新九年级暑假数学小班讲义经典

第一讲 一元二次方程及其解第1节 一元二次方程一般形式一、课堂学习（一）根据题意列方程： （1）有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个 盖方盒。如果要制作的无盖方盒底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?（2）我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 。（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？（二）探索新知：（）问题：上述个方程是不是一元一次方程？有何共同点？；。（2）一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_，只含有_个未知数，并且未知数的最高次数是_的方程叫做一元二次方程。（3）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 (a，b，c为常数， ）的形式，我们把它称为一元二次方程的一般形式。为 ，为 ，为 。（三）注意点： (1)一元二次方程必须满足三个条件：a ；b ； c 。(2)任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： 。二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。(3)二次项系数是一个重要条件，不能漏掉，为什么？（四）自我尝试：1、下列列方程中，哪些是关于 的一元二次方程？（1） （2） （3） （4） （5）2、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) (2) (3) 二、达标训练：1、下列方程中，是关于X的一元二次方程的是（ ）A。 B。 C。 D。2、方程的一次项是（ ）A。 B。 C。 D。 3、将方程化成一般形式为_，它的二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_。4、当a_时，关于X的方程（a1）x2+3x5=0是一元二次方程。第2节 一元二次方程的解一、课堂学习：（一）复习引入：1、解方程，并说出方程解的定义：3x=2(x+5)2一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_m 根据题意，得_ _ 整理，得_ _ _（二）探索新知：1下面哪些数是上述方程的根？ 4，3，2，1，0，1，2，3，42、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_，即使一元二次方程等号左右两边相等的_的值。3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：(1) (7，6，5， 5， 6， 7)(2) 4、你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？(1) (2) (3) （三）注意点：1、使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。2、由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解是否是实际问题的解。（四）自我尝试：1、下列各未知数的值是方程的解的是（ ）A。 B。 C。 D。 2、根据表格确定方程=0的解的范围_x1.01.11.21.30。50。090。661.213、已知方程的一个根是1，则m的值是_二、达标训练： 1、把化成一般形式是_，二次项是_一次项系数是_，常数项是_。2、一元二次方程的根是_；方程x（x1）=2的两根为_3、写出一个以为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：_ _。4、已知m是方程的一个根，则代数式_。5若，则_。6方程ax（xb）+（bx）=0的根是 x1=_ x2=_7已知x=1是方程ax2+bx+c=0的根（b0），则=_8如果x281=0，那么x281=0的两个根分别是x1=_，x2=_9已知方程5x2+mx6=0的一个根是x=3，则m的值为_10如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，则（ab）2+4ab的值为 11、若关于X的一元二次方程的一个根是0，a的值是几？你能得出这个方程的其他根吗？第二讲 一元二次方程解法第1节 直接开平方法一、课堂学习（一）、问题1填空（1）x28x+_=（x_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2问题2如图，在ABC中，B=90，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后PBQ的 面积等于8cm2？（二）探索新知：1、36的平方根是_，的平方根是_。2、若，则=_；若，则=_。3、请根据提示完成下面解题过程：(1) 由方程 ， (2) 由方程 ， 得 =_ 得 (_)=2即 _=_ =_，=_ 即 _， _ =_， =_ =_， =_（三）归纳概括：1、形如或的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。2、如果方程能化成或的形式，那么可得，或。3、用直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程。（四）自我尝试解下列方程：(1) (2) (3) (4) 二、达标训练：1、方程的根是（ ）A。 B。 C。 D。 2、解下列方程：(1） (2) (3) (4) (5) (6) 第2节 配方法一、课堂学习（一）复习引入：填上适当的数，使下列等式成立：(1) +_ = (2) _ = (_)(3) _ = (_) （4）x_（x_）2由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：_（二）探索新知：请阅读教材第37页，解方程，完成下面框图： （三）归纳总结：1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。