟内独立完毕，之后再评分并讲评）1.已知在梯形中，如图1。（本题满分14分）（）（1）求证：；（2）若点在线段上运动，与点不重叠，联结并延长交的延长线于点， 如图2，设，求与的函数关系式，并写出它的定义域；（3）若点在线段上运动，与点不重叠，联结交于点，当是等腰三角形时，求的值APDCB图2QOAPDCB图1【解法点拨】：一 寻找题目中的已知量或者是比较特殊的条件：1. 边的关系：，。可得到边成比例：,可用来求解某些线段的长度。2. 角的关系：。3. 相似三角形：。二 可由角度相等证明；三 求解函数关系式，寻找相似基本图形。 措施一：由,可得：,进而； 措施二：由可得：，进而。三 当是等腰三角形时，分三个状况讨论：1. 当时：得，因此，因此；2.当时，易证：，即：四边形是平行四边形；3.当时不存在。【满分解答】：（1）证明：1分1分，1分1分1分 （2）解： ，四边形是平行四边形 1分1分，1分1分定义域是：1分 （3）解：当时， 由（2）知：， 2分当时，易得：易证：即：四边形是平行四边形 2分 （ 注：当时不存在）APDCBMNAPDCBMN批注：学生完毕测试后，教师批改给出得分，并进行点评总结.建议时间2-3分钟。教师：本专项你有哪些收获和感悟？【阐明】：本部分为“专项小结”，由“专项知识点或是措施回忆+教师寄语”构成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完毕的作业、需要总结的知识点、名言名句、提示学生需要做的事情等等。