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第七讲解析几何新题型【考点透视】一.直线和圆的方程1 .理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2 .掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.3 . 了解二元一次不等式表示平面区域.4 . 了解线性规划的意义，并会简单的应用.5 . 了解解析几何的基本思想，了解坐标法.6 .掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.二.圆锥曲线方程1 .掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质.2 .掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.3 .掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.4 . 了解圆锥曲线的初步应用.【例题解析】考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，构造方程解之.22例1.若抛物线y2 2 Px的焦点与椭圆 左 上1的右焦点重合，则 p的值为（）62A.2B. 2 C.4D. 4考查意图：本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质22解答过程：椭圆 上1的右焦点为（2,0）,所以抛物线y2 2Px的焦点为（2,0），则p 4 ,62故选D.考点2.求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一，其解法为从曲线的性质入手，找出点的坐标，利用距离公式解之例2.已知抛物线 y-x2C.士匕 1106+3上存在关于直线 x+y=0对称的相异两点 A、B,则|AB|等于A.3B.4C.3 2D.4 . 2考查意图：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用解：设直线AB的方程为yyx2 3y x b2x2 x b 3 0x x21进而可求出AB的中点M (- 211b),又由 M (221b)在直线x y 0上可求出 2b 1,x2x 2 0 ,由弦长公式可求出AB 1 12j12 4 ( 2) 3衣.故选C22例3 .如图，把椭圆x y 1的长轴 125 16AB分成8等份，过每个分点作 x轴的垂线交椭圆的上半部分于P,P2,P3,P4,P5,P6, P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则 |PF| |BF| P3F |P4F| P5F Rf| P7F 考查意图：本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用22解答过程：由椭圆上 y_ 1的方程知a2 25, a 5. 25 16|PF|P2F|P3F|P4F|P5F|P6F|P7F-22a7 a 7 5 35.故填35.考点3.曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一，其解法为充分利用： 椭圆的离心率e=_cC(0,1)(e越大则椭圆越扁);(2)双曲线的 离心率e=cC(1, +oo ) (e越大则双曲线开口越大). a结合有关知识来解题.例4.已知双曲线的离心率为2,焦点是(4,0) , (4,0),则双曲线方程为2222A.土匕 1B.土匕 14 1212 422D.人士1610考查意图：本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念解答过程：Q e 2,c 4,所以 a 2,b2 12.故选(A). a 小结：对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会例5.已知双曲线3x2 y2 9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于()A. 2B. 2_2C. 2D.43考查意图：本题主要考查双曲线的性质和离心率e=_cC(1,+8)的有关知识的应用能力.a解答过程：依题意可知a J3,c 、，扇丁陋一9 2g考点4.求最大(小)值求最大(小)值，是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是，一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(xi,yi),B(X2,y2)两点，则yi2+y22的最小值是考查意图：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:设过点P(4,0)的直线为y k x 4 , k2 x2 8x 164x,k2x2 8k2 4 x 16k2 0,y： v； 4 Xi x24 8k-T 16 2 口 32.1 2kk故填32.考点5圆锥曲线的基本概念和性质圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心例7.