特征值与特征向量的特点及应用

郑州大学毕业设计 （ 论文 ） 题目：特性值与特性向量的特点及应用指引教师：陈铁生 职称：副专家学生姓名： 洪天麟 学号2100311专业：数学与应用数学院系：数学与记录学院完毕时间：5月10日 目录摘要.11 线性变换的特性值与特性向量，特性多项式和特性子空间的定义.22 特性值与特性向量的计算以及不变子空间的问题.103 矩阵的公共特性向量与同步三角化.144 特性值与特性向量的运用.20参照文献.23道谢.24 特性值与特性向量的特点及应用 摘要：这篇文章论述了特性值与特性向量的特点及应用，给出了特性值与特性向量、特性多项式、特性子空间等的概念和性质定理。并且给出了特性值与特性向量在物理学当中的应用，提供了某些典型习题的解答措施。还给出了特性值与特性向量在实际生产生活当中的应用。核心词:特性值，特性向量，特性多项式，不变子空间，特性子空间 Abstract: this article expounds the characteristics of the eigenvalue and eigenvector and applications of eigenvalue and eigenvector is given, and characteristic polynomial, such as feature subspace concept and nature of the theorem. And eigenvalue and eigenvector are given in the application of physics, provides some classical problem solution method. Eigenvalues and eigenvectors are also in the actual application of production and living. Key words: eigenvalues, eigenvectors and characteristic polynomial, invariant subspace, feature subspace 矩阵的特性值和特性向量在现实实际拥有广泛的应用，矩阵的特性值和特性向量理论在经济分析、信息科学、天文物理学、生命科学和环保等领域均有联系。结合数学模型来研究等一系列问题，我们重要从三方面着手：线性变换的特性值与特性向量，特性多项式和特性子空间的定义；矩阵的公共特性向量与同步三角化；特性值与特性向量的运用。 1线性变换的特性值与特性向量，特性多项式和特性子空间的定义若存在非零向量V, 使得对于某个K,有A=, 则称是A的属于特性值的特性向量。从数学的直观解析几何角度来看，特性向量的方向线性变换后，还是在一条直线，要么方向不变（不小于0）要么方向相反（不不小于0），在等于0时，特性向量被线性变换变成0.是线性变换的属于特性值的特性向量，那么的任意一种非零背书k也是A的属于的特性向量。由于由A=推出A（k）=（k）特性向量不是被特性值所唯一决定的。相反，特性值确是被特性向量唯一决定，一种特性值向量只能属于一种特性值。数学上，线性变换的特性向量（本征向量）是一种非退化的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特性值（本征值）。一种变换一般可以由其特性值和特性向量完全描述。特性空间是相似特性值的特性向量的集合。这些概念在纯数学和应用数学的诸多领域发挥着巨大的作用在线性代数，泛函分析，甚至在某些非线性的状况中也有着明显的重要性。“特性”一词来自德语的eigen。19希尔伯特一方面在这个意义下使用了这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在有关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于.的”，“有特性的”或者“个体的”这强调了特性值对于定义特定的变换有多重要。空间上的变换如平移(移动原点)，旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些变换的组合；以及其他变换可以通过它们在向量上的作用来显示。向量可以用从一点指向另一点的箭头来表达。例子随着地球的自转，每个从地心往外指的箭头都在旋转，除了在转轴上的那些箭头。