中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛

长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛八 年 级 决 赛 试 题（时量：120分钟 满分：100分）一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）（请将惟一对的的选项代号填在下面的答题卡内）题号12345678910答案1、多项式的值总为（ ）A、非负数 B、零 C、负数 D、正数2、比较2，的大小，对的的是（ ）A、 B、 C、 D、3、当时，=（ ）A、 B、 C、 D、4、设 0，则之间的大小关系是（ ）A、M P N B、N P M C、P M N D、P N M 5、下列五个命题:若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5；若点在第三象限,则点在第一象限；连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形；两边及其第三边上的中线相应相等的两个三角形全等. 其中对的的命题的个数是（ ）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个6、在ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB的取值范畴是（ ）A、3 AB 13 B、5 AB 13 C、9 AB 13 D、1 AB 9第7题7、如图，直线和双曲线（）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、B重叠），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设AOC的面积为、BOD的面积为、POE的面积为，则有（ ）A、 B、 C、 D、8、有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品. 若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元. 现购铅笔、练习本、圆珠笔各1件，共需（ ）A、1.2元 B、1.05元 C、0.95元 D、0.9元9、有关的方程的解是正数，则的取值范畴是（ ） A、 B、 C、 D、10、如图所示，已知ABC和DCE均是等边三角形，点B、ADCB第10题EGFOC、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：AEBD；AGBF；FGBE；BOCEOC，其中对的结论的个数（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个二、填空题（本题有8小题，每题3分，共24分）11、若，则 .12、已知，若，则.13、分解因式： . 14、如图，DCAB，BAE =BCD，AEDE，D = 130，则B = .第14题第15题第17题15、如图是根据某初中为地震灾区捐款的状况而制作的记录图，已知该校在校学生有人，请根据记录图计算该校共捐款 元16、设多项式，已知当0时，；当时，则当时， .17、如图，直线过点A（0，2），且与直线A1A3A2B1B2B3M1M2M3COxy第18题交于点P（1，m），则有关的不等式组mxkx+bmx2的解集是_.18、如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形 OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2 交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3 交于点M3；，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为Mn _三、解答题（本题有4小题，共46分）19、（本题满分12分） “六一”前夕，某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具套，B种玩具套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示型 号C进价(元套)405550售价(元套)508065 用含、的代数式表达购进C种玩具的套数； 求与之间的函数关系式； 假设所购进的这三种玩具能所有卖出，且在购销这种玩具的过程中需要此外支出多种费用200元求出利润P(元)与(套)之间的函数关系式；求出利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套20、（本题满分12分）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，BGCE，垂足为点O，交AC于点F，交AD于点G.（1）证明：BE=AG；EBAOFGCD（2）点E位于什么位置时，AEF=CEB，阐明理由.21、（本题满分12分）在平面直角坐标系内有两点A（-2，0），B（4，0）和直线.在直线上与否存在点P，使为直角三角形，若存在，祈求出P点的坐标；若不存在，请阐明理由.22、（本题满分10分） 已知a，b是实数，若有关x，y的方程组有整数解，求a，b满足的关系式.长沙市中学数学“学用杯”应用与创新能力大赛八年级试题参照答案与评分原则一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）题号12345678910答案ACBDBACBDD二、填空题（本题有8小题，每题3分，共24分）11、 12、-1 13、 14、40 15、2518016、-17 17、 18、(1,)或另一书写形式(,)三、解答题（本题有4小题，共46分）19、（本题满分12分）解：解：（1）购进C种玩具套数为：50xy（或47xy）2分（2）由题意得, 整顿得 5分（3）利润销售收入进价其他费用6分又整顿得 7分购进C种电动玩具的套数为：据题意列不等式组，解得 9分x的范畴为，且x为整数 的最大值是23 10分在中，0 P随x的增大而增大当x取最大值23时，P有最大值，最大值为595元此时购进A、B、C种玩具分别为23套、16套、11套 12分1EBAOFGCD3220、（本题满分12分）解（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=BAD=90，1+3=90，BGCE,BOC=902+3=90,1=2. 2分在GAB和EBC中，GAB=EBC=90,AB=BC,1=2； GABEBC (ASA) 5分AG=BE. 6分（2）解：当点E位于线段AB中点时，AEF=CEB. 7分理由如下：若当点E位于线段AB中点时，则AE=BE,由（1）可知，AG=BE AG=AE. 四边形ABCD是正方形，GAF=EAF=45.8分又AF=AF,GAFEAF (SAS)，AGF=AEF. 10分由（1）知，GABEBC AGF=CEB,AEF=CEB. 12分21、（本题满分12分）解：（1）如果点A或点B为直角顶点，则点的横坐标为-2或4.易得， 4分（2）如果点P为直角顶点，则线段AB为斜边，AB=6，AB的中点为，连结PC，则PC=3. 6分设P点的坐标为，作于点D，则，即， 8分整顿得 解得，.相应地 ，. ，11分综上，在直线上存在四个点P：，使为直角三角形 12分22、（本题满分10分）解：将代入，消去a、b，得，即. 4分若x+1=0，即，则上式左边为0，右边为不也许，因此x+10.于是.由于x、y都是整数，因此，即或0，进而y=8或0. 故 或 8分当时，代入得，；当时，代入得，.综上所述，a、b满足关系式是，或者，a是任意实数.10分