在平面直角坐标系 xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2段的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆 匚=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.a29(1)求圆C的方程；(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点 F的距离等于线段 OF的长.若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.考查目的本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力.解答过程(1)设圆C的圆心为(m, n)则m n，解得m 2，n 2 2 2,n 2.所求的圆的方程为(x 2)2 (y 2)2 8(2)由已知可得2a 10 , a 5.22椭圆的方程为 t 1 ,右焦点为F( 4, 0);259假设存在 Q 点 2 2J2 cos ,2 2/2 sin使 QF OF ,2 2、2cos2 2 2 sin整理得 sin 3cos2J2 ,代入 sin2cos21 .212.2812,2 2.2信:10cos 12.2 cos 7 0, cos 1010因此不存在符合题意的Q点.例8.如图，曲线G的方程为y2 2x(y0).以原点为圆心，以t(t0)为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于 A与点B.直线AB与x轴相交于点C.(I )求点 A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；(n)设曲线 G上点D的横坐标为a 2,求证：直线CD的斜率为定值考查目的本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系,考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力 解答过程(I)由题意知，A(a,V2).因为 |OA| t,所以a2 2a t2.由于 t 0,故有t 4a2 2a.(1)由点B (0, t), C (c, 0)的坐标知，直线 BC的方程为-1.c t又因点A在直线BC上，故有a 、2a 1 c t ,将(1)代入上式，得a 房 1解得c a 2 J(a 2). c a(a 2)，(II)因为D(a 2v2a 2A所以直线CD的斜率为*：2(a 2)；2(a 2)- 2)kCD1a 2 c a 2 (a 2 . 2(a 2), 2(a 2)所以直线CD的斜率为定值.M(2,1)是弦AB的中点，若22例9.已知椭圆E：x2 1(a b 0), AB是它的一条弦, a b以点M(2,1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4, 1),若椭圆离心率e和双曲线离心率e1之间满足ee 1 ,求:解答过程：(1)(1)椭圆E的离心率；(2)双曲线C的方程.设 A、B 坐标分别为 A(x 1,y1), B(x 2,y2),b2kABYiy2Xix222X2Y21和 F 1 a b2(XiX2)b(YiY2)a二式相减得:22b k 1 ( 1)1a2 MN 2 4所以2b22(a2 c2) , a22c2 ,则 e 更;a 2(2)椭圆2e的右准线为x a_c(亚c)22c双曲线的离心率e1设P(x, y)是双曲线上任一点，则：|PM|J(x 2)2 (y 1)2 金,|x 2c| |x 2c|两端平方且将 N(4, 1)代入得：c 1或c 3,当c 1时，双曲线方程为：(x2)2 (y 1)2 0 ,不合题意，舍去;当c 3时，双曲线方程为：(x10)2 (y 1)2 32,即为所求.小结：(1) “点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；(2)求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义考点6利用向量求曲线方程和解决相关问题利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算 典型例题:22例10.双曲线C与椭圆 上 y_1有相同的焦点，直线 y=V3x为C的一条渐近线.(1)求双曲线C的方程;(2)过点P(0,4)的直线l、. uLur uuu uuu 口当 PQ 1QA 2QB ，且8时，求Q点的坐标.3交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).b 73解得a2 a1,b23,双曲线C的方程为22ydx13，以及运用考查意图：本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力 数形结合思想，方程和转化的思想解决问题的能力22解答过程：(I)设双曲线方程为 上上 a2 b222由椭圆二y_ 1,求得两焦点为(2,0),(2,0),84对于双曲线C：c 2,又y J3x为双曲线C的一条渐近线(H)解法一:由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.