数值分析版试题及答案

例1、已-112-304求f (x)的Lagrange二次插值多项式和New ton二次插值多项式。解：1) 由题可知故所求二次拉格朗日插值多项式为(2)一阶均差、二阶均差分别为 均差表为阶阶-1-3103/22445/6故所求New ton二次插值多项式为例2、设 f ( x) =x2 + 3 x + 2， x g 0,1，试求 f (x)在0, 1上关于 p(x) = 1 ，O = span 1, x 的最佳平方逼近多项式。解： 若 = span 1,x，则申0(x) = 1，竹(x) = x，且 p(x) = 1，这样，有116所以，法方程为再回代解该方程，得到a = 4，a0故，所求最佳平方逼近多项式为S*(x) = + 4x例3、设 f (x)二 ex, x g 0,1，试求 f (x)在0, 1上关于 p (x) = 1 ，=span 1, x的最佳平 方逼近多项式。解：右O = span1,x，则申0(x) = 1，竹(x) = x，这样，有所以，法方程为解法方程，得到 a = 0.8732， a = 1.6902，01故，所求最佳平方逼近多项式为例4、用n = 4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分f 9血dx。1解：(1) 用n = 4的复合梯形公式由于h = 2， f (x)=/x， x = 1 + 2k(k = 1,2,3)，所以，有k(2) 用n = 4的复合辛普森公式由于 h = 2， f 0=、订，x = 1 + 2k (k = 1,2,3 )， x= 2 + 2k (k = 0,1,2,3)，所以，有例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。解：先消元再回代，得到 x =3， x =2， x =1321所以，线性方程组的解为X = 1，x = 2，x =3123例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解解：设则由A = LU的对应元素相等，有1111lU“ + u“ = n u“ =-，lu“ + u“ = n m =-，21 12224226021 132352345l31U13 + l32U23 + U33 = 2 二 U33l31U12 + l32U22 = 1 = l32 = _36，1315因此，解 Ly = b ，解 Ux = y，0136得 y1 = 9， y2 = 4， y3 = 154160051，得x3 =177.69，x2 =们6.92，专227.08111u=，u=:，u11412513 6lu1二 l4，1，=，l u = n l = 2，21 11321_ 331 11231所以线性方程组的解为X1 =-227.08，X2 = 476.92，X3 =-177693、形如卩f (x)dx qaAi f(xi )i=1的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为2n +1。（）2 1A = 1 14、矩阵10、12 丿的2范数 IIAII2 =9。(2a aA = 0 a5、设 I 000、0aJ，则对任意实数a丰0，方程组Ax = b都是病态的。（用IHL）6、设 A e Rnxn，Q e Rnxn，且有 QTQ = I （单位阵），则有 IIAII2 = lQAII2 o （）7、区间la,b上关于权函数W（x）的直交多项式是存在的，且唯一。（）1、（X ）2、（ V ）3、（ X ）4、（ V ）5、（ X ）6、（V ）7、（ X ） 8、（ X ）一、 判断题（10X1）1、若A是n阶非奇异矩阵，贝V线性方程组AX=b定可以使用高斯消元法求解。1、若A是nxn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A = LU唯一成立。 （)2、当 n 8 时，New ton-cotes型求积公式会产生数值不稳定性。（）2、解非线性方程f(x)=O的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。( ? )3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式则解线性方程组AX= b的高斯塞德尔迭代法一定收敛。( X )4、样条 插 值 一 种 分 段 插 值 。( ? )5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。( ? )6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。( ? )7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=bo(X )8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步 迭 代 计 算 的 舍 入 误 差 。9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截 断 误 差 = 舍入 误 差。（ ? ）10 、 插 值 计 算 中 避 免 外 插 是 为 了 减 少 舍 入 误 差 。（X ）1. 用计算机求兰0丄时，应按照n从小到大的顺序相加。n1000n=1（）2. 为了减少误差，应将表达式22001 - J1999改写为 2 进行计算。2001+ J1999（ 对 ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。（）4. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变 方 式 有 关 ， 与 常 数 项 无 关 。 （）复习试题一、填空题：-4-10 -A =A =-14-11、0-14，则A的LU分解为A = -1/40答案：1-415-1 015 4-156,152、已知f(1) = 1.0, f=1.2, f(3) = 1.3 ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得，用三点式求得广-答案：2.367，0.253、f (1) = -1, f=2, f (3) = 1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为。答案：_L2(x) - 2(x一 2)(x一3) 一 2(x一1)(x 一3) 一 2(x 一1)(x一 2)4、近似值x* = 0.231关于真值x二0.229有(2 )位有效数字；5、设f (x)可微,求方程x二f (x)的牛顿迭代格式是()；x f (x )x 二 x - 答案 n+1n1 -广(xn)6、对f (x) x3 + x +1，差商 f O，1，2,3 = (1), f O，1，2,3,4 = (0)；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和(舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为b a(2n+i);10、已知f(l)=2, f(2)=3, f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15 )；ir i “if/p3X丄 S+1、】11、两点式高斯型求积公式J0f(x)dx0f(x)g尹(冇)+f()，代数精度为( 5 )； 12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。13、为了使计算y二10 +丄+亠x i ( x i) 26(x -1)3的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为y = 10 + (3 + (4 6t)t)t, t =1x1_，为了减少舍入误差，应将表达式2v2001 - 999 改写为+499914、用二分法求方程f (x)二x3 + x 1二0在区间0,1内的根，进行一步后根的所在区间为 0.5, 1，进行两步后根的所在区间为0.5, 0.75。15、计算积分；5小血，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309，梯形公式的代数精 度为,辛卜生公式的代数精度为3。3x + 5x 二 116、求解方程组I。2x1 + 4x2二0的高斯一塞德尔迭代格式为x 伙+1)= (1 - 5 x 伙)/3、x2k+1) =-x1 k+1)/20该1迭代格式的迭代矩阵的谱半径P(M) =1217、设 f (0) = 0,f (1) = 16,f =46，则 l1(x) =_ 11(x) = -x(x-2)_，f (x)的二次牛顿 插值多项式为 N2(x) =16x+7x(x-1) 。2Jbf (x)dx u 工 A f (x )18、求积公式ak = 0 k k的代数精度以(高斯型)求积公式为最高,具有(2n +1)次代数精度。19、 已 知 f(1)=1，f(3)=5，f(5)=-3， 用 辛 普 生 求 积 公 式 求J 5 f (x )dx (112 )。20、 设 f (1)=1,f(2)=2，f(3)=0，用三点式求广-(2.5 )。21、如果用二分法求方程 x3 + x - 4 = 0在区间1,2内的根精确到三位小数,需对分23、( x) = k k=0(1)， E xklj (xk)=k=0(xj )，当 n 2 时(10)次。)。区(x 4 + x 2 + 3)1 (x)=k k k (x4 + x2 + 3k=026、改变函数f (x) = x +1 -心 (x1 )的形式，使计算结果较精确27、若用二分法求方程fd 0在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，贝U需要对分 次。29、若用复化梯形公式计算10exdx，要求误差不超过10 -6，利用余项公式估计，至 少用477个求积节点。x +1.6 x 二 1 1 230写出求解方程组卜0.4X + x2 =的 Gauss-Seidel 迭代公式x (k+1)二 1 - 1.6 x (k)12x(k+1)二 2 + 0.4x(k+1)21,k = 0,1, A-1.6，迭代矩阵为_ v 0-0.64丿，此迭代法是否收敛收敛_。a (5 431、设-19 J1 f (x)dx 云f (-1) + 8f (0) + f(l)丿，则 |AL=94 8A =2532、设矩阵 L1 3276的A = LU，则U =261 234数值积分公式33、若 f () = 3x4 + 2 x +1，则差商 f 2,4,8,16,32 =335、线性方程组的最小二乘解为36、A =设矩阵二、单项选择题：1、2、3、4、分解为A = LU，则U =1103212Jacobi迭代法解方程组Ax二b的必要条件是（C ）。A. A的各阶顺序主子式不为零C.an 丰 0, i = 1,2, A ,nB.D.P (A) 1A.-31-7，则 P ( A) 为().B. 5C.D.三点的高斯求积公式的代数精度为（ BA. 2B.5C. 3）。D. 4求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B ）。A.对称阵B. 正定矩阵5、舍入误差是( A )产生的误差。A. 