数值计算方法复习知识点

2015 计算方法复习1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange,会计算差商和Newton插值多项式和余项3. 会Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性4. 会写非线性方程根的 Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报校正法和经典四阶龙格库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；（复化）梯形公式和（复化）辛普生公式求积分；高斯-勒让 德求积公式第1章、数值计算引论（一）考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数 字；误差的传播。（二）复习要求1. 了解数值分析的研究对象与特点。2. 了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。3. 了解误差的定性分析及避免误差危害。（三）例题例1.设尸0.231是精确值*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。例2.为了提高数值计算精度，当正数x充分大时，应将ln（x-x2 -1）改写为ln（x + x 2 +1）。例3.37*的相对误差约是x*的相对误差的1/3倍.第 2 章、非线性方程的数值解法（一）考核知识点对分法；不动点迭代法及其收敛性;收敛速度；迭代收敛的加速方法；埃特金 加速收敛方法；Steffensen斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。（二）复习要求1. 了解求根问题和二分法。2. 了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。3. 理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4. 掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。5. 了解弦截法。（三）例题1为求方程心一疋一1=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并 建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（）x2(A),迭代公式xk +1(B)x 2, 迭代公式 xk+1x2k(C)X3 = 1 + X2,迭代公式= (1 + X2)1/3k+1kx(D) X3 -1 = X2 迭代公式 k+1X2LX2 + X +1kk解：X2在(A)中，12( X 1)3/212(1.6 -1)3/2 =1.076故迭代发散。应选择(A)。可以验证在(B), (C), (D)中，申满足厂1，迭代收敛。2.用Newton法求方程X -Inx = 2在区间(2, a)内的根，要求Xk一 Xk1Xk 10 一8 。解 此方程在区间(2,a)内只有一个根s，而且在区间(2, 4)内。设f ( X) = X 一 ln X 一 21f( x)=X2Newton 法迭代公式为X ln X 2 X (1 + ln X )X = x kk = kkk+1k 1 1/XX 一 1kkk = 0,1,2, A取 X0 = 3，得 s X4 = 3.146193221。X2 f (X )kk2X f(X )kk4.牛顿切线法是用曲线f(x)上的点的切线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f (x)3.设f (x)可微，求方程X2 = f (x)根的Newton迭代格式为Xk+1=Xk=0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的；两点的连线与x轴的交点的横坐标逐 步逼近f(x)=0的解.5. 试确定常数 p,q,r 使迭代公式aa 2X = px + q+ r k+1kX2X5kk 产生的序列x 收敛到命a，并使收敛阶尽量高.k解因为迭代函数为9 (X) = px + q + ra2，而X* = 3万根据定理知，要使收敛阶X 2X 5尽量高，应有X * =9 (X*)，9(x*) = 0，9 7 X*) = 0，由此三式即可得到p, q, r所满 足的三个方程为：p + q + r = 1, p 一 2q 一 5r = 0 , q + 5r = 0.5i解之得，p = q = 9, r =-，且申(3a)丰0，故迭代公式是三阶收敛的.P25.例 2-4P30.例 2-6P33.例 2-8P35 例 2-10P35.例 2-11第 3 章、线性代数方程组的数值解法(一)考核知识点高斯消去法，列主元消去法;矩阵三角分解法;平方根法；追赶法；迭代法的 基本概念，雅可比迭代法与高斯蚤德尔迭代法，超松弛迭代法SOR,迭代解数 列收敛的条件。(二) 复习要求1. 了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种范数。2. 掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。4. 