概率论基础知识及其在matlab中的实现

第三章 概率论基本知识及其在matlab中的实现 概率论与应用数理记录十就是研究随机现象记录规律性的一门科学，本章学习随机 及其发生的概率，多维随机变量的分布规律，参数估计与假设检查，方差分析与回归分析等概率记录的基本措施以及它们在MATLAB中实现措施。31 随机时间及其概率311 古典概率及其模型由古典概率的定义知，古典概率基于这样两个原则：(1) 所有也许发生的成果只有有限个；(2)每一种也许浮现的成果机会是相似的。在MATLAB中提供了一种在0,1区间上均匀分布的随机函数rand,其命令格式为：命令格式1： rand(N)功能： 返回一种的随机矩阵命令格式2： rand(N,M)功能： 返回一种的随机矩阵命令格式2： rand(P1,P2,Pn)功能： 返回一种的随机矩阵可以用计算机模拟掷硬币这一过程，为了模拟硬币浮现正面或背面，规定随机数不不小于0.5时为背面，否则为正面，可以用round（）函数将其变成01矩阵，然后将整个矩阵的各元素值加起来再除以总的原始个数即为浮现正面的概率。round（）函数的命令格式为：命令格式： round(x)功能：对向量或矩阵x的每个分量四舍五入取整。现以联系掷10000次硬币为例，反复做100次实验模拟浮现正面的概率。在matlab中的程序如下：for i =1：100 a(i) = sum(sum(round(rand(100)/10000；endmx = max(a)；mn = min(a)；ma = mean(a)；a, mx, mn, ma在该程序输出的四项中，a为实验100次中每次浮现正面的频率，mx和mn分别为100次实验中浮现正面频率的最大值和最小值，ma为100次实验浮现正面的平均频率。运营成果如下：这里要输入成果下面简介MATLAB中取整的几种函数命令：(1) 命令格式： fix(x)功能： 对x朝零方向取整(2) 命令格式： floor(x)功能：对x朝负无穷大方向取整(3) 命令格式： ceil(x)功能：对x朝正无穷大方向取整312 记录概率及其模型由于古典概率是建立在事件发生的等也许基本上的概率，而现实生活中许多现象的浮现并不是等也许的。例如某品种的玉米，当种下一粒后，其发芽与不发芽的机会并不相似。那么，这个概率就不能建立在等也许基本上，即不能使用古典概率的定义。而记录概率的定义是建立在频率基本上的，就是说某事件浮现 频率如果稳定在某数值附近，则称数值为该事件浮现的概率。由于记录概型中的概率是一种理论上的数值，实际问题中主线无法直接得到该数值，因而一般在实验次数充足多时，运用频率值近似替代概率值。在掷硬币的实验中，在实验次数充足多的状况下，掷硬币浮现正面和背面的频率均在0.5左右，故浮现正面和背面的概率均为 0.5。下面来看掷硬币时，当样本容量分别为 n = 10，100，1000，10000，100000，1 000 000时频率的变化。在MATLAB中实现时程序代码如下：for I = i：6 a(i) = sum(round(rand(1,10-i)/10I；end运算成果为：这里输入运算成果从上面运营的成果中可以看出，当样本容量不够大时，其频率的波动范畴很大，即频率不够稳定，虽然有时达到 0.5，但最大时已达到0.9，然而随着样本容量的增长，频率的波动范畴越来越小，相差仅有左右。313 条件概率、全概率公式与伯努利概率若事件B的发生会影响到事件A的发生，则事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，条件的概率的计算公式为： 若事件A的发与事件B的发生与否没有关系，即事件B发生与否不会影响到事件A的发生，反之亦然，则称事件A与事件B是互相独立的，这时有： 例1 袋中有10只球，其中白球7只，黑球3只。分有放回和无放回两种状况，分三次取球，每次取一种，分别求：(1) 第三次摸到了黑球的概率，(2) 第三次才摸到黑球的概率，(3) 三次都摸到了黑球的概率。解 当有放回地摸球时，由于三次摸球互不影响，因此三次摸球互相独立，从理论上可以求得：(1) 第三次摸到黑球的概率为；(2) 第三次才摸到黑球的概率为；(3) 三次都摸到黑球的概率为。在MATLAB中模拟这一过程时，可在0，1区间上产生三次随机数来模拟三次摸球，当随机数不不小于0.7时可觉得摸到了白球，否则觉得摸到了黑球。反复次分别求上述三种状况浮现的概率。