考虑地球在一小时自转后的变换：地心指向地理南极的箭头是这个变换的一种特性向量，但是从地心指向赤道任何一处的箭头不会是一种特性向量。由于指向极点的箭头没有被地球的自转拉伸，它的特性值是1。另一种例子是，薄金属板有关一种固定点均匀伸展，使得板上每一种点到该固定点的距离翻番。这个伸展是一种有特性值2的变换。从该固定点到板上任何一点的向量是一种特性向量，而相应的特性空间是所有这些向量的集合。但是，三维几何空间不是唯一的向量空间。例如，考虑两端固定的拉紧的绳子，就像弦乐器的振动弦那样（图2.）。振动弦的原子到它们在弦静止时的位置之间的带符号那些距离视为一种空间中的一种向量的分量，那个空间的维数就是弦上原子的个数。如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换，它的特性向量，或者说特性函数（如果将绳子假设为一种持续媒介），就是它的驻波也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉她的拨动声的振动。驻波相应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一种因子（特性值）。和弦有关的该向量的每个分量乘上了一种依赖于时间的因子。驻波的振幅（特性值）在考虑到阻尼的状况下逐渐削弱。因此可以将每个特性向量相应于一种寿命，并将特性向量的概念和共振的概念联系起来。设A 是数域P上的一种n级矩阵，是一种数字。矩阵的行列式 |=称为A的特性多项式，这是数域P上的一种n次多项式。上面的分析阐明，如果是线性变换的特性值，那么一定是矩阵A的特性多项式的一种根；反过来，如果是矩阵A的特性多项式在数域P中的一种根，即|E-A|=0.命题 线性空间V中属于拟定的特性值的特性向量（添加上零向量）构成子空间。证明 设,是属于的特性向量，任意k,lK,则A(k+k)=kA()+lA()=k+l=(k+k).证毕。定义 线性空间V中属于拟定的特性值的特性向量（添加上零向量）构成子空间称为属于特性值的特性子空间，记为.不变子空间：空间中的任何元素通过映射映射后，新的元素仍在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变空间l4.4.2有关特性值，特性向量，特性向量与特性子空间的某些性质定理 相似的矩阵有相似特性多项式证明 设AB,那么可逆矩阵X，有B=.于是|=|=| =|=|.此定理阐明，线性变换的矩阵特性多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换所拟定的。命题 线性变换的属于不同特性值的特性向量线性无关。证明 设为上的线性变换，是两两不同的特性值，是属于特性子空间的特性向量，设，使得，两边用作用（），于是得到方程组，其中的方幂构成的矩阵为，两两不同，于是此矩阵的行列式非零，矩阵非退化，于是方程组只有零解，即，又由于特性向量非零，则，则线性无关。证毕。 推论 维空间的具有个不同特性值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵.证明 取每个特性值的一种特性向量作为基即可。推论 设为的两两不同的特性值，则为直和。证明 只要证明零向量的表达法唯一即可。设，假若某个，则线性有关，与上述命题矛盾。证毕。定理 维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充足必要条件是该空间等于特性子空间的直和。证明 必要性 设上的线性变换在一组基下成对角形，即，将中的不同的值分别记为，相应的基向量记为，记，易见，只要证明，即可。易见，“”成立；任取，（1），其中，两边用作用，得到（2），用（1）乘以与（2）相减，得到，两两不同，又属于不同特性值的特性向量线性无关，得，即有。“”得证。于是，必要性证毕。充足性 若上的线性空间可以分解成为特性子空间的直和，记号同上，则，分别取个个特性子空间的基合并为的一组基，则在此组基下，的矩阵成对角形。证毕。 这里加入代数重数与几何重数的概念：1） 代数重数：若 |=其中互不相似，并且那么称为特性值的代数重数.2) 几何重数：x=0的基本解系所含的向量个数为特性值的几何重数并且 几何重数=n-秩.3） 为A的任意一种特性值，那么几何重数代数重数 特性值与特性向量的计算以及不变子空间的问题例1：（中国科学院）求矩阵的本征值，本征矢量,这些矢量（i=1,2,3)与否为正交的？ 