流体力学第二章(基本方程) 2009年

1第一章 总结1流体的物理性质和宏观模型 （1）流体的主要物理性质：流动性、粘性和压缩性；（2）流点的概念和流体连续介质假设的内容。2流体的速度和加速度 （1）描写流体运动的两种观点；（2）流体的加速度的定义、物理含义、计算；（3）微商算符 的物理实质及其应用。Vtdtd 23迹线和流线（1）迹线和流线的概念；（2）迹线和流线的求解；（3）迹线、流线重合的条件4速度分解（1）亥姆霍兹速度分解定理的主要内容35涡度、散度和形变率（1）涡度、散度和形变率的定义，物理含义；（2）涡度、散度和形变率的计算；（3）形变张量的概念。6速度势函数和流函数（1）速度势函数的定义、表示流体运动的方法；（2）流函数的定义、表示流体运动的方法；（3）速度势函数、流函数表示二维流动。4第二章 基本方程 5第二章 基本方程 6第一节连续方程 7Lagrange 观点下质量守恒定律：某一流体块（流点）在运动过程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质量是守恒不变的。拉格郎日型连续方程z x y()0dmdt0dVdt 80Vdtd (1)0/0(2)0/0(3)0/0VddtVddtVddt流体体积增大流体密度减小；流体体积减小流体密度增大；流体体积不变流体密度不变。Lagrange 观点下连续方程的物理意义？9 Vtdtd拉格郎日型连续方程0Vdtd 欧拉型连续方程0Vt10Vt(1)0/0(2)0/0(3)0/0VtVtVt 有流体净流出流体局地密度减小；有流体净流入流体局地密度增大；流体无净流出或净流入流体局地密度不变。欧拉型连续方程的物理意义11通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中称之为自由表面。实际物理现象：当水面向某处汇集时，该处水面将被拥挤而升高；反之，当该处有水向四周流散开时，将使得那里的水面降低。水空气交界面12具有自由表面的流体连续方程0hhVt0hVhhVt h0Vt 欧拉型连续方程131、作用于流体的力 质量力流体的作用力表面力分析对象：流体中以界面 包围的体积为 的流体块第二节 作用于流体的力、应力张量 14质量力（又称为体力）：是指作用于所有流体质点的力。如重力、万有引力等。（1）质量力是长程力：它随相互作用的元素之间的距离的增加而减小，对于一般流体的特征运动距离而言，均能显示出来。（2）它是一种分布力，分布于流体块的整个体积内，流体块所受的质量力与其周围有无其他流体存在并无关系。通常情况下，作用于流体的质量力通常就是指重力。15如果 表示单位质量的流体的质量力，规定其为：其中 是作用在质量为 的流体块上的质量力。不难看出，可以看做力的分布密度。F0limmFFmF F例如：对处于重力作用的物体而言，质量力的分布密度或者说单位质量的流体的质量力就是重力加速度 。gm 16表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之间的接触面上所受到的相互作用力。如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面上的摩擦力等。17（1）表面力是一种短程力：源于分子间的相互作用。表面力随相互作用元素之间的距离增加而迅速减弱，只有在相互作用元素间的距离与分子距离同量级时，表面力才显现出来。（2）流体块内各部分之间的表面力是相互作用而相互抵消的。（3）表面力也是一种分布力，分布在相互接触的界面上。18定义单位面积上的表面力为：其中 是作用于某个流体面积上 的表面力0limppp 19矢量 是质量力的分布密度，它是时间和空间点的函数，因而构成了一个矢量场。而矢量 为流体的应力矢，它不但是时间和空间点的函数，并且在空间每一点还随着受力面元的取向不同而变化。所以要确定应力矢 ，必须考虑点的矢径 、该点受力面元的方向（或者说面元的法向单位矢 ）以及时间 t。