抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧函数的周期性:1、定义在xCR上的函数y=f(x),满足f(x+a尸f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a0)恒成立，如此 y=f(x)是周期为2a的周期函数； 2、假设y=f(x)的图像关于直线 x=a和x=b对称，如此函数 y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、假设y=f(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，如此函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、假设y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=bawb，如此函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、假设函数y=f(x)满足f(a+x尸f(a-x),其中a0,且如果y=f(x)为奇函数，如此其周期为4a；如果y=f(x)为偶函数，如此其周期为2a;6、定义在 x R 上的函数 y=f(x),满足 f(x+a)=-f(x)或f x a -或f x a -，如此 y=f(x)f(x)f(x)是周期为2|a|的周期函数；f x 1 . . 7、假设f x a 在xCR恒成立，其中a0,如此y=f(x)是周期为4a的周期函数；f x 11 f x8、假设f x a 在xCR恒成立，其中a0,如此y=f(x)是周期为2a的周期函数。f x 1f x 117、8应掌握具体推导万法，如7f x a 1 f x 121f x 2a f x a 1 f x 1 1 2f (x) f (x)f x 1ab对称;2函数图像的对称性:1、假设函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),如此函数y=f(x)的图像关于直线x 2、假设函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x),如此函数y=f(x)的图像关于直线 x=a对称;3、假设函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x尸c ,如此y=f(x)的图像关于点-ab c成中心对称图形； 2 24、曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为 f(2a-x,2b-y)=0 ;5、形如yax b ccx d0,adbc的图像是双曲线，由常数别离法6、d adc cd c x cadbd知：对称中心是点d,-；dc c设函数y=f(x)定义在实数集上，如此 y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线x a对称;27、假设函数y=f(x)有反函数，如此 y=f(a+x)和y=f-1(x+a)的图像关于直线 y=x+a对称。、换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的根本方法 例1. f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x,求 f(x)二、方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。例2 设yf(x)是实数函数(即x, f (x)为实数),且f(x) 2 f (1) x,求证：|f(x)| - 0时f(x)0，且f(1)= -2 ,求f(x)在卜3, 3上的最大值和最小值。例7.定义在R+上的函数f(x)满足：对任意实数 m, f(xm)=mf(x)；f(2)=1 .(1)求证：f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立；(2)证明f(x)是R+上的单调增函数；假设f(x)+f(x-3) f(x)+5 ,f(x+1) 。且a w 1)f(x+y)=f(x)f(y)或f x y f x f y对数函数 f(x)=log ax(a0 且 aW1)f(xy)=f(x)+f(y) 或 f 4 f x f y y正、余弦函数 f(x)=sinxf(x尸cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x尸tanxf(x y) f(x) f(y)1 f(x)f(y)余切函数 f(x)=cotx一 、1 f(x)f(y) f (x y)f(x) f(y)例10 .实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x尸f(2-x)，方程f(x)=0有5个实根，如此这5个根之和=例11.设定义在 R上的函数f(x),满足当x0时，f(x)1 ,且对任意x, yCR,有f(x+y尸f(x)f(y) , f=21解不等式 f(3x-x2)4 ；2解方程f(x) 2+1 f(x+3)=f(2)+12例12.函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)w0,当x1时，f(x)0)恒成立，如此 y=f(x)是周期为2a的周期函数； 2、假设y=f(x)的图像关于直线 x=a和x=b对称，如此函数 y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；3、假设y=f(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，如此函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数；4、假设y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=bab，如此函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；5、假设函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),其中a0 ,且如果y=f(x)为奇函数，如此其周期为4a;如果y=f(x)为偶函数，如此其周期为2a;6、定义在 xC R 上的函数 y=f(x),满足 f(x+a)=-f(x)或f x a或f x a，如此 y=f(x)f(x)f(x)是周期为2|a|的周期函数；f x1 .7、假设f x a 在xCR恒成立，其中a0,如此y=f(x)是周期为4a的周期函数；f x11 f x8、假设f x a 在xCR恒成立，其中a0,如此y=f(x)是周期为2a的周期函数。f x 1f x 117、8应掌握具体推导方法，如 7 f x a 1 f x 12f x 2a f x a 1 f x 1 2f (x)1f x 1函数图像的对称性:1、假设函数y=f(x)满足f(a+x尸f(b-x),如此函数y=f(x)的图像关于直线x -b对称;2a b c成中心对称图形;2 ,22、假设函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x),如此函数y=f(x)的图像关于直线 x=a对称;3、假设函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x尸c ,如此y=f(x)的图像关于点4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程为 f(2a-x,2b-y)=0 ;- ax b5、形如 yc 0,adcx dbc的图像是双曲线，由常数别离法知:d对称中心是点d a一，一；c c6、设函数y=f(x)定义在实数集上，如此 y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线x -a对称;27、假设函数y=f(x)有反函数，如此 y=f(a+x)和y=f-1(x+a)的图像关于直线 y=x+a对称。