只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值6、3.141580是n的有(B )位有效数字的近似值。A 6B 5C 4D 77、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C )误差。A 模型B 观测C 截断D 舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。A.控制舍入误差B.减小方法误差C.防止计算时溢出D.简化计算x9、用1+ 3近似表示3厂7所产生的误差是(D )误差。A. 舍入B. 观测C. 模型D. 截断10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。A. 5B. 6C. 7D. 811、设f (-l)=l,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A )。A. -0.5B. 0.5 C. 2D. -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。A. 3B. 4C. 5D. 213、( D )的3位有效数字是0.236X102。(A) 0.0023549X103(B) 2354.82X10-2(C) 235.418(D) 235.54X10-114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0 的根是( B )。(A) y=?(x)与乂轴交点的横坐标(B) y=x与y二？(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=x与y二？(x)的交点3 x 一 x + 4 x = 1123一 x + 2 x 9 x = 012315、用列主元消去法解线性方程组一 4xi 一 3 x 2 + x3 =1，第1次消元，选择主元为 ( A ) 。(A)-4(B) 3(C) 4(D)-916、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,，xn)(x x1)(x x2)(x xn1)(x xn)，(B)f (n+1)忆)(n +1)!1(C) x3 = 1 + x2,迭代公式x 二(1 + x2)1/3 k + 1kR (x) = f (x) - P (x)=nn(C) f(x,x0,xl,x2, ，xn)(x xO)(x xl)(x x2)(x xn一l)(x xn),f (n+1) (E )R (x) = f (x) - P (x)=丄 ()(x)(D) nn(n + 1)! n+117、等距二点求导公式f?(xl) ?( A )。18、用牛顿切线法解方程 f(x)=0，选初始值x0满足(A ),则它的解数列xnn=0,1,2,定收敛到方程f(x)=0的根。19、为求方程x3 x2 1=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式, 并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。x2 = ,迭代公式:x (A) x -1k+111x = 1 + ,迭代公式：x = 1 + (B) x 2k+1xk2x2二 1 +k-x2 + x + 1kk)。(1) p (A) 1,(2) P (B) 1,(4) P (B) 1x 3 1二x 2,迭代公式:x(D)k +121、解方程组Ax = b的简单迭代格式x(k+1) = Bx(k) + g收敛的充要条件是(Jb f (x)dx (b - a)X C(n)f (x )22、在牛顿-柯特斯求积公式：ai=0 i i中，当系数Cin)是负值时,公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。1) n 8，(2) n 7，(3) n 10，(4) n 6，23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次25、取扁1.732计算x =(爲-1)4，下列方法中哪种最好？()16 16(A) 28 -16 J3 ；(B) (4 - 2运)2 ；(C) (4 + 2再)2 ；(D) G，3 +1)4。27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是()11.522.533.5-10.52.55.0&011.5(A)5；(B) 4 ；(C) 3；(D) 2 。28、形如j丁g W(X1)+ f(x2)+ A3f(x3)的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为()(A)9；(B) 7 ； (C) 5t(D)3。29、计算、厅的Newton迭代格式为()x3x 3X2X3X = -k +X = -k +Xk +X= k +-(A)k+12x ；(B) k+1 2 2x ；kk(C) k +12X；k(D)k+13 xk = X 10-330、用二分法求方程x3 + 4x2-10 = 0在区间1,2内的实根，要求误差限为 2 则对分次数至少为( )(A)10； (B)12；(C)8； (D)9。32、设 li(x) 是以 xk = k(k = 0,1,L ,9) 为节点的 Lagrange 插值基函数，则 kl (k)=i k=0(A) x ；B) k ；C) i ；D) 1。33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A)5； (B)4； (C)6； (D)3。