设l的方程:y kx4,A(x”y1), B(M,y2)MQ(uuuQPQuun1QA,4)41(X1 一，W).k1 (x14)Xi41y1yiQ A( , y1)在双曲线C上,16/11、2了()k 116216 216 32 1 16 1 k322 一k 0.(16k2)32 116 216 k2 0.3同理有：(16 k2) 22 32 216, 216 k 0.3若16k2 0,则直线l过顶点，不合题意16k20,2 是二次方程(16 k2)x2 32x 160.的两根.22328， k2 4,此时k2 1630, k 2.所求Q的坐标为(2,0).解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设1 的方程，y kx 4,A(X1,y1),B(X2, y2)，则 Q(，,0). kuuu Lua八 uiu /Q PQ 1QA， Q分PA的比为1.由定比分点坐标公式得4k 10 L11X111Xi7(11)k 14y1一1卜同解法解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程:y kx4, A(。y) B(X2,y2),则 Q( - ,0) . kuurQ PQuuu1QAuuu2QB，4、，1(X1, y1)2 (X2k4 、 k,y2).iyi2y2，45Vi4 ,y21Vi1y2泸 3(y1y2)2%丫2.kx4代入2x21 得(3 k2)y2 24y 48 3k230.k20 ,否则l与渐近线平行.V1V2243Fy1y248 3k23 k2243 k2解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y kx 4,A(4,y1),B(X2,y2)，则、(4k，0)c 48 3k2 -3 kQ( 2,0).uuvQ PQuuv1QA,、,4、4)1(X1,y1).kX14k4k4.同理 kx1 4kx2 4kx14kx22(*)即 2k x1x2 5k(x1 x2) 8 0.kx 42L 1322消去 y 得(3 k )x 8kx 19 0.当3 k2 0时，则直线1与双曲线得渐近线平行，不合题意,3 k2 0.由韦达定理有:x1x28k3 k2193 k2代入(*)式得 k24,k2.所求Q点的坐标为(2,0).例11 .设动点P到点A(-1, 0)和B(1, 0)的距离分别为d1和d2, /APB =2 0,且存在常数入(0入v 1 =，使得d1d2 sin2 0 =入.(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出 C的方程；(2)过点B作直线交双曲线 C的右支于M、N两点，试确定入的范围使OM ON = 0,其中点O为坐标原点.考查目的本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知 识进行推理运算的能力和解决问题的能力.解答过程解法 1 : ( 1)在 APAB 中，AB 2，即 22 d d2 2d1d2cos24 (d1 d2)2 4d1d2sin2 ,即 d1 d2 1y44d1d2 sin2212 (常数)，点P的轨迹C是以A, B为焦点，实轴长2a 2M 的双曲线. 22方程为：士匕1.1(2)设 M (x1, y1)， N(x2, v2当MN垂直于x轴时，MN的方程为x 1 , M (1,1) , N(1, 1)在双曲线上.即,1 121 01疾,因为01,所以 近.122当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y k(x 1).22, X V由1y k(x ,1得:(122)k x 2(1)k2X (1)(k由题意知:V1V21)(12)k，所以XX22k2(1)k2X1X2(1)(k2).(1 因为OM ONX1X2V1V2X1X2oX1X2o由知,解法2:(1)当X)因为当X1又kMNk2(X11)(X21)k2 2(1)V0,k2k2同解法M(X1,N在双曲线右支上,(1)2N(X2,所以(12-X21,1时,所以X2时,kBE上xo由/MON 得2XoMN的中点为E(xoXo.1所以（1)V22Xo于是由(1(1)Vo)Vo因为Xo所以解得：-5-22X112X212V12V2所以2Vo(1)V2kMN2XoXo ；Xo VoMN22(1)Xo(1(1%Xo,Xo 2(1)Xo由第二定义得)2Xo-)2.(1得 )2,Xo1,又。2 32.由知_5.321,考点7利用向量处理圆锥曲线中的最值问题MN2(1)22 3e(X1 X2)22a利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用 解析几何知识建立等量关系容易例12.设椭圆E的中心在坐标原点 O,焦点在x轴上，离心率为叵,过点C( 1,0)的直线uuur交椭圆E于A、B两点，且CAuuu2BC ,求当 AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为故可设椭圆方程为2x23y2 t(t 0),直线方程为my x2x2my2 工一3yt 得：(2m2x 13)y24my 2 t 0 ,设 A(x i,y1), B(x4my1 V2 2m 3uuiruuu ,又 CA 2BC,故(x1 1,y1) 2(1 x2, V2 ,即yi2y 2由得：y8m2， y22m2 34m2 二，2m 3则 Saob 1|y1my2|6|犷-|=6332|m| 目 |m|此时2 t丫也2-1 2m2 3所以，直线方程为叵时，AOB面积取最大值，2232m,即 t 10,(2m2 3)2x巫y 1 0 ,椭圆方程为2x2223y 10.