解：本征值就是特性值，本征矢量就是特性矢量。 |=B的三个特性值是. 当时，由 得基本解系（是属于特性2的特性向量）为 （1） 当，由得到属于特性值1的特性向量为 （2） 当，由得到属于特性值4的特性向量为 （3） 由（1）（2）（3）可以得到是互相正交的（事实上不同特性值之间一定是互相正交的）例2：(数学三，1993年) n阶方阵A具有n个不同特性值是A与对角矩阵相似的（ ） （A)充足必要条件 （B)充足而非必要条件 （C)必要而非充足条件 （D）既非充足也非必要条件答案B用排除法。例如令A=E，其中E是n阶单位阵，则A相似于对角阵。但它的n个特性值全相似。因此不是必要条件，从而否认（A),(C).再者，当A有n个不同特性值时，它们相应的特性向量一定是线性无关，令P=(),那么 ，那么A相似于对角阵，因此是充足条件，选择（B)例3：（中国人民大学，1992年） 设A,B都是n阶矩阵，E为n阶单位阵，则下面的结论对的的是（）。一若E-AB可逆，必有E-BA可逆例3：（南开大学，） 设V是数域P上的3维线性空间，线性变换f:VV在V的基下的矩阵为 （2） 求线性变换f的特性值和特性向量：（3） 线性变换f可否在V的某组基下的矩阵为对角形，为什么？解（2）计算得到 那么A有3个相似的特值代入特性方程，有因此A的属于特性值1的线性无关特性向量为因此属于1的所有特性向量为k,k.(3) 线性变换f在V的任一组基下都不也许有对角阵，由于它只有一种线性无关的特性向量。例4：（华中科技大学） 设T是线性空间V上的线性变换，Z是V的非零向量。若向量组Z,TZ,.线性无关，而 线性有关。证明：子空间W=L(Z,TZ,.)是T的不变子空间，并求在该组基下的矩阵。 证 由于Z,TZ,.线性无关，而Z,TZ,.，线性有关，那么可由Z,TZ,.线性表出，是 =那么证明W是T的不变子空间。 矩阵的公共特性向量与同步三角化引理12 若，则至少有一种公共特性向量定理1设分别是复数域维线性空间上的线性变换，至少有一种公共特性向量充足必要条件是，其中证：必要性若至少有一种公共特性向量，不妨设相应于特性向量的特性值分别是，即，故，又，因此，充足性若，即，又由于，故，即，是的子空间现考虑在上限制的线性变换，则其在复数域必存在特性值使得故是一种公共特性向量定理设分别是复数域维线性空间上的线性变换，且满足或者，则至少有一种公共特性向量证：若，从而，即则，从而，即是子空间现考虑在上限制的线性变换，则其在复数域必存在特性值使得又，故是一种公共特性向量若，是特性值所相应的特性向量，即，从而，则，使得，则就有，又，则，即是子空间现考虑在上限制的线性变换，则其在复数域必存在特性值使得又，故是一种公共特性向量由上以证明的定理可以得到诸多常用的结论，如下：推论1 若或者(为任意常数)，则至少有一种公共特性向量推论21若，则至少有一种公共特性向量推论3 若，且有个互异的特性值，则至少有个公共特性向量推论4若阶复数矩阵两两可互换，则它们至少有一种公共特性向量推论5若其中有一种是单纯矩阵，定理设均是阶复数矩阵，则可同步上三角化的充足必要条件是至少有一种公共特性向量证：充足性不妨设是一种公共特性向量，将其单位化记为，扩大为复数域一组基.设有关的特性向量特性值分别是,则有.令,则，由归纳法知，存在阶矩阵使得,令，则.必要性设存在可逆阵，使得设按列分块为，上式即为则有，故设是一种公共特性向量. 例1 （北京大学1990年） 设A试证明：（1） A在复数域上可以对角化：（2） A在有理数域上不可对角化。证（1）计算可得 用辗转相除法可以证得在复数数域上A相似于对角阵。（2）若A在有理数域上可以对角化，那么A的特性值必须都是有理数，从而的首项系数为一，从而的有理根必然是整数根。由于的常数项为负数八，如果有整数根必然为正负一，正负二，正负四，正负八。用综合除法验算它们都不是的根，因此无有理根。从而证明了A在有理数域上是不可以对角化的。例2 设是实正定阶矩阵，证明：是正定矩阵的充要条件是.证明必要性显然.充足性由是实正定阶矩阵且，由推论2及定理3知设存在可逆阵，使得故即是正定矩阵.