2、配方是为了降次，把一个一元二次方程化为两个一元一次方程来解。3、方程的二次项系数不是1时，可以让方程的各项除以二次项系数，将方程的二次项系数化为1.4、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：若方程的二次项系数不是1，咋办？移项，把常数项移到方程右边；配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；利用直接开平方法解之。（四）自我尝试：解下列方程：（同桌相互查找问题，进行纠正）(1) (2) (3) 二、达标训练：1、填上适当的数，使下列等式成立：(1) (2) (3) (4) 2、将方程配方后，原方程变形为（ ）A。 B。 C。 D。 3、解下列方程：(1) (2) (3) 第三讲 用公式法和因式分解法第1节 公式法解一元二次方程一、课堂学习：(一)复习提问1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程：x27x18=03、你能用配方法解方程吗？请尝试解（二）归纳总结：1、一元二次方程的根由方程的_确定。当_时，它的根是_，这个式子叫做一元二次方程的_，利用它解一元二次方程的方法叫做_。2、一元二次方程：当_时，方程有实数根_；当_时，方程有实数根_；当_时，方程没有实数根。（三）、注意点：1、公式法是解一元二次方程的一般方法。2、 公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。3、一元二次方程当时，方程有实数根: ；当时，方程有实数根：；当时，方程没有实数根。（四）自我尝试：1、一元二次方程的求根公式是_。2、用公式法解方程：(1) (2) 3、 不解方程，判断下列方程实数根的情况：(1) (2) (3) 二、达标训练：1、方程的根是（ ）A。 B。 C。 D。 没有实数根2、下列方程中，没有实数根的是（ ）A。 B。 C。 D。 3、用公式法解下列方程：(1) (2) (3) 第2节 因式分解法一、 课堂学习（一）创设情境，提出问题背景材料：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10M/S的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x4.9 x2.设问1：你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0。001s）设问2；除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？（二）探索新知：对于方程10x4.9 x2=0。它的右边为0，左边可以因式分解，得 =0； 于是得 或 。所以：x1 = ，x2 设问3：方程的两根都符合问题的实际意义吗？设问4：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一元一次的？（三）归纳总结：1、对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_的形式，再使_，从而实现_，这种解法叫做_。2、如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_，即或_。（四）注意点：1、因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边是0的一元二次方程。2、因式分解法的根据是：如果，那么或。据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次的目的。（五）自我尝试：1、说出下列方程的根：（1） （2）2、解下列方程：(1) (2) (3) （六）、归纳总结：1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义或配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程3、一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、 分解因式法、 配方法或公式法二、达标训练：1、方程的根是（ ）A。 B。 C。 D。 2、下列方程适合用因式分解法的是（ ）A。 B。 C。 D。3、方程的根是_。5、方程的根是（ ）A。 B。 C。 D。 6、一元二次方程的根是_。7、当_时，代数式的值等于3.8、两个数的和为7，积为12，这两个数是_。9、用因式分解法解下列方程：(1) (2) (3) 10、解下列方程：(1) (2) (3) (4) 11、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？第四讲实际问题与一元二次方程第一节 增长率问题一、课堂学习：1、列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“设”，即设_，设求知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中_关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的_；(4)“检验”，即验证是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。（二）自主探究问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_人，第一轮后共有_人患了流感：2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_人，第二轮后共有_人患了流感。则：列方程 ，解得 即平均一个人传染了 个人。再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？（三）归纳总结：1、2、平均增长率公式： 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，n是增长（或降低）的次数。（四）自我尝试：某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？