35、已知方程x3-2x -5 = 0在x = 2附近有根，下列迭代格式中在x0 = 2不收敛的是( )(A)(B)(0 X+i=x 3 - x - 5 ；kk(D)2x3 + 5x = kk+13x2 - 2k36、由下列数据012341243-5确定的唯一插值多项式的次数为( )(A) 4；(B)2；(C)1；(D)3。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打?，否则打?)1、已知观察值(x，y)(i = 012，m)，用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时，Pn（x）的次数n可以任意取。X 22、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。（）（x - %）（x- x2）3、（xi - x 0）（ xi - x 2）表示在节点X的二次（拉格朗日）插值基函数。（？）4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 （ ? ）311、-2 5 35、矩阵A=l 1 2 5丿具有严格对角占优。（）四、计算题：4 x + 2 x + x = 11123 x + 4 x + 2 x = 181231、用高斯-塞德尔方法解方程组 US + + 5x3 = 22，取X(0) = (0,0,0)T，迭代四次（要求按五位有效数字计算）。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、求A、B使求积公式I：f(皿Af(7 + f (1) +町(-2)+ f(2)的代数精度尽 量高，并求其代数精度；利用此公式求1 = TIdX (保留四位小数)。答案：f (x) - 1,x,x2是精确成立，即1 8 1求积公式为J1 f (x)dx 二-f (-1) + f (1) + -f (-) +-19922 1当f (x) x3时，公式显然精确成立；当f (x) x4时，左二5，右二3。所以代 数精度为 3。3、已知1345差商表为2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f（x）的三次插值多项式P3（x），并求f （2）的近似值（保留四位小数）。答案：+ 6( X _1)( X _ 4)( X _ 5)(3 -1)(3 - 4)(3 - 5)L(x)_ 2(x _ 3)(x _ 4)(x - 5)3X =(1 - 3)(1 - 4)(1 - 5)0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近 似值。答案：解： 应选三个节点，使误差尽量小，即应使1 3( x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 0.5,0.6,0.7最好，实际计算结果sin 0.63891 沁 0.596274，且7、构造求解方程ex +10x-2 = 0的根的迭代格式xn+1 =申(xn)，n二0，1，2，人，讨论其收 敛性，并将根求出来，1 xn+1-10-4。答案：解：令 f(x)二 ex +10x- 2, f (0) = -2 0.且f(x)二ex +10 0对Vx e(Y, + a)，故f (x) = 0在(0, 1)内有唯一实根.将方程 /(x) - 0变形为则当x e (0,1)时故迭代格式1申(x)二 10(2-ex)I 申(x) I二e x10收敛。取xo = 0.5，计算结果列表如下:n01230.035 1270.096 4240.089 8770.5872785325n45670.090 5950.090 5170.090 5250.090 525993340950008且满足 I x7 x6 I 0.000 000 95 10-6 .所以 x* 沁 0.090 525 0088、利用矩阵的LU分解法解方程组x + 2 x + 3x = 14 1232 x + 5 x + 2 x = 181233x + x + 5 x = 20 12312A=LU = 2 1答案:解:534 24令 Ly = b 得 y = (14,-10,-72)t，Ux = y 得 x = (1,2,3)T .3x + 2 x +10 x = 15123d0Xl 4X2 - X3 = 59、对方程组2x1 +10x2 4x3= 8(1) 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；(2) 取初值 x(0) = (0,0,0)T ，利用(1)中建立的迭代公式求解，要求II x(k+1) x(k)| 10-3 。g解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取x(0) = (0,0,0)T ,经7步迭代可得：x* 沁 x (7) = (0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)t .10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(x)i16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0x1时，f(x) = ex,则 f(x)l冬e，且牛心有一位整数.1 要求近似值有5位有效数字，只须误差R(n)(f) - 2x 104.由册)(f)船乜)1，只要即可，解得所以n二68，因此至少需将0,1 68等份。解：回代得1-1x1-4_5-43x2=-12211x3111-11-4 -r or5-43-12_5-43-121一1-11-4211112111111、用列主元素消元法求解方程组X3= 一1, X2= 6, X= 312、取节点x0二0,%二0.5,x2二1，求函数/(x)二e-x在区间0,1上的二次插值多项式P2(x)，并估计误差。