实际问题与二元一次方程组经典例题学生版

实际问题与二元一次方程组典型例题列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。此类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。此类问题也比较直观，因而也画线段图协助理解与分析。此类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常用的两种题型，在这两种题型中都存在着一种相等关系，这个关系波及到两者的速度、本来的距离以及行走的时间，具体表目前：“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们本来的距离； “同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们本来的距离(3)航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度； 船在静水中的速度水速船的逆水速度； 船的顺水速度船的逆水速度2水速。注意：飞机航行问题同样会浮现顺风航行和逆风航行，解题措施与船顺水航行、逆水航行问题类似。2工程问题：工作效率工作时间=工作量.3商品销售利润问题：(1)利润售价成本(进价)；(2)；(3)利润成本（进价）利润率；(4) 标价成本(进价)(1利润率)；(5)实际售价标价打折率；注意：“商品利润售价成本”中的右边为正时，是赚钱；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4储蓄问题：(1)基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。 利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和：本金与利息的和叫做本息和。 期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。 利息税：利息的税款叫做利息税。 (2)基本关系式 利息本金利率期数 本息和本金利息本金本金利率期数本金 (1利率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。 税后利息利息 (1利息税率) 年利率月利率12 。注意：免税利息=利息 5配套问题：解此类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6增长率问题：解此类问题的基本等量关系式是：原量(1增长率)增长后的量；原量(1减少率)减少后的量.7和差倍分问题：解此类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量.8数字问题：解决此类问题，一方面要对的掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特性及其表达。如当n为整数时，奇数可表达为2n+1(或2n-1)，偶数可表达为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9浓度问题：溶液质量浓度=溶质质量.10几何问题：解决此类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11年龄问题：解决此类问题的核心是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般环节列二元一次方程组解应用题的一般环节可概括为“审、设、找、列、解、检、答”七步.即：（1） 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数；（2） 设：根据题意设元（3）找：找出可以表达题意两个相等关系；（4）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（5）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（6）检：检查所求的解与否符合实际问题;（7）答：在对求出的方程的解做出与否合理判断的基本上，写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，并且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的成果与否合理，不符合题意的解应当舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几种未知数就应当列出几种方程并构成方程组. 解答环节简记为：问题方程组解答(4)列方程组解应用题应注意的问题 弄清多种题型中基本量之间的关系； 审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； 注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带单位；对的书写速度单位，避免与路程单位混淆； 在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； 列方程组解应用题一定要注意检查。 典型例题透析类型一：列二元一次方程组解决行程问题1甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同步由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续迈进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 2在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米分别在A、C两个加油站实行抢劫的两个犯罪团伙作案后同步以相似的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相似的速度分别往A、C两个加油站驶去，成果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙通过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么她们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么她们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？ 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。 跟踪训练1、 甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同步向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同步相向而行，2分钟后相遇，问甲、乙两人的速度是多少？甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲乙每分钟跑多少圈？类型二：列二元一次方程组解决工程问题1一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才干完毕；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才干完毕，问两人每天各做多少个机器零件？2某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，规定在规定期限内完毕，按照这个服装厂本来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户规定的期限内只能完毕订货的；目前工厂改善了人员组织构造和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定期间少用1天，并且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？规定的期限是几天？举一反三：【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合伙6周完毕需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩余的由乙公司来做，还需9周完毕，需工钱4.8万元.若只选一种公司单独完毕，从节省开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你阐明理由. 跟踪训练1、 一千零一夜中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1/3，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就同样多了。”你懂得树上、树下各有多少只鸽子吗？类型三：列二元一次方程组解决商品销售利润问题1一件商品如果按定价打九折发售可以赚钱20%；如果打八折发售可以赚钱10元，问此商品的定价是多少？2有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。价风格节后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？ 思路点拨：做此题的核心要懂得：利润进价利润率举一反三：【变式1】（湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜多种植了多少亩？【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（注：获利 = 售价 进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；跟踪训练1、 打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元，打折后，买50件A商品和50件B商品用了960元，比不打折少花多少钱？2、 有甲、乙两种债券，年利率分别是10与12，既有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？类型四：列二元一次方程组解决银行储蓄问题4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，目前以两种方式在银行共存了元钱，一种是年利率为2.25的教育储蓄，另一种是年利率为2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税利息金额20%，教育储蓄没有利息所得税）举一反三：【变式1】李明以两种形式分别储蓄了元和1000元，一年后所有取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额20%） 思路点拨：扣税的状况：本金年利率(1-20%)年数=利息（其中，利息所得税=利息 金额 20%）.不扣税时：利息=本金年利率年数. 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹办上高中的费用，在银行同步用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相似，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同步取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题1某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现筹划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才干使做的衣身和衣袖正好配套？ 2某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一种螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才干使每天生产出来的产品配成最多套？举一反三：【变式1】既有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一种盒身与两个盒底配成一种完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一种螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分派多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才干使生产出的螺栓和螺母刚好配套。【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿构成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。既有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，正好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决数字问题8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一种四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一种四位数，已知前一种四位数比后一种四位数大2178，求这两个两位数。举一反三：【变式1】一种两位数，减去它的各位数字之和的3倍，成果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？【变式2】一种两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字互换位置，那么得到的新两位数比本来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式3】某三位数，中间数字为0，其他两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。跟踪训练1、一种两位数字，个位数字比十位数字大5，如果把这两数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数3、 甲乙两盒中各有某些小球，如果从甲盒中拿出10个放入乙盒，则乙盒球就是甲盒球数的6倍，若从乙盒中拿出10个放入甲盒，乙盒球数就是甲盒球数的3倍多10个，求甲乙两盒本来的球数各是多少？类型七：列二元一次方程组解决增长率问题6. 某工厂去年的利润（总产值总支出）为200万元，今年总产值比去年增长了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？ 举一反三：【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？【变式2】某都市既有人口42万，估计一年后城乡人口增长0.8%，农村人口增长1.1%，这样全市人口增长1%，求这个都市的城乡人口与农村人口。类型八：列二元一次方程组解决年龄问题1今年爸爸的年龄是儿子的5倍，6年后爸爸的年龄是儿子的3倍，求目前爸爸和儿子的年龄各是多少？ 总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一种人的年龄变化（增大、减小）了，其她人也同样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相似的（相似的时间内）。举一反三：【变式1】今年，小李的年龄是她爷爷的五分之一.小李发现，之后，她的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.类型九：列二元一次方程组解决和差倍分问题1.（北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原筹划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了本来的1.6倍、1.5倍，正好准时完毕了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？举一反三：【变式1】 (北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在提出的一项倡议号召个人、社区、公司和政府在每年3月最后一种星期六20时30分21时30分熄灯一小时，旨在通过一种人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内地去年和今年共有119个都市参与了此项活动，且今年参与活动的都市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个都市参与了此项活动【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽同样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你懂得男孩与女孩各有多少人吗？类型十：列二元一次方程组解决几何问题10如图，用8块相似的长方形地砖拼成一种长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？ 举一反三：【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一种矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一种正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？类型十一：列二元一次方程组解决优化方案问题： 12某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 本地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同步进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜所有销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜所有进行粗加工；方案二：尽量多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其他蔬菜进行粗加工，并正好在15天完毕你觉得选择哪种方案获利最多？为什么？举一反三：【变式】某商场筹划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。(1)若商场同步购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？