二、达标训练：1某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_kg，第三年的产量为_，三年总产量为_2.某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程( )A。 720 B。 C。 D。 3我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是_4、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？5、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36，问平均每月降价百分之几？6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率第2节 商品销售问题一、课堂学习:（一）复习巩固：1、某商店销售一批服装，每价成本价100元，若想获得25%，这种服装的售价应为_元。2、某商品原价a元，因需求量大，经营者将该商品提价10%，后因市场物价调整，又降价10%，降价后这种商品的价格是_。（二）归纳总结：1、有关利率问题公式：利息=本金利率存期 本息和=本金+利息2、有关商品利润的关系式：（1）利润=售价进价（2）利润率= （3） 售价=进价（1+利润率）（三）自我尝试：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0。3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0。1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?（四）例题选讲某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0。3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0。75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0。1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0。25元，那么商场平均每天可多售出34张如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大二、达标训练：1一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）A12人 B18人 C9人 D10人2一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_%3一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28升，设每次倒出液体x升，则列出的方程是_4上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?5某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润 （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?第3节 面积问题一、课堂学习:（一）复习巩固1.直角三角形的面积=_，一般三角形的面积=_2.正方形的面积=_， 长方形的面积=_ 3.梯形的面积=_ 4菱形的面积=_ 5.平行四边形的面积=_ 6圆的面积=_（二）注意点：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程（22-3-1三）例题选讲：例题：某校为了美化校园，准备在一块长32米，宽20米的长方形场地上修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校同学参与设计，现在有一位学生各设计了一种方案(如图2231)，求图中道路的宽是多少时图中的草坪面积为540平方米。二、达标训练：1直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ） A B5 C D72从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A8cm B64cm C8cm2 D64cm23长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为_4如图2233，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，求此长方形鸡场的长、宽。22-3-3第五讲 一元二次方程小结与复习一、课堂学习:1、下列方程中，关于X的一元二次方程是（ ）A。 B。 C。 D。2、解下列方程：(1) (2) (3)3、某小组同学，每人互送贺卡一张，已知全组共送贺卡56张，这个小组共有（）人（A）7（B）8（C）14（D）44、某辆汽车在公路上行驶，它的行驶路程s(km)和时间t(h)之间的关系式为。那么行驶5km所需的时间为h。二、归纳总结：1、一元二次方程的定义及一般形式定义 只含有一个未知数整式方程干部 都可化为的形式2、一元二次方程的几种解法：配方法 公式法 因式分解法3、用配方法、因式分解法等解一元二次方程时，要通过适当的变形先使方程转化为一元一次方程，也就是使未知数从二次变为一次，即降次。一元二次方程的降次变形，是由一个二次方程得到两个一次方程，因此一个一元二次方程有两个根。4、对于把实际问题转化为有关一元二次方程的问题，关键是弄清实际问题的背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这样的关系 “翻译”为一元二次方程。三、达标训练1、方程的解是_2、方程的解是_3、填上适当的数，使等式成立。4、若X=1是一元二次方程的根，则a+b=_5.在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两个队都要进行一次比赛，共要比赛45场，若参赛队有支队，则可得方程。6、已知2是关于X的方程的一个根，则的值是( )A。3 B。4 C。5 D。67、若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（ ）A。 B。 C。 D。