小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易uuu例13.已知PA (x- uuu病 y)，PBl uuu uur(x 痣,y),且 |PA| |PB| 6, 求 |2x 3y 12| 的取大值和最小值.解答过程：设P(x,y)A( -5,0)B(j5,0),一 ,uuu因为|PA |uuu|PB|所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆,椭圆方程为3cos , y 2sin ,则|2x 3y12|=|6&cos(-) 12|，4当cos( _)1时，|2x 3y 12|取最大值12 6展,当cos(-) 1时，|2x 3y 12 |取最小值12 6氏小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算 考点8利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域 问题.2例14. (2006年福建卷)已知椭圆上y2 1的左焦点为F,(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程;。为坐标原点.(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与X轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.考查意图：本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力解答过程：(I) Qa22,b21,1,F( 1,0), l : x 2.Q圆过点O、F,圆心M在直线xx1上.2设M(1力则圆半径22)2)由 OM| r,得“ 2)2 t232,解得t .2.所求圆的方程为(x 1)2(y(II)设直线AB的方程为y k(x i)(k 0),2代入 土 y2 1 整理得(1 2k2)x2 4k2x 2k2 2 0.2，Q直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根.记 A(X,y)B(X2,y2), AB 中点 N(x0,y0),一2则 X Xx1 x222k 1AB的垂直平分线NG的方程为y y01 ,、一(x X0).kXgc 7曰0,信X0kyo2k22k2k2_ , 21 2kk22k2 11；-2 Z4k 2Xg0,点G横坐标的取值范围为I).2例15.已知双曲线C: X_2 a2y2 1(a 0,b b20） , B是右顶点，F是右焦点，点 A在x轴正半轴上,且满足|戕|,|潴|,|群|成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线1,垂足为(1)求证:P, uuu uuu PA OPuuu uir PA FP ;(2)若1与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E ,求双曲线C的离心率e的取值范围.解答过程：（1）因歌|,|OB|,|群|成等比数列,uuu uur |OB | |OA | uuu|- |OF|2aA( ,0)，c直线1 ： ya,y (xbb y -xac)P(a-,ab)故:uurPA(0,abuuu一),OPa2 ab ur (-,-),FP c cb2ab)c则:uurPAuuuOP2,2a bcuur urPA FP,即uuu uurPA OPuuuPAuurFP;uur(或PAuuu(OPuirFP)uuu PAnr(PFuuuPO)uuuPAuuuOFuuuPAuur OPuuuPAuirFP)b(X2a yc)(b22,2a b4a、22)xb4一2-2 cxb4 2b2b2)由 xX24 2 ,a c (丁2 2、a b )（或由kDFb2kDO4 a b7a0得:b2e 2.b b2 a收）小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重,而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标(1)(2)试求r已知a (x,0)，b (1,y) , (a(a 73b)，求点P(x, y)的轨迹C的方程;若直线y kx m(m 0)与曲线C交于A、B两点,D(0, 1),且 |AD | |BD |,m的取值范围.解答过程：(1) a J3b =(x,0)J3(1,y)(xa /3b = (x,0)(1, y) (x,3b) (a . 