程序如下： a = round(rand(1000000,3) 0.2)； for i= 1：6 b = a(1：10i,3； c(i) =sum(b)/(10i)； end c for i =1：6 b = (a(1:10i,1)&(a(1:10i,2)&a(1:10i,3); d(i) = sum(b)/(10i); end d for I = 1:6 b=a(1:10i,1)&a(1:10i,2)&a(1:10i,3); e(i) = sum(b)/(10i); end e运营成果为:这里加入运营成果执行成果中c为第三次摸到黑球的概率,d为第三次才摸到黑球的概率,e为三次都摸到黑球的概率.可以看到,随着实验次数的增长,其频率都会逐渐稳定在理论值附近.当无放回地摸球时,由于第二次摸球会受到第一次的影响,而第三次摸球又会受到前两次的影响,因而三次摸球互相影响,并不独立.从理论上可求得:(1) 第三次摸到黑球的概率为,(2) 第三次才摸到黑球的概率为(3) 三次都摸到了黑球的概率为 用计算机模拟该过程时,在0,1区间模拟第一次摸球,当值不不小于0.7时觉得摸到了白球,否则觉得摸到了黑球;第二次摸球时由于少了一种球,故可在区间长度为0.9的区间上模拟,若第一次摸到白球,可将区间设为0.1,1,否则区间设为0,0.9;第三次摸球可依次类推,其模拟程序如下:a = rand(1000000,3);a(:,1) = round(a(:,1) 0.2);a(:,2) =round(a(:,2)*0.9 0.2 0.1*(a:,1) 1);a(:,3) =round(a(:,3)*0.8 0.2 0.1*(a(:,1) 1) 0.1*(a(:,2) 1); for i=1:6 b =a(1:10i,3); c(i) = sum(b)/(10i); end c for i =1:6 b = (a(1:10i,1) & (a(1:10i,2) & a(1:10i,3); d(i) =sum(b)/(10i); end d for i =1:6 b =a(1:10i,1) & a(1:10i,2) & a(1:10i,3); e(i) =sum(b)/(10i); end e运营成果为上面在理论上计算第三次摸到黑球的概率时,用到了全概率公式:若构成一种完备事件组,且事件的发生总是随着着事件中的某一种发生而发生,则下面将用到伯努利概型,所谓伯努利概型是指:在相似条件下,进行次独立反复实验,每次实验只有事件A发生或不发生两种成果,且 这里第三次摸到黑球的四种状况分别是:白,白,黑,白,黑,黑,黑,白,黑,黑,黑,黑.这四种状况构成了完备事件组.现考虑下面问题: (1) 当不放回时,已知第三次摸到了黑球,问前两次是黑球的概率为多少? (2) 若有放回地持续摸10次,则恰有三次摸到黑球的概率是多少?第一问是一逆概率问题,由逆概率公式即贝叶斯公式得到其概率应为第二问则属伯努利概型,这里A为摸到的是黑球,故 , .于是由二项概率公式有,10次有放回摸球中,恰有三次摸到黑球的概率为在MATLAB中实现这两个过程的程序如下: a = rand(100000,3); a(:,1) = round(a(:,1) 0.2); a(:,2) = round(a(:,2)*0.9 0.2 0.1*a(:,1) 1); a(:,3) = round(a(:,3)*0.8 0.2 0.1*(a(:,1) 1) 0.1*(a(:,2) 1); for i=1:6 b =a(1:10I,3); c(i) =sum(b); b =a(1:10i,1) & a(1:10i,2) & a(1:10i,3); d(i) = sum(b); e(i) =d(i)./c(i); end 这里添加运营成果 a = round(rand(1000000,10) 0.2); for I =1:6 b =sum(a(1:10i, :),2) 3; c(i) =sum(-b)/910I); end c3.2 随机变量的分布及其数字特性随机变量的记录行为完全决定于其概率分布,按随机变量的取值不同,一般可将其分为离散型持续型和奇异型三大类.由于奇异型在实际应用中很少遇到,因此只讨论离散型和持续型两类随机变量的概率分布及其数字特性.3.2.1 离散型随机变量的分布及其数字特性如果随机变量X的所有也许取值为有限个或无穷可列个,则称X为离散型随机变量.