8、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。在本世纪的头二十年（2001年2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年国民生产总值的增长率都是，那么满足的方程为（）（A）（B） （C） （D）9、 解下列方程：（1） （2） （3） 10、某商场销售某品牌童装，平均每天可以售出20件，每件盈利40元为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件童装降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元每件童装应降价多少元？自 测 题一、选择题(每小题3分，共24分)1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A。 B。 C。 D。2、方程的解为（ ）A。 x2 B。 x1，x20 C。 x12，x20 D。 x03、解方程的适当方法是（ ）A、直接开平方法 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法4、已知m方程的一个根，则代数式的值等于（ ）A。1 B。0 C。1 D。25、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A。x22x99=0化为(x1)2=100 B。x2+8x+9=0化为(x+4)2=25C。2t27t4=0化为 D。3y24y2=0化为6、下面是李明同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）A。 若分式值为零，则x1，2 B。方程x(2x1)2x1的解为x1C。若x25xy6y2=0（xy0），则6或1 D。若x2=4，则x2 7、用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）A、 B、 C、 D、8、从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ）A。9cm2 B。68cm2 C。8cm2 D。64cm2二、填空题(每小题3分，共18分)9、把方程（2x+1）（x2）=53x整理成一般形式后，得 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。10、配方：x2 3x+ _ = (x _ )2； 4x212x+15 = 4( )26 11、方程的解是_，方程的解是_。12、若方程mx2+3x4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。13、已知代数式x(x5)+1与代数式9x6的值互为相反数，则x= 。14、若一个等腰三角形的三边长均满足方程x26x+8=0，则此三角形的周长为 。三、解答题(每小题7分，共28分)15、解方程： 16、解方程x2 4x+1=0 17、解方程：3x2+5(2x+1)=0 18、解方程：3(x5)2=2(5x)四、应用题19、（10分）某校2005年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2007年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？20。（10分）有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米。求鸡场的长和宽。21、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x217x66的根。求此三角形的周长。第六讲 图形的旋转一、图形的旋转 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的 ，点O叫做 ，转动的角叫做 。如果图形上的点P经过旋转变为点P，那么这两个点P和P叫做这个旋转的 。练习：如下四个图案，它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形相互重合，其中有一个图案与其余图案旋转的度数不同的是（）2. 如图，绕点O旋转45后得到，则点B的对应点是_；线段OB的对应线段是_；线段AB的对应线段是_；A的对应角是_；B的对应角是_；旋转中心是_；旋转的角度是_。AOB的边OB的中点M的对应点在。归纳：1、对应点到旋转中心的距离 ； 2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；（任意一对对应点）3、旋转前后的图形 。例1、 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把ADE顺时针旋转90，画出旋转后的图形。练习：下列现象中属于旋转的有（ ）个地下水位逐年下降；传送带的移动；方向盘的转动；水龙头开关的转动；钟摆的运动；荡秋千运动。A、2 B、3 C、4 D、5 二 中心对称活动一：复习回顾轴对称和旋转的有关知识1、回忆什么是轴对称？成轴对称的两个图形有什么性质？如果一个图形沿着_对折后能与_重合，则称这两个图形关于这条直线对称或轴对称。成轴对称的图形，它们的对应点的连线被对称轴_。2、旋转有哪些性质？对应点到旋转中心的距离_对应点与旋转中心所连线段的夹角_旋转前、后的图形_。活动二：感知定义，探索性质1、把图中一个图案绕点O旋转180，你有什么发现？ 如图，线段AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。把OCD绕点O旋转180，你有什么发现？ 图 图归纳：中心对称的定义：一个图形绕着某一个点_，如果它能与_重合，就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做_，两个图形中的对应点叫做关于中心的_。活动三、 中心对称性质探索动动手：（按下列步骤完成） 拿出三角板画出三角板内部的ABC；以三角板的一个顶点O为中心，把三角板旋转180，画出ABC；移开三角板；得出：ABC与ABC关于O点对称。思考：分别连接对称点AA、BB、CC。点O在线段AA上吗？如果在，在什么位置？ ABC与ABC有什么关系？