掌握直接三角分解法，平方根法，了解追赶法，了解有关结论。5. 了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。6. 了解迭代法及其收敛性的概念。7. 掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛 (S0R)迭代法。(三) 例题1. 分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组123 _x114_252x2=18315x320解：1) Gauss消去法1231412314 _12314 _25218T014-10T01一4-10315200一5一4-2200一24-72回代 x3=3, x2=2, x1=12) 直接三角分解法(杜利脱尔分解)123 一1卩23 _252=2101一 43153-5 11_0024=LU解 Ly = b ， Ux=y 得 x=(1,2,3)T2. 用平方根法(Cholesky分解)求解方程组:12人解：由系数矩阵的对称正定性，可令A = LLT，其中L为下三角阵。3220求解翠（求解36丁一 6k220 丿贝 y |九i -=九 3=o=p( b)=o 1Jacobi迭代收敛Gauss-Seidel 迭代矩阵（1一10 2-2 10 2-2 02-2、B=-1101=1101=02-1G - S 12Gauss-Seidel 迭代发散.4已知方程组Ax = b，其中_ 2 1 1 -A=1 2 1b=11 1 21列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式; (2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解：（1） Jacobi迭代法：x 仇+i）= （1 一 x 仇）一 x（ k）/ 21 23 x（k+1） = （1 一 x（k） 一 x（k）/22 13x（k+1） = （1 一 x（k） 一 x（k）/23 12B = D1 （L + U）=Jacobi 迭代矩阵：p（B）=1收敛性不能确定12121201212120（ 2） Gauss-Seidel 迭代法：x（k+1） = （1 一 x（k） - x（k）/21 23 1，因而雅可比迭代法发散。2)高斯-塞德尔迭代矩阵为G(D_L)_1U 13 1丿(11 3(0110丿2，由3丿九2 + 九一30可知,p (G)23，因而高斯-塞德尔迭代法收敛。P68.例 3-3P68.例 3-4P72.例 3-5P76.例 3-7P77.例 3-8P78.例 3-9P79.例 3-10P88.例 3-15P89.例 3-16P91.例 3-17P98.例 3-24P110.例 3-30P111 .例 3-31P118.例 3-36第4章、插值法(一) 考核知识点插值多项式，插值基函数，拉格朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多 项式，差分与等距插值；分段线性插值；样条函数，三次样条插值函数。(二) 复习要求1. 了解插值的概念。2. 掌握拉格朗日(Lagrange )插值法及其余项公式。3. 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。4. 了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。5. 了解埃尔米特（Hermite）插值及其余项公式。6. 知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收 敛性。7. 会三次样条插值,知道其误差和收敛性。（三）例题例 1.设 f（）= ，f =I6,f =46，则 li（x）二-x（x-2）, f（x）的二次牛顿插值多项式为 N2（x）二16x + 7x（x -1）.;例2.设10（x）,1i（x）,12（x）,13（x）是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数，则 l (x)(x - 2)3 = (x - 2)3 jjj=例3.给定数据表：i = 123,4,5,xi12467f (x )i41011求4 次牛顿插值多项式，并写出插值余项。 解：xif (x )i一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-31540261176124611171061218由差商表可得4次牛顿插值多项式为：57N 4( x) = 4 3( x 1)+(x 1)( x 2) (x 1)( x 2)( x 4)4 6 60+(x 1)( x 2)( x 4)( x 6)18057=4 3(x 1)+ (x 1)( x 2) (x 1)( x 2)( x 4)6 60+(x 1)(x 2)(x 4)(x 6)180插值余项为R (x) = f 点)(x 1)(x 2)(x 4)(x 6)(x 7),e(1,7)。45!例 4 已知函数 y=f(x )的观察数据为试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn (对，并计算f( l)。