设X的所有也许值为,并且X取这些值的概率为 , 则称其为随机变量X的概率分布.它满足下面的性质:(1) , (2) 称 为累积概率分布. 在研究随机变量时,重要就是研究随机变量的概率分布、累积分布和分布的数字特性。常用的离散型随机变量的分布有：二项分布、泊松分布和超几何分布。1、 超几何分布 若随机变量X的所有也许取值为0,1, ，n ,其概率分布为， 其中，则称X服从参数为和的二项分布，记作。二项分布的数学盼望为，方差为。在MATLAB中提供的二项分布的记录函数有：binopdf( )、binocdf( )、binoinv( )、binornd( )以及计算二项分布均值和方差的函数binostat( )，它们命令格式如下：命令格式： binopdf(X,N,P)功能： 计算二项分布的密度函数。其中X为随机变量，N为独立实验的反复数，P为事件发生的概率。命令格式： binocdf(X,N,P)功能： 计算二项分布的累积分布函数。其中X为随机变量，N为独立实验的反复数，P为事件发生的概率。命令格式： binoinv(X,N,P)功能： 计算二项分布的逆累积分布函数。其中X为随机变量，N为独立实验的反复数，P为事件发生的概率命令格式： binornd(N,P,m,n)功能： 产生服从二项分布的阶随机矩阵。其中N为独立实验的反复数，P为事件发生的概率，m和n分别是所产生随机矩阵的行数和列数。若不指定m和n，则返回一种随机数；若指定m和n，则返回一种服从二项分布的阶随机矩阵。命令格式： binostat(N,P)功能：求二项分布的数学盼望与方差。N为独立实验的反复数，P为事件发生的概率。 例1 x = 0: 0.1 :1 binoinv(x,10,1.7) ans = binoinv(x,10,0.3) ans = binoinv(x,50,0.7) ans = binoinv(x,50,0.3) ans = 例2 生成一种或多种服从二项分布的随机数 binornd(10,0.7) ans = 6 binornd(10,0.7,5,10) ans = 这里都需要给出答案例3 求二项分布的数学盼望(e)和方差(d) e d = binostat(10,0.3) e = 3 d = 2.1000 e,d = binostat(20,0.7) e = 14 d = 4.2、泊松分布如果随机变量的概率分布为 ，其中为常数，则称X服从参数为的泊松分布，记作，泊松分布的数学盼望，方差 在MATLAB中，提供如下有关泊松分布的记录函数： 命令格式：poisspdf(X,LMD) 功能： 求泊松分布的密度函数。其中X为随机变量，LMD为参数。 命令格式：poisscdf(X,LMD) 功能： 求泊松分布的累积分布函数。其中X为随机变量，LMD为参数。 命令格式：poissinv(Y,LMD) 功能： 求泊松分布的逆累积分布函数。其中Y为明显概率值，LMD为参数。 功能： 求泊松分布的密度函数。其中X为随机变量，LMD为参数。 命令格式：poissrnd(LMD,M,N) 功能： 产生服从泊松分布的随机数。其中LMD为参数，M和N为产生随机矩阵的行数和列数。 功能： 求泊松分布的密度函数。其中X为随机变量，LMD为参数。 命令格式：poisstat(LMD) 功能： 求泊松分布的数学盼望与方差。其中LMD为参数。 可以运用逆累积概率分布函数求一定明显概率条件下，泊松分布假设检查临界值 x =0：0.1：1； poissinv(x,5) ans = poissinv(x,10) ans = poissinv(x,100) ans = 在MATLAB中求服从泊松分布的随机数及数学盼望与方差如下： poissrnd(1) ans =1 poissrnd(5) ans =5 poissrnd(5,5,10) ans = 输入成果 e,d = poisstat(5) e = 5 d = 5 e,d = poisstat(10) e = 10 d =103、超几何分布如果随机变量X所有也许取值为，X的概率分布为 ，其中整数0，且，则称X服从参数为的超几何分布，记作 MATLAB中超几何分布的记录函数为：命令格式： hygepdf(M,n,k,N)功能： 求超几何分布的密度函数。命令格式： hygepcdf(M,n,k,N)功能： 求超几何分布的累积分布函数。