3b)r -r r _r r 因(a J3b)(a 73b),故(a即(x 、3, 3y) (x,3, 、3y)x2 3y2 3 0故P点的轨迹方程为y2 1.y kx m由 22 得：(1x2 3y2 3_22_ 2 _3k )x6kmx 3m 3 03k2)设 A(x 1,y1)，B(x 2A2) , A、B 的中点为 M(x 0,y)则 (6km)2 4(1 3k2)( 3m2 3) 12(m2 16kmXi X2, 2，Xo1 3k即A、B的中点为(3kmXi x22m3 km2 1 3k2y0kx 0 mm23k21 3k21 3k则线段AB的垂直平分线为：y(1 3k23km1 3k2)将D(0, 1)的坐标代入，化简得:4m 3k24m 0 ,解之得m 0或m4,22 八m 13k0 /日 2则由得：m24m 3k2 12又4m 3k 11,所以m).1故m的取值范围是(一,0)U(4, 4小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立例17.已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点 A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的uur uur 中心O,且AC BCuur0, |BC|uur2|AC |(1)求椭圆的方程;(2)如果椭圆上的两点P,QPCQ的平分线垂直于是否总存在实数入，使得uurPQuur2AB ?请说明理由;解答过程：(1)以。为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 A(2,0)r 、一x2设椭圆方程为一41,不妨设C在x轴上方,由椭圆的对称性,uur|BC|uur uur uur uur2 | AC | 2 |OC | |AC | |OC|uur uuu又AC BC 0ACOC,即OCA为等腰直角三角形,由A(2,0)得：C(1,1),代入椭圆方程得:2即，椭圆方程为4(2)假设总存在实数入,uuu使得PQuuirAAB ,即 AB/ PQ,由 C(1,1)得 B(1,1)，则kAB0 ( 1)2 ( 1)若设CP ： yk(x1)k(x 1) 1 ,x2 3y2由44y k(x1) 1由 C(1,1)得 x由韦达定理得:_ 22_(1 3k2)x2 6k(k_ 2 一1)x 3k2 6k 11是方程(13k2)x2 6k(k1)x 3k2 6k0的一个根,3k2 6k 1251 3k以k代k得xQQ3k2 6k 1251 3k故 kpQ 组屈 kQ)2k 1,故 AB/PQ,X p Xq x p x q 3uuuuuir即总存在实数入，使得PQ2AB .评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题考点10利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题进uur AB ,直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组,一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围uuur例18 .设G、M分别是 ABC的重心和外心，A(0, a) , B(0,a)(a0),且GM(1)求点C的轨迹方程；(2)是否存在直线 m,使m过点(a,0)并且与点 C的轨迹交于 P、Q彩uur uuurOP OQ 0 ?若存在，求出直线 m的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：(1)设C(x, y),则G(- y)，33uuuur uurx因为 GM AB ,所以 GM/ AB ,则 M( ,0),3由 M 为 ABC 的外4 则 |MA | |MC |,即 J(|)2 a2 j(g x)2 y2 ,22一一 x y整理得：1(x 0);3a a(2)假设直线 m存在，设方程为y k(x a),y k(x a)2222222田x22 1(x3a a得：(1 3k )x 6k ax 3a (k 1) 0, 0)设 P(x1,y1),Q(x 2, y2),则 x1 x26k2a3a2(k2 1)2 ? X1X2_ 21 3k21 3k21 22ryy2k (X1 a)(x 2 a) k x 1X2a(x1X2)a2 =2k2a21 3k2uuu uur由 OP OQ 0 得：x1x2 y1y2 0,-2 , 22 2即 3a （k 2 2k a20，解之得 kJ3 ,13k13k又点（a,0）在椭圆的内部，直线 m过点（a,0）,故存在直线m,其方程为yT3（x a）.小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；（2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组 成的方程组的求解问题.【专题训练与高考预测】、选择题1 .如果双曲线经过点（6,於）,且它的两条渐近线方程是22A. 3 L 136 922 .已知椭圆三_3m2B.2 y 5n2程为A. x15y2B. y3 .已知F1,F2为椭圆二 a22L 匕 1 C.8191和双曲线15x 22y21(ab2x2 2m2 x -92 y 3n2y2 1D.1-x32x18有公共的焦点,那么双曲线方程是（）那么双曲线的的渐近线方C.小 D. y3x4b 0）的焦点，M为椭圆上一点， MF1垂直于x轴,且 FMF2 60 ,则椭圆的离心率为（）A. 124.二次曲线B 2 B.222x_ y_4 mC.