P (x) = e-0 X(x - 0.5)(x - D + e-0.5 x (X - 0)(X -1) 解：2 丿(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)又 f (x) = e-x, f m(x) = -e-x, M 3 = max I f w(x) 1= 1 乂x 日0,1IR (x) 1=1 e-x - P (x)I 丄丨 x(x - 0.5)(x -1) I 故截断误差223!14、给定方程 f(x)=(x-1)ex -1=01) 分析该方程存在几个根；2）用迭代法求出这些根，精确到 5 位有效数字；3）说明所用的迭代格式是收敛的。解：1）将方程（x - 1）ex -1 二 0（1）改写为x -1 二 e-x（2）作函数 fi（x）= x-1, f2（x）二 e-x 的图形（略）知（2）有唯一根x* G（12）。2）将方程（2）改写为x二1 + e-x| xk+1 二1 + e - xk构造迭代格式二L5（k = 01,2,A ）计算结果列表如下：k1234567891.22311.29431.27401.27961.27811.27851.27841.27841.2784x k3199264763) 申(x) = 1 + e-x， 申，(x) = -e-x当 x e 1,2时，申(x) e 叩(2),申(1) u 1,2，且所以迭代格式xk+17（xk）（k二OWA ）对任意x0 e 1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求吋3的近似值。取x=1.7,计算三次，保留五位小数。0解：打是f (x ) = x 2 - 3二0的正根，八x)二2 x,牛顿迭代公式为n+12x即 S 二 T + 圭(n 二 GE)n取x=1.7,列表如下:01231.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2, f (1)=3, f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1,5)的近似值，取五位小数。解:L (x) = 2 x (x -1)(x - 2) + 3 x(x +1)(x-2) 2(-1 -1)(-1 - 2)(1 +1)(1 - 2)4 x (x +1)(x -1) 4 X(2 +1)(2 -1)117、n=3,用复合梯形公式求J0exdx的近似值(取四位小数)，并求误差估计。解:I1exdx 沁 T1 一 0二e0 + 2(e13 + e23) + e1 -1-7342f (x) = e x，厂(x) = e x， 0 x 1 时，I f(x) l e至少有两位有效数字。301、(x )1r 5 1 - 3 1x2-118、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组1 一 1 4 1丄丄分丿I x3 J=-8取x（o）=（O,O,O）t,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：301 - 3 1系数矩阵1 -1 4严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x（0）=（0,0,0）t，列表计算如下：11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、（8分）用最小二乘法求形如y = a + bx2的经验公式拟合以下数据:1925303819.032.349.073.3解：二 span1, x2解方程组 ATAC = ATy其中43391At A 二3391 3529603173.6179980.7解得：0.9255577 C =0.0501025所以 a = 0.9255577,b = 0.050102521、（15分）用n = 8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算“时，试用 余项估计其误差。用n = 8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的 近似值。解：T|R f =一b 一 a12h2 f(R ) 12 X e0 =命=.。0130222、（15分）方程x3 - x -1 = 0在x = 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x = x +1对应迭代格式xn+1= 3；xn + 1 ；(2) x =：xx对应迭代格式n+1L 11 +:x n ，3)x=x 3 -1对应迭代格式xn+1=xn-1。判断迭代格式在x0=1-5的收敛性，选一种收敛 格式计算 x = 1 . 5附近的根，精确到小数点后第三位。解：1 2铠x) = 3(x +1)-3,(1.5)| = 0.18 1，故收敛;申(x)=2)I 12 x 2 1 + x ,ba.5)| = 07 1，故发散选择(1)： x = 1.5 , x 二 1.3572,兀2 = 1.3309 , x = 1.3259 , 二 1.3249 ,x = 1.32476 x = 1.324725， 623、(8分)已知方程组AX二f,其中43-24 _A=34-1f=30-149-24(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。2) 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径。