确切地说应力矢是两个矢量（、）和一个标量的函数 t。nrpF质量力和表面力有着本质的差别。pnr20取如图所示的流体四面体元，分析其受力情况。MxyzABCnnpm nx y z 质量为F m质量力为表面力？21按照牛顿第二定律，可得：zzyyxxnnppppmFmdtVd MxyzABCnnpnx y z 说明：应力矢的下标取其作用面元的外法向，并且规定为外法向流体对另一部分流体的作用应力。22根据作用力与反作用力原理，方程可以写成如下形式：zzyyxxnnppppmFmdtVd zzyyxxnnppppmFmdtVd 23四面体体积取极限时：上式为作用于流体微元的应力矢之间的相互关系。zzyyxxnnpppp zzyyxxnnppppmFmdtVd 24MxyzABCnnx y z 考虑面元间的关系：nznznynynxnxnznnynnxn ,cos,cos,cosPPAMKnx25将其在直角坐标系中展开，则有：zzzyzyxzxnzzyzyyyxyxnyzxzyxyxxxnxpnpnpnppnpnpnppnpnpnp于是，上式可以改写为：zzyyxxnpnpnpnpzzyyxxnnpppp 26zzzyzyxzxnzzyzyyyxyxnyzxzyxyxxxnxpnpnpnppnpnpnppnpnpnp引进应力张量：zzzyzxyzyyyxxzxyxxpppppppppPnpn P27 例2-2-1 说明应力 、表示的物理含义。0yxp0 xxpijp28 nnnnpnppnppnnn通常应力矢量也可以表示为：切应力法应力29习题2-2-1已知流体中某点的应力张量为 试求作用于通过该点，方程为 的平面上的法应力。aaaaaa 02022013zyx30其中 为反映流体粘性的粘性系数或内摩擦系数；而流体与其他物体的粘性系数则称为外摩擦系数。dzduzx 牛顿粘性定律建立了粘性应力与流速分布之间的关系。31IVdivpA)32(2 P1 0 00 1 00 0 1I牛顿粘性定律建立了粘性应力与流速分布之间的关系，但它的不足在于仅仅适用与流体直线运动。牛顿将以上的粘性应力与形变率的关系推广到任意粘性流体运动，即广义牛顿粘性假设：32nnnpp nIVdivnAn 322nAn 2说明：根据广义牛顿粘性假设的应力张量计算得到的应力包含了流体压力和流体粘性力两部分即：不可压流体IVdivpA)32(2 P牛顿粘性流体的概念：满足牛顿广义粘性假设的流体。33流体的运动方程（普遍形式）纳维-斯托克斯（N-S）方程（具体形式）欧拉方程（理想流体的运动方程）静力方程（最简单情形的运动方程）34在运动流体中选取一小六面体体元，其边长分别为：为了导出流体的运动方程，首先来分析小体元的受力情况。xyz,=+dVx y zdt 质量力 表面力根据牛顿第二定律：xyzx y z 35xxmFFx y z x方向的质量力36zyxxppxxxx zypxx 小体元所受的x方向的表面力=前后侧面之和：周围流体对小体元的六个表面有表面力的作用，而通过六个侧面作用于小体元沿 x 方向的表面力分别为：前后侧面：zyxxpxx xxxpxxpzy x?37因此，周围流体通过六个侧面作用于小体元沿x方向的表面力合力为：zxyyppyxyx zxpyx yxzzppzxzx yxpzx 右左侧面：上下侧面：zyxzpypxpzxyxxx 38据牛顿运动定律：小体元受力等于其质量与加速度的乘积：zyxzpypxpzyxFzyxdtduzxyxxxx zpypxpFdtduzxyxxxx 1单位质量流体在 x 方向的运动方程方程可以简化为：39单位质量流体在 y 方向的运动方程单位质量流体在 z 方向的运动方程同理可得：zpypxpFdtdwzzyzxzz 1zpypxpFdtdvzyyyxyy 140矢量形式zpypxpFdtVdzyx 1PFdtVd 1 xxxyxzyxyyyzzxzyzzpppPpppxyzppp 或者：流体运动方程的普遍形式41流体运动方程的普遍形式纳维-斯托克斯方程广义牛顿粘性假设42IVdivpA)32(2 PPFdtVd 1流体运动方程的普遍形式广义牛顿粘性假设VVgraddivpFdtVd2311 这就是适合牛顿粘性假设的流体运动N-S方程。