史3D.22, 1时，该曲线的离心率 e的取值范围是（）A. _2 _3B.2,2C _6D.2,236iT,T5 .直线m的方程为y kx 1,双曲线C的方程为x2y2 1 ,若直线m与双曲线C的右支相交于不重合的两点，则实数k的取值范围是（A. ( , 2, , 2) B. (1, .2) C. .2, .2) D. 1, 2)6 .已知圆的方程为x2 y2 4,若抛物线过点 A（ 1,0）, B（1,0）,且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程为（2 222A. y- 1(y 0) B. 1(y 0)3 4432222C. - -1(x 0) D. 1(x 0)3443二、填空题227 .已知P是以Fl、 F2为焦点的椭圆x2 与I(a b 0)上一点，若函PF2 0 a btan PF1F2 1，则椭圆的离心率为 .28 .已知椭圆x，2y2=12, A是x轴正方向上的一定点，若过点 A,斜率为1的直线被椭圆 截得的弦长为 世，点A的坐标是.3229. P是椭圆上 y- 1上的点，E,F2是椭圆的左右焦点，设|PFI IPF2I k,则k的最大值43与最小值之差是.10 .给出下列命题:圆(x 2)2 (y 1)2 1关于点M( 1,2)对称的圆白方程是(x 3)2 (y 3)2 1; 2 2双曲线- L 1右支上一点P到左准线的距离为18,那么该点到右焦点的距离为注；16 92顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4, 3)的抛物线方程只能是v2-X ；y x4P、Q是椭圆x2 4y2 16上的两个动点，O为原点，直线 OP,OQ的斜率之积为 1 ,4则|OP|2 |OQ|2等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上 .三、解答题_uuu uuruuuu11 .已知两点A(应0), B( J2, 0),动点P在y轴上的射影为 Q, PA PB2PQ2,(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设直线m过点A,斜率为k,当0 k 1时，曲线E的上支上有且仅有一点 C到直 线m的距离为 夜，试求k的值及此时点C的坐标.12 .如图，F( 3,0), F2(3,0)是双曲线C的两焦点，直线x ，是双曲线3C的右准线，A1, A2是双曲线C的两个顶点，点 P是双曲线C右支上异于A2的一动点，直线 AiP、A2P交双曲线C的右准线分别于 M,N两点,(1)求双曲线C的方程;(2)求证:uuur uuu 日 一土 FM F2N 是te值.13.已知OFQ的面积为S,且uuuOFuuuFQ1,建立如图所示坐标系,1, |群| 2,求直线FQ的方程;2 设|群| c(c 2), S 2c,若以O为中心，F为焦点的椭圆过点4Q,得最小值时的椭圆方程.14 .已知点H( 3,0),点P在y轴上，点 Q在x轴的正半轴上，点 M在直线PQ上，且满3 uuuu-MQ， 2uuu uuur uuur足 HP PM 0 , PM(1)当点P在y轴上移动时，求点 M的轨迹C;(2)过点T( 1,0)作直线m与轨迹C交于A、B两点，若在E(Xo,0),使得ABE为等边三角形，求X0的值.(n)若点P坐标为(x0, y0),为PM与PN的夹角，求tan。.1 . C.提示，设双曲线方程为(lx y)(lx y)，将点(6, J3)代入求出即可.332 . D .因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为 (J3m 5n ,0),双曲线焦点为(2m2 3n2,0),由 3m2 5n22m2 3n2得|m| 2721n | ,所以，双曲线的渐近线为y 6|n|2|m|3 . C.设 |MFi |d ,则 |MF2|2d,IEF2 |c 2c e - 一阡2|3da 2a |MFi | |MF?| d 2d4 .C.曲线为双曲线，且 W5 1,故选2C;或用22a2 4 , b2 m来计算.5. B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组6. B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义二.7.解:设c为为椭圆半焦距，: PF1 PF2 0 ,PF1PF2又tanPF1F2,PF12|PF2,PF1 PF2PF22PF1 2(2c)22a解得:(c)2a选D.8.解:设 A(X00) (X00),则直线l的方程为y=x-x 0,设直线l与椭圆相交于P(X1y1)Q(X2、y2),由y=x-x 0可得 3x2-4xox+2x 02-12=0 ,X1X2x2+2y2=1224x02x012 |J1|，X1 X2，凡33|X1X2 |(X1 X2)24x1x2j 22-16x0 8X0482 :“2rr 3 c36 2x0V1 X2 | X1 x2 |，4.14 一 2“ c 2即 2 2 - 3 36 2x0 33xo2=4 ,又 xo0 ,x0=2,A (2, 0).9. 1; k |PF) | |PF2|(a ex)(a ex)10.三.11 .