2014高考数学 必考热点大调查15 组合体问题

恒谦教育教学资源库教师备课、备考伴侣专注中国基础教育资源建设2014高考数学必考热点大调查：热点15组合体问题【最新考纲解读】(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构(2)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆)【回归课本整合】2.棱锥（1）定义:一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.(2)性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比.（3）棱锥的侧面积=各侧面三角形面积的和；正棱锥的侧面积底面周长斜高, 棱锥的全面积侧面积底面积.3.球（1）球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面. （2）球的截面：用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆（3）球的表面积公式：.4.棱柱、棱锥与球的体积（1）棱柱：体积底面积高，或体积直截面面积侧棱长，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长；三棱柱的体积（其中为三棱柱一个侧面的面积，为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）（2）棱锥：体积底面积高.（3）球的体积公式：.5.正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台正棱台的性质：各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高，斜高都相等两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形；正棱台的上、下底面中心的连线是棱台的一条高 (2)圆柱的结构特征平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)是全等的矩形除了这两条重要特征外，还应掌握下面的一些重要属性所有的轴截面是以两底面直径和两条母线为边的全等矩形，若该矩形为正方形，则圆柱叫等边圆柱用平行于轴的平面去截圆柱，所得的截面是以底面圆的弦和两条母线为边的矩形也就是说过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形，在这所有的截面矩形中，以轴截面面积最大(3)圆锥的结构特征平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形；过圆锥两条母线的截面当轴截面的顶角不大于90时，轴截面面积最大；当轴截面顶角大于90时，两母线垂直时截面面积最大(4)圆台的结构特征平行于底面的截面都是圆；过轴的截面是全等的等腰梯形截面图为正方形EFGH的内切圆，如图所示.设正方体的棱长为，则.（2）与正方体各棱相切的球： 截面图为正方形EFGH的外接圆.则.（3）正方体的外接球：截面图正方形ACA1C1的外接圆.则.3. 正棱柱(锥)与外接球以正三棱柱为例，设高为，底面边长为，如图所示.球心必落在高DD1的中点O，因为D和D1分别为正三角形的中心.直角三角形AOD，RAO, OD=，AD=，借助勾股定理即可求R.解决关键确定直角三角形.4. 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球（1）如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.三棱锥A1-AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的球心重合.设，则CBASO(2)如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.(L为长方体的体对角线长).5. 各面均为直角三角形三棱锥与球如右图，SA面ABC,ABBC,则可推出SBBC,即此三棱锥的四个面全是直角三角形.取SC的中点为O,由直角三角形的性质可得：OA=OS=0B=OC,所以O点为三棱锥的外接球的球心.【方法技巧提炼】1. 求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素3.常见的特殊几何体的性质（1）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体；平行六面体的任何一个面都可以作为底面；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和.（2）长方体：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+ cos2+cos2=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2.（3）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形；若正棱锥的侧面与底面所成的角为，则.（4）正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.设正四面体的棱长为，则高为，斜高【考场经验分享】1注意特殊的四棱柱的区别：直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、平行六面体、直平行六面体2棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据，两底面平行且是相似多边形3注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形4将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.5与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.6.关于组合体的考查一般放在压轴的选择或填空的位置，难度较大，需具有较强的画图能力和空间想象能力，尤其是与球相关的内切与外接问题，具有一定的规律和常用的结论，故总结常用的类型，形成解题的套路和模式.2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是 A B C D3.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（ ）ABCD6.【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形， 为球的直径，且，则此棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 8.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】四面体中，则四面体外接球的表面积为（ ）A B C D 9.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB=6，棱锥O-ABCD的体积为，则球O的表面积为A B C D10.【2012-2013学年度河北省普通高中11月高三教学质量监测】已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为（ ）A B C D【答案】D11.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB=6，棱锥O-ABCD的体积为，则球O的表面积为A B C D12.【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积最大值时，其高的值为（ ）A B C D13.【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】已知ABCD为正方形，点P为平面ABCD外一点，二面角为，则点C到平面PAB的距离为 14.【云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）】正三棱锥ABCD内接于球O，且底面边长为，侧棱长为2，则球O的表面积为_ 15.【北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm，深2 cm的空穴，则该球的半径是_cm，表面积是_cm. 体的表面积为，其外接球的表面积为，则_.18.【云南玉溪一中高2013届高三上学期第三次月考】 设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是 .19.【河南中原名校20122013学年度第一学期期中联考】已知球Ol、O2的半径分别为l、r，体积分别为V1、V2，表面积分别为S1、S2，当时，的取值范围是 .20.【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为 cm21.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】 在三棱柱中，侧棱垂直底面，BC=1，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为 【2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】已知A，B，C，D四点在半径为的球面上，且，AD=BC=5，AB=CD，则三棱锥DABC的体积是22.【云南玉溪一中2013届第四次月考试卷】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，则球心到截面的距离为_.23.【2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】 如图，单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P-ACD1的体积 为_适用于新课程各种版本教材的教学 全国统一客服电话：400-715-6688第10页