x( k+i)= _ (24 - 3x (k)1 4 2解：Jacobi迭代法:x(k+1)=丄(30 - 3x(k) + x(k) (2413x(k+1) =(24 - 3x(k)142Gauss-Seidel 迭代法：x(k+1)=丄(30 - 3x(k+1) + x(k)(2413x(k+1) = - (-24 + x(k+1)42k = 0,l,2,3, A0B =- D -1( L + U)=-芬000340p (bj ) N 58乎)=。.79056925、数值积分公式形如xf (x)dx 沁 S(x) = AA(0) + Bf (1) + Cf，(0) + DAI)试确定参数 A, B, C, D 使公式代数精 度尽量高；(2)设f (x) e C40,l，推导余项公式R(x) = *(x)dx-S(x)，并估计误差。解：将f (x) = 1,x，x 2,x 3分布代入公式得:A = , B = , B =丄,D =202030120JH 3( xi ) = f (xi )构造Hermite插值多项式吓)满足冋(叮=f匕)i =。，1其中 = 0，二=1则有：J*1 xH (x)dx = S (x)03，f化)f (x) - H 3( x)= x 2( x - 1)227、(10 分)已知数值积分公式为：hJ hf (x)dx 沁-f (0) + f (h) + X h 2 f (0) - f (h) 02，试确定积分公式中的参数九，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x)二1显然精确成立；h 2hf (x) = X 时,Jhxdx 二 二一0 + h +九h21 -10 2 2f (x) = x2 时，h3hh31J hx 2 dx =0 + h 2 + Xh 20 - 2h =- 2 九h 二九=一032212 ；f (x) = x3 时，h4h1J hx 3 dx = 0 + h 3 + h 20 - 3h204212；f (x) = x4 时，Jhx4dx =竺丰-0 + h4 + 丄h20-4h3=竺052126 ；所以,其代数精确度为 3。28、(8分)已知求5(a 0)的迭代公式为：证明：对一切k =1，2,人，xk沢万，且序列.是单调递减的, 从而迭代过程收敛。11I二(x + ) x2x :x X = va k 二 0,1,2Ax证明：k+12、k x 2 k x故对一切 k = h2, A , x a又寸-刃+耳）近 m 所以 x，即序列 W是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。f 3329、（9分）数值求积公式f 0f（皿2f+ f（2）是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：是。因为f（%）在基点1、2处的插值多项式为川力X f (1) +x 一 121X f(2)f3p(x)dx 二 |f (1) + f (2) 02其代数精度为 1。30、（6分）写出求方程4x二cosCh1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。x(6 分)n+1= Q(x )=丄1 + cos(x )n 4n ，n=0,1,2,“4 1对任意的初值x0 e 0，迭代公式都收敛。31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算応帀 的近似值，并利用余项估计误差。用 Newton 插值方法：差分表：1010.04761-0.0000941J115 沁 10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、I = J1（10分）用复化Simpson公式计算积分osin xdxx的近似值，要求误差限为 0.5 x 10 -5。或利用余项：sin xx 2x 4x6x8二 1 -+-+ -Ax3!5!7!9!(b - a)52880n42880x5n41，Gauss-Seidel 迭代法发散40、（10 分）已知下列函数表：012313927（1）写出相应的三次 Lagrange 插值多项式；（2）作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f5）的近似值。解：（1）0113292）均差表： 3272624186342、（10 分）取 5 个等距节点 ，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分I 2dx0 1 + 2x2 的近似值（保留4位小数）。f （x）=解：5 个点对应的函数值 f（x）11 + 2x2x00.511.52f(x.)i10.6666670.3333330.1818180.111111(2 分)(1) 复化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5)：(2) 复化梯形公式(n=2,h=2/2=1)：43、(10分)已知方程组Ax = b，其中_ 2 1 1_丁A=1 2 1b=11 1 2，1(1)列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式； (2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解：(1) Jacobi迭代法：B = D-i (L+U )=Jacobi 迭代矩阵：2)Gauss-Seidel 迭代法：G = (D 一 L)-iU = 0Gauss-Seidel 迭代矩阵：12141 8P (B)=-5 y!7i16该迭代法收敛10(x),l1(x),人ln(x)是以整数点x0,x1,A xn为节点的Lagrange插值基函数，则