解（1）设动点P的坐标为（x, y）,则点uuuQ(0, y) ， PQuuir_(x,0) , PA(J2 x, y),uuu 一PB ( 72 x, y),uur uuu .PA PB x2uuu uuuuulur因为PA PB 2PQ2，所以x2 22x2,即动点P的轨迹方程为：y2 x22;(2)设直线 m： y k(x72)(0k 1),依题意，点C在与直线m平行，且与 m之间的距离为J2的直线上,设此直线为m1: y kx b ,由J叵 b| 42,即b2 2J2kb 2,k2 1把 y kx b 代入 y2 x2 2,整理得：(k2 1)x2 2kbx (b2 2) 0,则4k 2b2 4（k2由得：k”5此时，由方程组 y2y12 .解：（1）依题意得：1)(b2 2),10b ，2,5. 10x 55x2 22 a c 3,1 c_ 一 2 一 20 ,即 b 2k 2 ,C(2 .2, .10).42 一一,所以 a 2, b 5,322所求双曲线C的方程为1;45(2)设 P(x0,y),M(x1,y1)，N(x2,y2),则 A1(2,0)A2(2,0),uuiuA1P (x。 2,y。)uuuuA2P(xuuuur 102,y0)，A1M(1,y1)3uuurA2N(MAuuuuuuuur因为A1P与A1M共线，故(x02)y110y0y1就:同理一22y 03(x0 2)uuur 13uuu5则 F1MF2N ( 3,y2)LUUL所以FMy1yL 6520y213 .解：(1)uuu因为| OF | 2，则 F(2,0)29(x0101OF4)(2,0)uuuuuuOF FQ 2(x0 2)1,解得x。1 m1由S 21OF|y0|y01 2得yo所以，PQ所在直线方程为y x(2)设 Q(xo,y。)，因为 l OF| c(cLUU UUU由 OF FQ c(x0c) 1 得:x01 Q(cc3 皿 一c,则 yO4LLir 2 |OQ|2 (c32 1)2 c易知，当c 2时,uur2设椭圆方程为今a所以，椭圆方程为14 .解:(1)设 M(x,uuu 由HPULTPM 0 得:_ ,2、65 20 5(x6549(x2 4)设 Q(xo, yo)5 Q(2,2),则 FQ(x0c,y。)10 .uuu 则FQ(x02,y)，5 |OQ|最小，此时Q(5,2 y_101,(a bLULT 由PM(3,3y)22a b254a23 uuuuMQ 得：P(0,20,一 2即y 4x94b2由点Q在x轴的正半轴上，故x 0,即动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点，以(2)设 m : y k(x 1)(k 0),代入 y2.222k x 2(k_22)x k 0设 A(x 1,y)则 x1 x22 ab2106xQ(3,0)(1,0)为焦点的抛物线，除去原点;4x得:B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个实根,一 2 一一 2 一2(k2 2)2 k2 2(2 ) , x1x2 1,所以线段AB的中点为(-) kk k2线段AB的垂直平分线方程为 v C 1 (x 2 k ) ,y k k( k2 )0，x 1 1，得 E(1 1,0) , kk因为ABE为正三角形，则点 E到直线AB的距离等于又 |AB| 的 x2)2 (y1 y2)2所以，2，.3彳丁k22 -2-J1 k ， |k|解得:x015 .解：()F1 ( c,0),则xmc, yMb2kOMb2acb_,而与AB是共线向量, ab2，b=c,故e 包ac(2)设 FQ| J F2Q r2, E QF2 r1 r2 2 a, FR 2c,222r1也 4ccos 2r22(r12)2n22ri2当且仅当r1r2时，cos 0 =0,16 .解:(I )记 P (x,y),由 M4c2 9ri20,-0)N (1uuuu PMuuirMP(1 x, y), PNNP所以MPMN 2(1 x) . PM PN2a一)22x, y) , MNNMy2 1, NM NP(2,0).2(1 x).MPMN ,PM PN, NM NP是公差小于零的等差数列等价于122(1 x)2(1x)2(1 x)2(1 x) 0所以，点p的轨迹是以原点为圆心，J3为半径的右半圆.(n)点uuun uuirPM PNP 的坐标为(x, y)。PM PN x02 y02 1 2 . (1x。)2y。2. (1x。)2y。2(42x。)(42x。)2 4xo因为 0 x03 ,所以cosuuuu LUUT PM PN wuu uiur PM PN所以cos 1,02sin 1 costansin1 J 24 Xocos3 x2 V。2215.已知椭圆，4 1(a b 0)的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M向x a2 b2轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量aB与OM是共线向量.(1)求椭圆的离心率 e;(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求/F1QF2的取值范围；16 .已知两点M (-1 , 0) , N (1 , 0)且点P使MP MN , PM PN, NM NP成公差小于零的等差数列，(I)点P的轨迹是什么曲线?
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