归纳：中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段经过_，而且被对称中心_中心对称的两个图形是_活动四 中心对称画法探索例1：如图1，选择点O为对称中心，画出A点关于点O对称的点A。BACO如图2，选择点O为对称中心，画出与ABC对称的ABC。 A O 图1 图2活动五：练习1、如图，在ABC中，B=90，C=30，AB=1，将ABC绕顶点A旋转180，点C落在C处，求CC的长度。2、如图，点O是平行四边形的对称中心，点A、C关于点O对称，有AO=CO，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，那么OE=OF吗？三，中心对称图形1、将线段AB绕着点中点旋转180，你有什么发现？AB 2、将ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180，你有什么发现？归纳：中心对称的定义：一个图形绕着某一个点_，如果它能与_重合，就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做_，两个图形中的对应点叫做关于中心的_。三、巩固练习1、除了平行四边形和线段外，请你举出三个图形，使它们是中心对称图形。2.下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标出对称中心。3、按要求画一个图形，所画图形中同时要有一个正方形和一个圆，并且这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形。4、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长。第七讲 圆的概念和性质一、课前准备： 1、举出生活中常见的圆的图案。2、理解记忆与圆有关的概念。在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O ，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做 ，线段OA叫做 。用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是 的点的集合。连接圆上任意两点的 叫做弦，经过圆心的弦叫做 ；圆上任意两点 叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做 ，大于 的弧叫做优弧，小于 的弧叫做劣弧。二、课堂学习： 1、以点A为圆心，可以画 个圆；以已知线段AB的长为半径可以画 个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画 个圆。2、到定点O的距离为5的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆。3、O的半径为2cm，则它的弦长d的取值范围是 。4、O中若弦AB等于O的半径，则AOB的形状是 。5、如图，点A、B、C、D都在O上。在图中画出以这4点为端点的各条弦。这样的弦共有多少条？O6、(1)在图中，画出O的两条直径;(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形。判断这个四边形的形状，并说明理由。三、能力训练：1、过圆上一点可以作圆的最长弦有( )条。 A。 1 B。 2 C。 3 D。无数条2、一点和O上的最近点距离为4cm，最远距离为10cm，则这个圆的半径是_cm。3、图中有_条直径，_条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有_条，劣弧有_条。4、如图， O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一直线上，图中弦的条数为_。 第5题5、如图，CD为O的直径，EOD=72，AE交O于B，且AB=OC，求A的度数。6、如图，CD是O的直径，EOD=84，AE交O于点B，且AB=OC，求A的度数7、如右图，已知AB是O的直径，点C在O上，点D是BC的中心，若AC=10cm，求OD的长。8、如图，M、N为线段AB上的两个三等分点，点A、B在O上，求证：OMN=ONM。第八讲 垂直于弦的直径一、课前准备： 1、圆是 对称图形，任何一条 都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为 。 2、垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弦，即一条直线如果满足： ； ；那么可以推出： ； ； 。3、 弦（ ）的直径垂直于弦，并且 弦所对的两条弧。二、课堂学习： 1、如图，弦AB直径CD于E，写出图中所有的弧 ；优弧有： ；劣弧有： ； 最长的弦是： ；相等的线段有： ；相等的弧有： ；此图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？2、已知：在O中，CD是直径，AB是弦，垂足为E。求证：AE=BE， =，=。3、某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？三、能力训练：1、在O中，直径为10cm，圆心O 到AB的距离为3cm，则弦AB的长为 。 2、在O中，直径为10cm，弦AB的长为8cm，则圆心O到AB的距离为 。3、O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为_。最大值为_。 4、是的直径，弦，为垂足，若，求的长。5、如图，A、B、C在圆上，且AB=AC=5厘米， BC=8厘米，求圆的半径。四、拓展提高：1、圆的半径为3，则弦长x的取值范围是_。2、O的半径OA=5cm，弦AB=8cm，点C是AB的中点，则OC的长为 。3、在直径是20cm的O中，AOB的度数是60， 那么弦AB的弦心距是4、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD。4、已知O的直径是 cm，O的两条平行弦AB= cm ，CD=cm，求弦AB与CD之间的距离。（AB、在点O两侧AB、在点O同侧）第九讲 垂直于弦的直径一、课前准备：1、O的半径是5，P是圆内一点，且OP3，过点P最短弦的长是 、最长弦的长为 。