例3（数学一，） 某实验生产线每年一月份进行纯熟工与非纯熟工的人数记录，然后将六分之一纯熟工支持其她生产部门，其缺额由招收新的非纯熟工补齐，新，老非纯熟工通过培训及实践至年终考核有五分之二成为纯熟工，设第n年一月份记录的纯熟工和非纯熟工所占比例分别为和，记成向量(1) 求与的关系式并且把它写成矩阵 形式=A；(2) 验证是A的两个线性无关的特性向量，并求出相应的特性值；解：由于本题的第一问与所要讨论的主题无关，故直接给出答案，没有给出具体的解答过程，望请谅解。（1) A=是所求关系矩阵。（2) A相应的特性值为=1.A相应的特性值为=。不同特性值的特性向量一定线性无关相应的特性值为=。由本题可以看出，特性向量在是实际的生产生活当中也有广泛的应用。 特性值与特性向量的运用特性值与特性向量在物理学当中也有广泛的应用。特性值在物理学当中的应用：在方矩阵A，其系数属于一种环的状况，称为一种右特性值如果存在一种列向量x使得Ax=x，或者称为一种左特性值如果存在非零行向量y使得yA=y。若环是可互换的，左特性值和右特性值相等，并简称为特性值。否则的话，例如当环是四元数集合的时候，它们也许是不同的。若向量空间是无穷维的，特性值的概念可以推广到谱的概念。谱是标量的集合，对于这些标量，没有定义，也就是说它们使得没有有界逆。很明显，如果是T的特性值，位于T的谱内。一般来讲，反过来并不成立。在希尔伯特空间或者巴拿赫空间上有某些算子完全没有特性向量。这可以从下面的例子中看到。在希尔伯特空间(所有标量级数的空间，每个级数使得收敛)上的双向平移没有特性向量却有谱值。在无穷维空间，有界算子的谱系总是非空的，这对无界自共轭算子也成立。通过检查谱测度，任何有界或无界的自共轭算子的谱可以分解为绝对持续，离散，和孤立部分。指数增长或者衰减是持续谱的例子，而振动弦驻波是离散谱例子。氢原子是两种谱均有浮现的例子。氢原子的束缚态相应于谱的离散部分，而离子化状态用持续谱表达。 特性向量-应用特性向量-分子轨道在量子力学中，特别是在原子物理和分子物理中，在Hartree-Fock理论下，原子轨道和分子轨道可以定义为Fock算子的特性向量。相应的特性值通过Koopmans定理可以解释为电离势能。在这个状况下，特性向量一词可以用于更广泛的意义，由于Fock算子显式地依赖于轨道和它们的特性值。如果需要强调这个特点，可以称它为隐特性值方程。这样地方程一般采用迭代程序求解，在这个状况下称为自洽场措施。在量子化学中，常常会把Hartree-Fock方程通过非正交基集合来体现。这个特定地体现是一种广义特性值问题称为Roothaan方程。特性向量-因子分析在因素分析中，一种协变矩阵的特性向量相应于因素，而特性值是因素负载。因素分析是一种记录学技术，用于社会科学和市场分析、产品管理、运筹规划和其她解决大量数据的应用科学。其目的是用称为因素的少量的不可观测随机变量来解释在某些可观测随机变量中的变化。可观测随机变量用因素的线性组合来建模，再加上“残差项。特性向量-特性脸是特性变量的例子特性脸在图像解决中，脸部图像的解决可以看作分量为每个像素的辉度的向量。该向量空间的维数是像素的个数。一种原则化面部图形的一种大型数据集合的协变矩阵的特性向量称为特性脸。它们对于将任何面部图像体现为它们的线性组合非常有用。特性脸提供了一种用于辨认目的的数据压缩的方式。在这个应用中，一般只取最大那些特性值所相应的特性脸。 参照文献1北京大学数学系.高等代数：第三版M. 北京：高等教育出版社，,3262樊恽，郑延履，刘合国线性代数学习指引（科学版）：第一版M.北京：科学出版社，：3钱吉林高等代数解题精粹：修订版M. 北京：中央人民大学出版社，480-4854邵逸民矩阵的公共特性值与特性向量的研究J,太原师范学院学报5李慧陵，高等代数. 高等教育出版社6高等代数 北京大学第三版. 北京大学精品课程7扬子胥.高等代数习题解下册（修订版）M.山东科技出版社8美麻省理工学院。代数（英文版）M. 机械工业出版社 道谢 在这篇文章完毕之时，得到了陈铁生教师诸多的协助和鼓励，陈教师多次询问研究进程，并为我指点迷津，协助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。陈教师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，并且教我做人，虽历时三载，却给以终身受益无穷之道。对陈教师的感谢之情是无法用言语体现的。在陈教师的悉心指引下，才让我准时完毕本文。陈教师在论文中浮现的某些问题提出了珍贵的修改意见，让我受益匪浅。同步，在学业上协助过我的教师和同窗，趁论文完毕之时向她们表达衷心地感谢！