解 先构造基函数x(x 4)(x 5)x(x 4)(x 5)1 (x)=0(2 0)(2 4)(2 5)84(x+2)(x4)(x5)(x+2)(x4)(x5)1 (x)=i(0 (2)(0 4)(0 5)40(x+ 2)x(x5)x(x+ 2)(x5)1 (x)=2 (4 + 2)(4 0)(4 5)24(x+2)x(x2)(x4)(x+2)x(x4)351 (x)=3 (5 + 2)(5 0)(5 4)所求三次多项式为 y 1 (x)P3(x)= =05 % x(x 4)(x 5)(x + 2)(x - 4)(x - 5)(3) x x(x + 2)(x 5)(x + 2)x(x 4)354024=X 84+-1x 3 x 2 x + 14214215155,24 +1 =- 钮 _1尸 4214217例 5. 已知一组观察数据为试用此组数据构造Lagrange插值多项式匕(X),并求L? 6.5)。 解：L (x)= l (x)y +1 (x)y +1 (x)y2 0 0 1 1 2 2()Cx l)(x 2) 所以 L2(x)=(0 1)6 2)1 +(x 0)(x 2)(x 0)(x l)(1 0)( 2)X 2 +(2 0)2 1)322例 6. f (x)二 x7 + X4 + 3x +1，求 f 20,21,A ,27, f 2。,21,A ,28.解：f 20,21,A ,27f点）7!7!-二 1, f 20,21,A ,28二 f &)二 二 0 7!8!8!P130.例 4-4P131 .例 4-5P133.例 4-7P135.例 4-10P142 .例 4-13P143 .例 4-14P145 .例 4-15第5章、曲线拟合（一）考核知识点勒让德多项式；切比雪夫多项式；曲线拟合；最小二乘法，正则方程组，线性拟 合，超定方程组的最小二乘解,多变量的数据拟合，多项式拟合;正交多项式曲线 拟合.（二）复习要求1. 了解函数逼近的基本概念，了解范数和内积空间。2. 了解正交多项式的概念，了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质， 知道其他常用正交多项式。3. 了解曲线拟合的最小二乘法并会计算，了解用正交多项式做最小二乘拟合。（三）例题1.已知实验数据如下：xi1925313844yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求一个形如y二a + bx2的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求 均方误差。解：由题意二 span1,x2,申（x） = 1,申（x） = x2,01G ,甲)= 1 = 5 ,00G,甲)=f x 2 192 + 252 + 312 + 382 + 44201i，i1361 + 625 + 961 +1444 +1936 5327G,甲)=f x4 194 + 254 + 314 + 384 + 444 11ii1130321 + 390625 + 923521 + 2085136 + 3748096 7277699=(P , y)=工 y 19.0 + 32.3 + 49.0 + 73.3 + 97.8 271.4。ii=1y x 2 iii=1=19.0 x 192 + 32.3 x 252 + 49.0 x 312 + 73.3 x 382 + 97.8 x 442 。=6859 + 20187.5 + 47089 +105845.2 +189340.8 = 369321.5_ 55327a271.4-53277277699；_369321.5故法方程为，解得1；=0器1i1i12. 给定数据表.X-2-1012y-0.10.10.40.91.61=工Iii试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.均方误差为工k( x)y (x )i+ ；x2 y(x J 0.01693i解y (x) = c0 + C x + c2 x 2 + c3 x 3124850100 _11110100341000， AT A 100340111103401301248A=AT y = (2.9,4.2,7,14.4)T正则方程的解为 c0 = 0.4086, cAT Ac = AT y= 0.39167 ， c2 = 0.0857 ， c3 = 0.00833得到三次多项式y(x)二 0.4086 + 0.39167x + 0.0857x2 + 0.00833x3P174例 5-1P176例 5-3P178.例 5-5P180.例 5-6P181 例 5-7P182.例 5-8第6章、数值积分与数值微分(一) 考核知识点代数精度；插值型求积公式，牛顿一柯特斯公式,梯形公式和辛普森公式,复 合求积公式，求积公式的误差，步长的自动选择,龙贝格求积公式，高斯型求 积公式。(二点、三点)高斯一勒让德求积公式。(二) 复习要求1.了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。2掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项；梯形公式和辛普生公式.3. 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。4. 掌握龙贝格(Romberg)求积算法。5会高斯求积公式。