高一必修一复合函数的单调性

复合函数的单调性复合函数的单调性思考思考例1（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数，函数g(x)在区间D上是增函数。问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？为什么？12121212121122,()()()(),()()()()()()()()x xDxxf xDg xDf xf xg xg xF xF xf xg xf xg x且在区间 上是增函数，在区间 上是增函数)()()()(2121xgxgxfxf)()(,0)()()()(212121xFxFxgxgxfxf即所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数是（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数，函数g(x)在区间D上是减函数。问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？为什么？（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数，函数g(x)在区间D上是增函数。问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？反例反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)=f(x)+g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性不能是同加，单调性不变例2 如果 是m,n上的减函数，且 ，是a,b上的增函数，求证 在m,n上也是减函数。g x ag xb f x fg x 12122121,(),()().,.,x xm nxxg xm nag xbag xg xbf xa bfg xfg xfg xm n证：且是上减函数，且又是上的增函数,在上是减函数.复合函数:判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。定义域：1、若已知 的定义域为a,b,则复合函数 的定义域由 解出。2、若已知 的定义域为a,b,则函数 的定义域即为 fg x f x ag xb fg x fg x f x,xa bx当时，函数g的值域。小结：小结：同增异减同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的。研究函数的单调性，首先考虑函数的定定义域义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。的单调性。的单调性，从而得出与的单调性，必须考虑对于复合函数)()()()(xgfyxguufyxgfy)(xgu)(xfy)(xgfy 增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数复合函数单调性复合函数单调性注：注：v1、复合函数、复合函数y=fg(x)的单调区的单调区间必须是其定义域的子集间必须是其定义域的子集v2、对于复合函数、对于复合函数y=fg(x)的单的单调性是由函数调性是由函数y=f(u)及及u=g(x)的的单调性确定的且规律是单调性确定的且规律是“同增，同增，异减异减”例例1.设设y=f(x)的单增区间是的单增区间是(2,6)，求函数，求函数y=f(2x)的的单调区间。单调区间。2,2,62,6,22,6,4,0.24,024,024,0 xxfttxxxxxxfxfxxfx 解：令t由已知得，在上是增函数。而t又t在上是单调递减的，由复合函数单调性知：t在上是单调递减的。的单调减区间是。2212,3ux 又在上是减函数。2432,3yxx 在上是减函数。2432,3。yxx故函数的单调递减区间为小结小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。是定义域的某个区间。？）的单调递增区间是什么问：函数34(2xxy.34.22的单调递减区间求函数例xxy，即解：03403422xxxx.3,131，即函数的定义域为x，故令uyxxu342.增函数是定义域内是的单调递uy 0542 xx解：。函数的定义域为,51,542uyxxu则令在定义域内是增函数。uy 上是减函数，在又,2122xu上是增函数。在2,上是增函数。上是减函数，在在1,5542xxy函数的单调区间。：求练习5412xxy（2）求复合函数的单调区间求复合函数的单调区间.注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.（1）掌握复合函数单调性的判断方法）掌握复合函数单调性的判断方法.小结小结同增异减同增异减（三）（三）求复合函数的单调区间求复合函数的单调区间.注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.（二）掌握复合函数单调性的判断方法（二）掌握复合函数单调性的判断方法.小结小结（一）（一）函数单调性解题应用函数单调性解题应用.1、已知单调性，求参数范围。、已知单调性，求参数范围。(有时候需要讨论有时候需要讨论)3、利用单调性求解不等式。、利用单调性求解不等式。(重在转化问题重在转化问题)2、利用函数单调性求函数的值域或最值。、利用函数单调性求函数的值域或最值。4、求函数单调区间的题型、求函数单调区间的题型(包括求复合函数单调区间包括求复合函数单调区间)同增异减同增异减