二、换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的根本方法.例2.f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x,求 f(x)解：令 u=1+sinx ,如此 sinx=u-1 (0u2),如此 f(u)=-u 2+3u+1 (0 u 2)故 f(x)=-x 2+3x+1 (0xun (nCN*).解：(1)令 a=b=0，得 f(0)=0，令 a=b=1，得 f(1)=0 .(2)f(x)是奇函数。因为：令 a=b=-1，得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故 f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故 f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明：Un=f(2 n)0 (nW N* )(略)五、转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题 的解决带来极大的方便.例 6.设函数 f(x)对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y)，假设 x0 时 f(x)0，且 f(1)= -2，求 f(x)在-3, 3上的最大值和最小值。解：令 x=y=0 ,得 f(0)=0，令 y=-x,得 f(-x)+f(x)=f(0)=0，即 f(x)为奇函数.设 Xi0,由得 f(x2-x1 )0 ,故 f(x2)=f(x 2-x1+x 1)=f(x 2-x1)+f(x 1) f(x 1)所以 f(x)是 R 上的减函数，又 f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6, f(-3)=6故f(x)在-3,3上的最大值为6,最小值为-6.例7.定义在R+上的函数f(x)满足：对任意实数 m, f(xm)=mf(x)；f(2)=1 .(1)求证：f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立；(2)证明f(x)是R+上的单调增函数；假设f(x)+f(x-3) 2,求x的取值围。解：令 x=2m,y=2n淇中 m,n 为实数，如此 f(xy)=f(2 m+n)=(m+n)f(2)=m+n .又 f(x)+f(y)=f(2 m)+f(2 n)=mf(2)+nf(2)=m+n ，所以 f(xy)=f(x)+f(y)2证明：设 0Xix2,可令 mn 且使 xi=2m,x2=2n由1得 f(x1)-f(x2)= f =f(2 m-n)=(m-n)f(2)=m-n0 X2故f(X1)f(X2),即f(x)是R +上的增函数。由 f(x)+f(x-3)2 与 f(x)的性质，得 fx(x-3) 2f(2)=f(4)解得3Vx f(x)+5 ,f(x+1) f(x)+1。假设 g(x)=f(x)+1-x 如此 g(2002)=.解：由 f(x+1) f(x)+1 得 f(x+5) f(x+4)+1 f(x+3)+2 f(x+2)+3 f(x)+5f(x)+5 f(x+1)+4. f(x)+1 f(x+1)又.f(x+1)0且a w 1)f(x+y)=f(x)f(y)或f x y x f y对数函数 f(x)=log ax(a0 且 a1)f(xy)=f(x)+f(y) 或 f 2 f x f y y正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanxf(x y) f(x) f(y)1 f(x)f(y)余切函数 f(x)=cotx、1 f(x)f(y)f (x y)f(x) f(y)例10 .实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x尸f(2-x)，方程f(x)=0有5个实根，如此这5个根之和=分析：因为函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x)，方程f(x)=0有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函 数y=k(x-2) 2为模型引出解题思路，即函数的对称轴是 x=2 ,并且函数在f(2)=0 ,其余的四个实数根关于x=2对称解：因为实数集上的函数 f(x)恒满足f(2+x尸f(2-x)，方程f(x)=0有5个实根，所以函数关于直线 x=2 对称，所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称，其中有一个实数根为 2,其它四个实数根位于直线 x=2两侧，关于直线 x=2对称，如此这5个根之和为10。例11.设定义在R上的函数f(x),满足当x0时，f(x)1 ,且对任意x, yCR,有f(x+y尸f(x)f(y), f(1)=21解不等式 f(3x-x2)4 ；2解方程f(x) 2+1 f(x+3)=f(2)+12分析：可联想指数函数f(x)=ax。解：(1)先证 f(x)0 ,且单调递增，因为 f(x)=f(x+0)=f(x)f(0) , x0 时 f(x)1 ,所以 f(0)=1对于任意 x0 , f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1 , 1. f(x)=1f x-x0 , f(-x)1 . 0f(x)0任取 x1,x2C R 且 x1 0 , f(x2-x1)1 ,所以 f(x1)-f(x2)=f(x 2-x1)+x1-f(x 1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x 1)f(x 2-x1)10所以xCR时，f(x)为增函数。不等式 f(3x-x2)4 可化为 3x-x22 解得：x|1x1 时,f(x)0设 x1 , x2 R+ ,且 x1 f(x2),故f(x)在R+上为减函数。函数性质答案1.奇次项系数为0,m 2 0,m 22.D f (2)f(2), 23.奇函数关于原点对称，左右两边有一样的单调性4.F(x)f( x) f(x)F(x)5.x在R上递减,1一在(0,)上递减, x2，,一x 4 在(0,)上递减,6.f(x)1)x(x 11)f(x)为奇函数，而f(x)2x,x 122x ,0 x22x2, 1 x2x,x 11 ，一,为减函数.07.2,0) U 2,5奇函数关于原点对称，补足左边的图象8.2, )x1, y是x的增函数，当x 1时，ymin29.2 1,-3该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大210.0, k 1 0,k 1,f(x)x2 311.11x 2且x 1,不存在；2函数是特殊的映射；3该图象是由离散的点组成的；4两个不同的抛物线的两局部组成的，不是抛物线1 1 a 112.解：f (1 a) f (1 a2) f (a2 1),如此 1 1 a2 1, 0 a 11 a a2 1