(三) 例题1用下列方法计算积分J3，并比较结果。1y(1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式.解:I J 3 dy1y(1)采用龙贝格方法可得kT (k)0T (k)1T (k)2T (k)3T (k)401.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有I沁1.098613(2)采用高斯公式时I = i3dy 此时 y e 1,3,令x = y - z,则 x e 1,1, 1yI = J1dx,i x + 2f ( x) =利用三点高斯公式，则I = 0.5555556 x f (0.7745967) + f (0.7745967) + 0.8888889 x f (0)沁 1.098039利用五点高斯公式，则I 沁 0.2369239 x f (-0.9061798) + f (0.9061798)+0.4786287 x f (0.5384693) + f(0.5384693)+0.5688889xf(0)沁 1.0986092.用复化梯形公式和复化辛普森公式计算下列积分：J1 x dx ；n=8;0 4 + x 2解：h71T = - f (a) + 2乙 f (x ) + f (b)=8 2 k 1k=1k 1丄+ 2工8 164k=1 4 +-+125=1(1 + 2 工+1)16 4256 + k2 5k =11 1 8 4 24 2=+ 2(+ + + +16 425765265172817330540+12+竺)+10.111405S = - f (a) + 4工 f (x ) + 2工 f (x ) + f (b)86k=0k+1(=1k2k +1k=11 + 4西+ 2 工一848 407. I 1Ak =0 4 +(2k +1肓丿2k=1 4 +-+125=1(1 + 4工16(2k + 】)+ 2工+1)0.1115748 41024 + (2k +1)2256 + k25k=0k =1精确值为 J1dx =】ln(4 + x2)|1 = !ln5 沁 0.11157。0 4 + x 220 2 4P200.例 6-5P205.例 6-8P207.例 6-9P210.例 6-11P213 .例 6-12P214.例 6-13P216.例 6-14P219.例 6-15P225.例 6-17，例 6-18第 7 章、常微分方程初值问题的数值解法 (一)考核知识点欧拉法,后退欧拉法；梯形公式；改进欧拉法；龙格一库塔法，局部截断误差。(二) 复习要求1. 掌握欧拉法和改进的欧拉法，知道其局部截断误差。2. 知道龙格一库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格一库塔法。掌握四阶龙 格一一库塔法，知道龙格一库塔法的局部截断误差。(三) 例题fy = -y - xy2(0 x 0.6)例1用欧拉法解初值问题ly()i，取步长h=0.2。解h=0.2,fx)=yxy2。首先建立欧拉迭代格式y = y + hf (x , y ) = y - hy - hx y2 = 0.2y (4 - x y )(k = 0,1,2)k+1kk kkkk kkk k当 k=0， x1=0.2 时，已知 x0=0,y0=1， 有 y(0.2)y1=0.2X 1(4-0X 1) = 0.8 当 k=1,x2=0.4 时，已知 x1=0.2, y1=0.8,有y(0.4)uy2=0.2X 0.8 X (4-0.2X 0.8) = 0.614 4 当 k=2,x3=0.6 时,已知 x2=0.4,y2=0.6144,有 y(0.6)uy3=0.2 X 0.6144 X (4-0.4 X 0.6144)= 0.461321f y = 3x + 2 y例2设初值问题 jy(0) = 10x1.写出用改进的Euler法解上述初值问题数值解的公式，若h = 0.2,求解*人，保 留两位小数。解：改进的 Euler 公式是：了 = y + hf (x , y )n+1nn njhy = y + - f (x , y ) + f (x , y )n+1n 2n nn+1 n+1具体到本题中，求解的公式是：y = y + 0.2(3x + 2y ) = 1.4y + 0.6x n+1nnnnn y = y + 0.13x + 2y + 3x + 2y n +1nnnn +1n +1y (0)二 1代入求解得：y二1.4, y二1.5411y = 2.276, y = 2.483222上=8 - 3y#小 0)例3.求解初值问题ly()= 2，取步长h = 2经典四阶龙格一库塔法的求解公式为： 0 2y = y +(k + 2k + 2k + k )n+1n 6 1234k = 8 - 3 y1nk = 8 一 3(y + 0.1k )2 n1k = 8 一 3(y + 01k )3 n2k = 8 一 3(y + 0.2k )4 n3其中 0=8 3yk； k2=5.6 2.1 yk； k3=6.32 2.37yk; k4=4.208+1.578yk0 2y = y +(8 3y +2(5.6 2.1 y ) + 2(6.32-2.37y ) + (4.208 1.578y )R 卩 k+1 k 6kkkk= 1.2016 + 0.5494y (k = 0,1,2,.)kP240例 7-1P244例 7-2P251例 7-3