43定义 流体运动学粘性系数，记作 。0Vdiv /VpFdtVd21 wzpFzwwywvxwutwvypFzvwyvvxvutvuxpFzuwyuvxuutuzyx222111 直角坐标系中形式为：对于不可压流体N-S方程简化为：44其中 是单位质量流体的加速度，为单位质量流体所受的质量力。压力梯度力粘性（粘滞）力VpFdtVd21 dtVd/F 45VVgraddivpFdtVd2311 pFdtVd 1理想流体（不考虑流体粘性），则纳维-斯托克斯方程：可以简化，相当于去掉方程中含有粘性的项。于是，方程简化为：欧拉方程：理想流体的运动方程46如流体静止时，即流体的速度和加速度的个体变化均为零，作用于流体的力应该达到平衡。此时，可得如下形式方程：即所谓的。pF 1047假设流体所受的质量力就是重力，静力方程可以变化为：pkg 1zgp 上式表明：；流体静止时的压力，可以用流体柱的质量来表示。或者静力方程应用举例：48外界对系统所作的功率（内能+动能）的变化率表面力作功率 qdtdVpVFVTcdtdn2/2质量力作功率热流量的变化率流体中以界面 包围的体积为 的流体块总能量的变化率49 qdtdVpVFVTcdtdn2/2方程变换 2/2/22VTcdtdVTcdtd总能量的变化项总能量的变化项：dtdAAdtd dtdqqdtd热流量的变化率热流量的变化率50 qdtdVpVFVTcdtdn2/2 VPnVpn表面力作功率项：nP VP Vdiv P V51012/2 dtdqVPdivVFVTcdtd可以改写为：dtdqVPdivVFVTcdtd 12/2 qdtdVpVFVTcdtdn2/2单位质量流体的能量方程，它是能量守恒定律在流体运动中单位质量流体的能量方程，它是能量守恒定律在流体运动中的具体表现形式。的具体表现形式。流体块的能量守恒方程52PFdtVd 1VPVFVdtd 122VPVPVFVdtd 1122根据流体的运动方程上式两端同乘速度矢量右端第二项展开后，则有：53EVdivpVPdivVFVdtd 122单位质量流体微团的动能方程物理意义：质量力作功率表面力作功率外力作功率引起的动能变化利用广义牛顿粘性假设IVdivpA)32(2 PVPVPVFVdtd 112254EVdivpVPdivVFVdtd 122 粘性耗散项膨胀、收缩在压力作用下 引起的能量转换项：动能内能的转换流体粘性动能内能膨胀收缩 动能内能动能内能流体压缩性5556对于理想流体，运动方程为：pVVFVdtd 22理想流体动能的变化，仅仅是由质量力和压力梯度力对流体微团作功造成的，而与热能不发生任何转换。理想流体的动能方程可以写成：pFdtVd 1上式两端同乘速度矢量57FdtdVVF假设质量力是有势力，且质量力位势为 ，即满足：如考虑 为一定常场，则有：58pVVdtd 22pVVFVdtd 22理想流体的动能方程59pVVdtd 22022 pVdtd理想流体微团的动能方程：不可压缩不可压缩定常pVpVtpdtdpdtdpVdtd 122 pdtdVdtd220ddt60022 pVdtdconstpV 22等式右端括号内部分的个体变化为零，也即：61定常运动:流体运动的迹线和流线是重合constpV 22constpgzV 22于是沿流体运动的流线也有：伯努利方程62例2-4-1理想不可压流体，所受质量力仅为重力的情况下作定常运动时，其中一流管如图所示，已知道O点压力和速度均为零，讨论此时图中处于同一流线上A、B两点的流速VA、VB及压力PA、PB间的所满足的关系。O63流体力学的基本方程组：运动方程连续方程0Vt VpFdtVd21 考虑流体为均匀不可压缩（=常数），且粘性系数为常数（=常数）的情况下，方程组是闭合的。,pwvu64流体力学问题的一般方法，就是求解这样的闭合的方程组并使之适合应当的初始条件和边界条件。