命令格式： hygeinv(P,n,k,N)功能：求超几何分布的逆累积分布函数命令格式： hygestat(n,k,N)功能： 求超几何分布的数学盼望与方差命令格式： hygernd(n,k,N,mr,mc)功能：产生满足超几何分布的随机数。其中mr和mc分别为所产生随机矩阵的函数和列数。Mr和mc省略时产生一种随机数。 用逆累积概率分布函数求一定明显概率条件下，超几何分布假设检查临界值的程序如下：x =0: 0.1 :1;hygeinv(x,10,5,6)ans = hygeinv(x,15,5,9);ans = hygeiv(x,20,8,10)ans = 这里要写运算成果求服从超几何分布的随机数及数学盼望与方差的程序如下：hygernd(15,7,9) ans =5hygernd(15,7,9,5,10)ans = e,d =hygestat(15,7,9)e =4. d = 0.9600e,d = hygestat(20,8,10)e =4 d = 1.2632322 持续型随机变量的分布及其数字特性设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数，使对任意实数，有 则称X为持续型随机变量，并称为X的概率密度，它满足下面性质：(1) (2) (3) (4) 最后一点和离散型随机变量截然不同，它表白概率为零的事件并不一定是不也许事件。常用的三种持续型随机变量的概率分布是均匀分布、指数分布和正态分布。1、均匀分布若持续型随机变量X的概率密度为 则称X在区间上服从参数为和的均匀分布，记作。MATLAB中提供的均匀分布的函数如下：命令格式： unifpdf(X,A,B)功能：求均匀分布的密度函数。其中X为随机变量，A、B为均匀分布参数。命令格式： unifcdf(X,A,B)功能：求均匀分布的累积分布函数。其中X为随机变量，A、B为均匀分布参数。命令格式： unifinv(P,A,B)功能：求均匀分布的逆累积分布函数。其中P为概率值，A、B为均匀分布参数。命令格式：unirnd(A,B,m,n)功能：产生服从均匀分布的随机数。其中A、B为均匀分布参数，m和n为生成随机数矩阵的行数和列数。命令格式： unifstat(A,B)功能：求均匀分布的数学盼望与方差。其中A、B为均匀分布参数2、指数分布如果随机变量X的概率密度为 其中为常数，则称X为服从参数为的指数分布，记作。MATLAB中指数分布的函数如下：命令格式： exppdf(X,L)功能： 求指数分布的密度函数。其中X为随机变量，L为参数。命令格式： expcdf(X,L)功能： 求指数分布的累积函数。其中X为随机变量，L为参数。命令格式： expinv(P,L)功能： 求指数分布的逆累积分布函数。其中P为明显概率，L为参数。命令格式： exprnd(X,L,m,n)_功能： 产生服从指数分布的随机数。其中X为随机变量，L为参数，m和n为随机数矩阵的行数和列数。命令格式： expstat(L)功能： 求指数分布的数学盼望和方差。其中L为参数。3、正态分布 如果随机变量X的概率密度为其中均为常数，且，则称X服从参数为和的正态分布，记作，当时，称X服从原则正态分布，记作。MATLAB中提供的正态分布的函数如下：命令格式： normpdf(X,M,C)格式： 求正态分布的密度函数。其中X为随机变量，M为正态分布参数，C为参数。命令格式： normcdf(X,M,C)功能： 求正态分布的累积分布函数。其中X为随机变量，M为正态分布参数，C为参数。命令格式： norminv(P,M,C)格式： 求正态分布的逆累积分布函数。其中P为明显概率，M为正态分布参数，C为参数。命令格式： normrnd(M,C,m,n)格式： 产生服从正态分布的随后数。其中M为正态分布参数，C为参数，m和n为随后矩阵的行数和列数。命令格式： normstat(M,C)功能： 求正态分布的数学盼望和方差。其中M为正态分布参数，C为参数。在MATLAB中求原则正态分布的密度函数及累积分布函数和一般正态分布的密度函数及累积分布函数的程序如下 ：x = -4 : 0.01 : 4;y =normpdf(x,0,1); z = normcdf(x,0,2);subplot(2,2,1); plot(x,y,k);axis(-4,4,-0.1,0.5);subplot(2,2,2); plot(x,z,k);axis(-4,4,-0.1,1.1);