2、已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离（弦心距）为3厘米，则O的半径为 。3、已知在O中，弦AB长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。4、如图，在O中，CD为弦，ECCD，FDCD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，求证：AE=BF。二、课堂学习：1、证明：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。已知： 求证： 证明：2、如图，O中CD是弦，AB是直径，AECD于E，BFCD于F，求证：CEDF。三、能力训练：1、垂经定理： 2、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为 。3、如图，AB为O的直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_4、如图，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论） 5、如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求CD长6、已知：如图，线段AB与O交于C、D两点，且OA=OB 求证：AC=BD 7、AB是O的直径，AC、AD是O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求DAC的度数第十讲 弧、弦、圆心角一、课前准备： 1、顶点在 的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做 ；能够 的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的 性。 2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦也 。 3、在同圆或等圆中，两个 ，两条 ，两条 中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 4、如右图，在O中，AB、CD是两条弦，如果AB=CD，那么 ， ；如果=，那么 ， ；如果AOB=COD，那么 ， 。二、课堂学习： 1、如图，AD是O的直径，AB=CD，CAB=1200，根据以上条件写出三个正确结论。（半径相等除外） 2、如图， 在O中，=，ACB=60，求证：AOB=BOC=AOC。3、如图，已知=求证：AB=CD。如果AD=BC，求证：AB=CD。三、能力训练：1、在O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4，则弦AB所对的圆心角为 。2、在半径为2的O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为 。3、如图，在O中，=，C=75，求A的度数。4、已知：如图，AB、CD是O的弦，且AB与CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么AMN与CNM的大小关系是什么？为什么？5、如图，AB是O的直径，=，COD=35，求AOE的度数。6、如图所示，CD为O的弦，在CD上截取CE=DF，连结OE、OF，并且它们的延长交O于点A、B。（1）试判断OEF的形状，并说明理由；（2）求证：=。第十一讲 圆周角一、课前准备： 1、顶点在 上，并且两边都与圆 的角叫做圆周角。 2、在同圆或等圆中， 或 所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的 的一半。 3、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 。 4、半圆（或直径）所对的圆周角是 ，900的圆周角所对的弦是 。 5、如图（1）所示，点A、B、C在O上，连接OA、OB，若ABO=250，则C= 。6、如图（2）所示，AB是O的直径，AC是弦，若ACO=320，则COB= 。7、如图（3）所示，OA为O的半径，以OA为直径的圆C与O的弦AB相交于点D，若OD=5cm，则BE= 。8、如图（4）所示，点A、B、C在O上，已知B=600，则CAO= 。二、课堂学习： 1、如图（a）所示，点A、B、C在圆周上，A=650，求D的度数。 2、如图（b）所示，已知圆心角BOC=1000，点A为优弧上一点，求圆周角BAC的度数。 3、如图（c）所示，在O中，AOB=1000，C为优弧的中点，求CAB的度数。 4、如图（d）所示，已知AB是O的直径，BAC=320，D是的中点，那么DAC的度数是多少？三、能力训练： 1、如图， O的直径 AB 为10 cm，弦 AC 为cm， ACB 的平分线交O于 D， 求BC、AD、BD的长。 2、OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC。求证：ACB=2BAC。3、如图，在O中，CBD=30，BDC=20，求A。 第十二讲 点和圆的位置关系一、课前准备：1、设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 ；点P在圆上 ；点P在圆内 。2、经过已知点A可以作 个圆，经过两个已知点A、B可以作 个圆，它们的圆心在 上；经过不在同一条直线上的A、B、C三点可以作 个圆。3、经过三角形的 的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边 的交点，叫做这个三角形的外心；锐角三角形的外心在三角形 ；直角三角形的外心在三角形 ；钝角三角形的外心在三角形 ；任意三角形的外接圆有 个，而一个圆的内接三角形有 个。 4、在平面内，O的半径为5cm，点P到O的距离为3cm，则点P与O的位置关系是 。 5、在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是 。 6、ABC内接于O，若OAB=280，则C的度数是 。二、课堂学习：1、用反证法证明命题的一半步骤： 2、经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？（用反证法证明）3、如图，在RtABC中，ACB=900，AC=6，AB