由于流体运动方程含有如平流加速度的非线性项，它是一个非线性方程组，在数学上要求解这样一个非线方程组是难以做到的。仅仅通过简单问题的求解了解基本方法65一、平面库埃托流动0,0wvuh h Uuzx考虑如下简单流动，设流体在两相距为2h的无界平行平板间，沿 x 轴作定常直线平面运动，此时满足：0,0wvu上平板匀速运动，下平板静止。66考虑了xoz平面的运动，则 。：0/yu 0/xu )(zuu 连续方程可见，即仅仅是 z 的函数67纳维斯托克斯方程简化为：积分zpgypzuxp 10101022)(1xpgzp 0/tu 0/dtdwdtdvdtdu进而有：gFFFzyx,00,0wvu沿沿 x x 轴作定常直线平面运动轴作定常直线平面运动68方程第一式可以得到：221zuxp 积分上式可以得到：BAzzxpu212 )(zuu)(1xpgzp 69考虑这样的简单情况，设在x方向的压力分布均匀，即：考虑如下边界条件：最终可以得到：0/xp 0,uhzUuhzhzUu12上式即给出了平面库托流动的流速分布，它表明流速沿z轴呈线性分。BAzzxpu212 70二、平面泊稷叶流动0,0wvuh h uzx在平面库托流动的基础上，假定沿 x方向的压力梯度不为零，而上、下板处于静止状态。/0px,0,0zh uzh u71此时，边界条件为：0/xp 0,uhz2221zhxpu 即为平面泊稷叶流动的流速分布，它表明流速沿 z 轴方向呈抛物线分布。将边界条件代入方程解式中，可以得到：BAzzxpu212 理想化的无边界、无限深和密度均匀的海洋，因海面受稳定的风长时间吹刮，出现铅直湍流而产生的水平湍流摩擦力，与地转偏向力平衡时出现的海流。18931896年，挪威海洋调查船“前进”号横越北冰洋时，F.南森观察到冰山不是顺风漂移，而是沿着风向右方2040的方向移动。1905年，V.W.埃克曼研究了这种现象，得出了著名的埃克曼漂流理论。74考虑粘性系数和密度均为常数 的流体，在旋转角速度为 的旋转坐标系中的运动，此时出现了科氏力（地转偏向力）的作用。而科氏力为：,const 0Vuivjw1222FkVviuj 假设流体作平面运动，该平面绕轴转动，则流速表示为：75假设流体相对于旋转参考系无加速度，且无质量力作用，其运动方程（NS方程）为：wzpvypuuxpv22210120120 76vuuv2222 假设p与x，y，z无关wzpvypuuxpv22210120120 0w77222222dzvdudzudv 考虑u、v 仅是 z 的函数，即满足：；则可得到如下关系式)(zuu)(zvv 由以上二式所确定的流动即为埃克曼流动。vuuv2222 78引进复速度，方程组可以变为：222222dzvdudzudv ivudzdivui222 79ivudzdivui222 ivudzdivui22)/(2 2)/(m ivudzdivuim2222ivuW2222dzWdiWm80求解以上方程，并使之满足这样的边界条件：VvUuzvuz,00,zimiVUivu1exp则可得：2222dzWdiWmzimCzimCW)1(exp)1(exp21iVUC102C81mzmzVmzUvmzmzVmzUuexpsincosexpsincos上式表明，在科氏力与粘性力相平衡的条件下，自海面向下，洋流速度逐渐减小，以至在很深的海底减弱消失，且流动方向自上而下绕轴呈顺时针旋转。当然，这里仅仅讨论了最简单的结果，埃克曼流动在海洋学和气象学的实际应用中要复杂的多。zimiVUivu1exp82第二章总结 1连续方程 （1）Lagrange观点下的流体连续方程；（2）Euler观点下的流体连续方程；（3）自由表面的流体连续方程。2作用于流体的力、应力张量 （1）质量力和表面力；（2）应力张量；（3）广义的牛顿粘性假设。833运动方程 （1）NavierStokes方程；（2）欧拉方程；（3）静力方程；4能量方程 （1）动能方程；（2）伯努利方程5简单情况下的N-S方程的准确解